§8-5--微分方程应用举例.doc

8-5 微分方程应用举例 在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行：(1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解；(3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势 例1 有一个303012(m3)的车间，空气中CO2的容积浓度为0.12%为降低CO2的含量，用一台风量为1500(m3/min)的进风鼓风机通入CO2浓度为0.04%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500(m3/min)的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min后，车间中CO2的容积浓度为多少？解 车间体积为10800m3设鼓风机开动t （min）后，车间空气中CO2的含量为x=x(t)，那么容积浓度为 记在t到t+dt这段时间内，车间CO2含量的改变量为dx，则 dx=该时间段内CO2通入量-该时间段内CO2排出量 =单位时间进风量进风CO2的浓度时间-单位时间排风量排风CO2浓度时间 =15000.04%dt -1500dt，于是有 =15000.04% -1500即 =(4.32-x) 初始条件x(0)=108000.12%=12.96方程为可分离变量的方程，其通解为 x(t)=4.32+C将初始条件代入上式，得C=8.64于是在t时刻车间内空气中CO2的含量为 x(t)=4.32(1+2)所以鼓风机打开10min后，车间中CO2浓度为=0.06%例2 (马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比若已知t=t0时人口总数为x0，试根据马尔萨斯模型，确定时间t与人口总数x(t)之间的函数关系据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8，假定年增长率一直保持不变，试用马尔萨斯方程预测2005年我国的人口总数解 记t时的人口总数为x=x(t)，则人口的增长率为，据人口指数增长模型为=rx(t),(r为比例系数，即马尔萨斯增长指数) (1)并附初始条件：x(t0)=x 方程是可分离变量方程，易得它的通解为x=Cert将初始条件x(t0)=代入，得C=x0于是时间t与人口总数x(t)之间的函数关系为x(t)=x0 将t=2005, t0= 1990, x0=11.6, r=0.0148代入，可预测出2005年我国的人口总数为 x|t=2005=11.6e 0.0148(2005-1990) 14.5(亿) 例3 有一由电阻、电感串接而成的电路,如图8-6所示，其中电源电动势E=E0sinwt,(E0,w为常量），电阻R和电感L为常量，在t=0时合上开关S，其时电流为零，求此电路中电流i与时间t的函数关系 图8-6RLSE解 由电学知识，电感L上的感应电动势为L，根据回路电压定律，有 E=Ri+L，即 sinwt， (1)初始条件为i(0)=0方程是一阶非齐次线性微分方程，它的通解为 i(t)=C+ (Rsinwt-wLcoswt) 将初始条件i(0)=0代入上式，得C=于是所求电流为 i(t)= (wL+ Rsinwt-wLcoswt), (t0) 例4 轻质油料滴入静水中后会迅速扩散，在水面形成一层圆形油膜设油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比，滴入油料的体积为V0，油料在水中扩散过程中的形状近似看做圆柱体，初始t=0时圆柱高度为h0，求油膜半径与时间t的关系 解 设圆柱体油料半径r=r(t)，厚度h=h(t)，则在任何时刻t有图8-7r(t)h(t) pr2(t)h(t)=V0 (1)两边对t求导，得 2pr(t)h(t)+pr2(t)=0，据油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比,得 2kh2(t)+=0，即 =-2k(t)分离变量后成为 dh=-2kdt，两边积分得=kt+C，或h(t)=代入(1)，得r（t）= （2） 由初始条件pr2(0)h(0)=pr2(0)h0=V0，得r(0)=；代入(2)得C=回代到(2)，最终得油膜半径与时间t的关系为图8-8x0 r(t)= 例5 一边长为3m的立方体形状的木材浮于水面上处于平衡位置，然后向水里按下x0(m)后松手，物体会在上面上下沉浮振动(图8-8)已知振动的周期为2s，水的密度为1，试求物体的质量及物体沉浮振动的规律解 设物体的质量为m，物体在时刻t相对于平衡位置的位移为x，振动规律为x=x(t)因为x是相对于平衡位置的位移，物体所受重力已经被抵消，故物体在振动过程中只要考虑浮力的作用假设x以向下为正向由阿基米德原理，当物体位移为x时所受浮力F(x)与x的符号相反，大小为： F(x)=-33x1000g=-9000xg, (g=9.8m/s2为重力加速度)由牛顿第二定律得 m=-9000gx，即 m+9000gx=0 这是一个二阶常系数齐次方程，满足初始条件 x(0)=x0, x(0)=0 其特征方程为r2+=0，特征根为r1,2=i，通解为 x(t)=C1cost+C2sint由周期T=2，解得，m=8937(kg)所以 x(t)=C1cospt+C2sinpt 由初始条件，得C1=x(0)=x0，C2=0，所以物体的位移规律为x(t)=x0cospt图8-7RLSEC 例6 在例3的电路上，若再串接一个的电容C，且R2-0,(电路中电阻较小或电容较小)求合上开关后电路上电流的变化的一般形式 解 以Q(t)表示电路上流动的电量，则由电学知识，电容两端的电动势为EC=Q；电感两端的电动势EL= L= L；电阻两端的电动势ER=Ri=R据回路电压定律，有 L+ R+Q=E0sinwt，或 +Q=sinwt， (3) 方程(3)是二阶线性常系数的，对应的特征方程为 r2+r+=0，特征根r1 =(-R-), r2=(-R+) 因为R2-0，所以(3)对应的齐次方程的通解为 Q*(t)=(C1sint+C2cost) 设Q*(t)为(3)的一个特解，据公式可得 Q*(t)=应用积分公式，可得 Q*(t)=- =-r2(-r1sinwt-wcoswt)+w(wsinwt-r1coswt) =-(w2-r1r2)sinwt-w(r1+r2)coswt =-(w2-)sinwt+wcoswt =-(w2-)sinwt+coswt即 Q*(t)=-sin(wt+j), tanj= (4) 所以方程(3)的通解为 Q(t)=(C1sint+C2cost) -sin(wt+j) 根据i=，即得电路上电流变化的一般形式为 i(t)= ( +C4cost) -cos(wt+j)，其中j由(3)确定且习题8-51. 一曲线过点(1,1)，且曲线上任意点M(x,y)处的切线与过原点的直线OM垂直，求此曲线方程2. 设质量为m的降落伞从飞机上下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开飞 机时(t=0)速度为零求降落伞下落的速度与时间的函数关系3. 设火车在平直的轨道上以16m/s的速度行驶当司机发现前方约200m处铁轨上有异物 时，立即以加速度-0.8m/s2制动(刹车)试问： (1)自刹车后需经多长时间火车才能停车？ (2)自开始刹车到停车，火车行驶了多少路程？4 太阳能热水器加热水时，在某时间段水温度升高的速度与水温成反比现设某型号的太 阳能热水器的