毕业论文-四元数矩阵方程Drazin逆的行列式表示.doc

四元数矩阵方程Drazin逆的行列式表示摘要：在行列式的理论中，我们知道在四元数域上，Hermitian和任意矩阵的Drazin逆的行列式表示。利用已知的行列式理论，我们得到矩阵方程Drazin逆的表示公式（克莱默法则），从而解出四元数矩阵方程AXB=D的Drazin逆。如果A，B是hermitia矩阵或其他任意一般矩阵，我们也可以得到AX=D和XB=D的解法。关键词：矩阵式，Drazin逆，四元矩阵，克莱默法则，行列式表示引言在本文里，我们用 R 表示实域，用Hmn表示四元代数域上全体mn矩阵，用I表示适当阶数的单位矩阵。用M（n, H）表示nn 四元矩阵的环域。对于AHmn，A*表示A的共轭转置，如果A =AA*=A ,则矩阵A=（aij）M(n,H)是Hermitian矩阵。作为矩阵求逆运算的重要类型之一，Drazin求逆运算以及应用在文献（1-6）中得到了很好的证明，Stanimirovic和Djordjevic提出了基于满秩矩阵下的Drazin求逆运算。在8,9中，我们得到了复杂矩阵的有限Drazin逆的行列式表达式。Drazin求逆运算的矩阵等式：AX=DXB=DAXB=D这篇论文对8,9提出的有关对四元数矩阵方程的运算进行了拓展。考虑到四元数矩阵的特点，我们主要解决了求四元矩阵方程平方的行列式运算。最近有关四元数矩阵的行列运算理论得到了发展。在该理论下，Moore-Penrose广义逆的行列式表示通过经典伴随矩阵算法得出，对于阶数较小的矩阵可以根据克莱默准则计算其行列式的值。（根据克莱默准则，基于二乘法计算矩阵等式的情况同样被考虑。在15-17中，作者得出一般矩阵ArT1,s12，AlT2,s22逆的行列式表示，和AT1,T2,S1,S22，并根据行列式理论，提出了四元数域下，Moore-Penrose广义逆和Drazin逆的求解方法。但是在求这些值得过程中，这种方法借用了A的辅助矩阵。在本文中，我们主要得出了关于Hermitian和一般矩阵的Drazin逆的行列式表示。这篇论文的剩余部分安排如下：我们首先介绍了基本的有关行列式的概念和结论，第二章主要介绍了四元矩阵理论，第三章中，3.1节我们给出了Hermitian矩阵的Drazin逆的行列式表示，3.2节给出了一般任意矩阵的Drazin逆的行列式表示。在第四章，我们具体分析了四元数矩阵方程的表达式.最后，在第五章，我们给出了一些具体的例子验证我们的求解方法。2.行列式的基本理论用Sn表示In=1,n的对称群组。定义2.1：行列式A=（aij）M(n,H)第i行（i=1,n）的行列式的的值为：其中满足jk2jk3jkr和jktjkt+s的条件，且t=2,r，s=1,lt.定义2.2：行列式A=（aij）M(n,H)第j行（j=1,n）的行列式的的值为：其中满足jk2jk3jkr和jktjkt+s的条件，且t=2,r，s=1,lt.假定Aij是矩阵A去掉i行j列的余子式。我们用aj表示A的第j列，ai表示A的第i行。假定用A.j(b)表示用列b代替矩阵A第j列得到的矩阵，用Ai(b)表示用行b代替矩阵A第i行得到的矩阵。我们得出一些有关四元数矩阵A=（aij）的性质，其中iIn, jJn且In=Jn=1,n命题2.1：如果bH,则对于所有的i=1,.,n 满足rdetiAi.bai=brdetiA.命题2.2：如果bH,则对于所有的j=1,.,n满足cdetjAj.baj=bcdetjA.命题2.3：如果矩阵AMn,则对于所有的j=1,.,n，存在tJn,使得aij=bj+cj则：其中b=b1,bn,c=(c1,cn), i=1,.,n .命题2.4：如果矩阵AMn,H,则对于所有的i=1,.,n，存在tIn,使得aij=bj+cj则：其中b=b1,bnT,c=(c1,cn)T, j=1,.,n .命题2.5：假定 A*是Hermitian矩阵AMn,H的伴随矩阵，即对于所有的i=1,.,n满足rdetiA*=cdetiA.下面的引理可以帮助我们对矩阵A第i行和第j列（i,j=1,.,n）的的各自行列式的伴随子式计算有更好的运用。引理2.1：用Rij表示矩阵AMn,H对应于i行j列的伴随余子式，对于所有的i=1,.,n 满足rdetiA=j=1naijRij，且其中A.jii(a.i)是由矩阵A的第i列替换第j列变换得出，然后去掉第i行和第i列，k=minIni.引理2.2：用Lij表示矩阵AMn,H对应于i行j列的伴随余子式，对于所有的j=1,.,n 满足cdetjA=i=1naijLij，且其中Ai.jj(aj.)是由矩阵A的第j行替换第i行变换得出，然后去掉第j行和第j列，k=minJnj.以下的理论对于研究行列式的性质和特征有着重要的意义。理论2.1.假定 A=（aij）M(n,H)是Hermitian矩阵，则rdet1A=rdetnA=cdet1A=cdetnAR.推理2.1.在H域上，Hermitian矩阵的各行和各列的行列式值是相等的，我们定义Hermitian矩阵AMn,H的行列式detA。根据定义，对于所有的i=1,.,n有：detA:=rdetiA=cdetiAHermitian矩阵的行列式性质在10中有详细的探讨，我们将这些性质总结于下：理论2.2. 如果Hermitian矩阵AM(n,H)的第i行被替换为其他行的线性组合：ai.=c1ai1.+ckaik. , 其中c1 ，则对于所有的 l=1,k 和i,ilIn理论2.3.如果Hermitian矩阵AM(n,H)的第j列被替换为其他列行的线性组合：a.j=a.j1.c1+a.jkck , 其中c1 ，则对于所有的 l=1,k 和j,jlIn以下各项理论主要直接探讨了有关于Hermitian矩阵逆的行列式表示的性质。理论2.4.如果一个Hermitian矩阵AM(n,H)，其中detA 0 ,则存在一个唯一的右逆矩阵（RA）-1和一个唯一的左逆矩阵（LA）-1,若A是非奇异矩阵，则（RA）-1=（LA）-1=:A-1，右逆矩阵和左逆矩阵的表达式为：其中Rij , Lij分别是矩阵A的伴随子式，I , j=1,.,n .根据定理，我们知道Hermitian矩阵的子式也是Hermitian矩阵，所以我们主要工作就是分析Hermitian的代换子式。我们引入了Hermitian矩阵的非零主子式的秩。理论2.5.如果AMn,H是Hermitian矩阵，那么矩阵A的秩等于它列的秩和行的秩。因为四元数矩阵是可交换的，所以将Hermitian矩阵的特征值分为两类。如果四元域上 满足Ax=x，则 记为矩阵A的右特征值。即Hermitian矩阵的所有右特征值也是其左定义2.3.如果tR , 则对于Hermitian矩阵A的多项式pAt=det(tI-A)记作矩阵A的特征多项式。Hermitian矩阵的特征多项式的根就是它的左实特征值，同时也是它的右实特征值。我们通过类比分析可以证明下面的理论。（详见28）理论2.6. 如果AMn,是Hermitian矩阵，则pAt=tn-d1tn-1+d2tn-2-+(-1)ndn ,其中dk是矩阵A的顺序主子式之和，1kn ,且dn=detA.3.Drazin逆的行列式表示对于任意的矩阵AHnn,Ind A=k ,正数k=:Ind A=minkNOrank Ak+1=rank Ak.则Drazin逆矩阵X是唯一的，且满足：（1） Ak+1X=Ak ;（2） XAX=X ;（3） AX=XA.其中矩阵X 可以记作X=AD。当满足特殊情况IndA=1时，矩阵X被称作群逆，记为X=Ag. 如果IndA=0时，则矩阵A是非奇异矩阵，且ADA-1。推理3.1.根据上述等式，我们可以得出等式（1）也可以表示为（1a）XAk+1=Ak.3.1 对矩阵Drazin逆的近似分析我们可以借助研究Hermitian矩阵的方法来分析矩阵Drazin逆的一些理论，例如可以借助有关矩阵的秩和特征值的理论。我们在8中第一次使用这种分析方法，然后在12,29中也使用了这种方法。根据复杂问题的近似分析，我们得出了以下有关矩阵Drazin逆的结论。理论3.1.如果Ann且Ind A=k , 则其中，R，且R+是正实数域。a.j(m)表示矩阵Am的第j列，ai.(m)表示Am的第i 行。引理3.1.如果AMn,且Ind A=k , 则rankAk+1.i(a.jm)rank(A k+1)证明. 该证明方法可参照文献8中引理2.2的证明。下一条引理同样参照其证明。引理3.2.如果AMn,且Ind A=k , 则rankAk+1i.(aj.m)rank(A k+1).我们假设 1,k1,m , 1,k1,n，其中1kminm,n .用A表示矩阵A的第 行第 列的代数余子式。则A表示第 行第 列的主余子式。如果AMn,H是Hermitian矩阵，则A可以表示相应的行列式A的主子式的值。对于1kn , 则其严格递增序列集合Lk,n : =1,k, 11kn, 其中整数 k1,n. 对于i , j, Ir,mi:Lr,m,i, Jr,nj:Lr,n , j下面两个引理主要分析了特征值的有关问题。引理3.3. 如果AMn,H， Ind A=k ,而且A是Hermitian矩阵，则其中，cn(ij)=cdetiAk+1.i (a.j(k)和cs(ij)=Js,n(i)cdeti(Ak+1).i(a.jk)对于所有的s=1,n-1 , i,j=1,n成立。证明：用 b.i记作Hermitian矩阵Ak+1=:(bij)nn的第i 列矩阵。考虑到Hermitian矩阵tI+Ak+1.i (b.i)nn. 它不同于tI+Ak+1.根据理论2.6 我们得到其中，ds=Js,n(i)|(A k+1)|是包含第i 列的s 的顺序主子式之和，dn=det(A k+1) ,其中s=1,n-1. 因此，我们可以得出其中a.I(k)是 Ak的第l列向量，l=1,n-1.考虑到理论2.1，引理2.2，和命题2.2我们可以得出以下等式：同时我们也可以得出：对于所有的s=1,n-1，满足当 l=j 时，我们可以得出上述等式。引理3.4.如果AMn,H， Ind A=k , tR而且A是Hermitian矩阵，则其中，rn(ij)=rdetjAk+1j. (ai.(k)和rs(ij)=Is,n(j)rdetj(Ak+1)j.(ai.k)对于所有的s=1,n-1 , i,j=1,n成立。理论3.2.如果AMn,H， Ind A=k ,randAk+1=randAk=r ,而且A是Hermitian矩阵，则矩阵Drazin逆AD=(aijD)nn ,行列式每一项的值为：或者证明.我们根据理论3.1证明了A+=lim0(In+Ak+1)-1Ak . 矩阵I+Ak+1Hnn是Hermitian满秩矩阵。考虑到理论2.4，它存在逆矩阵，我们把它表示成左逆的形式如下：其中Lij是矩阵I+Ak+1的第i行第j列的左伴随子式。然后我们可以得出：根据左伴随子式的定义，我们可以得到：根据理论2.6，我们得知其中，ds=Js,n(i)|(A k+1)|是矩阵Ak+1关于s的顺序主子式之和，dn=det(A k+1) ,s=1,n-1.由于randAk+1=randAk=r ,可以得出dn=dn-1=dr+1=0. 继而得出detI+Ak+1=n+d1n-1+d2n-2+drn-r根据等式（8），我们得知其中cs(ij)=Js,n(i)cdeti(Ak+1).i(a.jk)对于所有的, i,j=1,n成立，cn(ij)=cdetiAk+1.i (a.j(k)对于所有的s=1,n-1成立。根据引理3.1，(Ak+1).ia.jkr ,对于所有的, i,j=1,n，当kr+1 时，我们证明了等式ck(ij)=0成立，然后得出了矩阵(Ak+1).i(a.jk)的右线性无关向量不多于r个。考虑到(Ak+1).i(a.jk) , 当Js,ni.这是矩阵(Ak+1).ia.jk关于sr+1的主子式。去掉第i行和第j列，我们就可以得到矩阵Ak+1的s-1的主子式，把它记作M. 设s=r+1, 且detM0. 这种情况下，矩阵M的所有右列向量都是线性无关的。它们相加得到的一维列向量(Ak+1).i(a.jk) ,也是线性无关的。因此，它们是矩阵(Ak+1).i(a.jk)的基向量，第i列向量是它的基向量的线性组合。根据理论2.3得出，当满足Js,ni和s=r+1 的条件时，cdeti(Ak+1).i(a.jk)=0.如果让s=r+1, 且detM=0.，在矩阵M和(Ak+1).i(a.jk)中有p个基向量ps。然后根据理论2.5和2.3，我们同样可以得出cdeti(Ak+1).i(a.jk)=0.的结论。因此对于所有的情况，当满足Js,ni和r+1sn 的条件下，我们都能够得出cdeti(Ak+1).i(a.jk)=0.即如果r+1sn，则而且当 i,j=1,n时，cs(ij)=cdeti(Ak+1).ia.jk=0.因此，当i,j=1,n时，通过计算矩阵（14）的余子式的值，我们可以得到：因此，cr(ij)=Js,n(i)cdeti(Ak+1).i(a.jk)，dr=Jr,n(i)|(A k+1)|. 于是我们就可以计算出矩阵A+的行列式表示。推论3.1如果IndA=1 , rankA2=rank A=rn,Ann为Hermitian矩阵，则群逆Ag中的各项行列表示如下：.证明.根据理论3.2，当k=1 时，则可以得出该等式。推论3.2.如果Ind A=1 , rankA2=rank A=rn,ACnn为任意矩阵，则证明.假设ADA=(vij)nn ,对于任意1i,jn 我们可以得到同样的，我们也可以得到矩阵Drazin逆。对于任意矩阵的Drazin逆的行列式表示对于任意矩阵AMn,H , lnd A=k,rank Ak+1=rankAk=r , 这里我们不能采用之前对应于Hermitian矩阵的方法。因为我们没有对于任意矩阵的特征值的理论。所以在以下的理论中，我们采用了Moore-Penrose广义逆的行列式表示方法进而探讨矩阵的Drazin逆。命题3.1.如果lndA=k,则 AD=Ak(A2k+1)+Ak.理论3.3.如果AHrmn,则矩阵A的Moore-Penrose的逆A+=(aij+)Hnm 中各项行列的可以表示为：其中i=1,n , j=1,m .从而得出矩阵Drazin逆的表示为：其中i,j=1,n . 我们用a.s表示(A2k+1)*Ak=:A=aijHnn的第s列，s=1,n . 可以得出s(a.s(2k+1)*asj(k)=a.j,且矩阵A的Drazin逆AD的各项行列可以表示为：我们用我们用at.表示(A2k+1)*Ak=:A=aijHnn的第t行，t=1,n . 可以得出ait(k)t(at.(2k+1)*=ai.,且矩阵A的Drazin逆AD的各项行列可以表示为理论3.4.如果Ind A=k , rankAk+1=rank Ak=r,AMn,H ,则Drazin逆AD的行列式表示为上述形式4.克莱默法则对于矩阵方程Drazin逆的求解求逆矩阵时，最经典的方法之一便是运用克莱默法则求出行列式的值，然后求出逆矩阵。这里，针对求Drazin逆，我们提出了类似于克莱默法则的一些求解方法。矩阵方程AXB=D，其中AHnn , BHmm , DHnm是已知的，求未知矩阵XHnm.假定lnd A=k1 , lnd A=k2 ,易知（参见例19）等式(22)满足条件：存在唯一解，X=ADDBD.4.1.Hermitian矩阵的Drazin逆记作Ak1DBk2=:D=dijHnm.理论4.1.如果A,B都是Hermitian矩阵，且对于AHnn，有rankAk1+1=rankAk1=r1n,对于BHmm，有rankBk1+1=rankBk1=r1m,所以对于Drazin逆的解X=ADDBD=xijHnm,我们可以得出其中分别表示其列向量和行向量，对于i=1,n , j=1,m,di.和d.j分别表示矩阵D的第i行和第j列的向量。证明.对于Drazin逆的解X=ADDBD=xijHnm，易知xij=s=1m(t=1naitDdts)bsjD对于所有的i=1,n , j=1,m，根据理论3.2得出我们用d.s记作Ak1D=:D=(dij)Hnm,其中s=1,m . 从而得出la.l(k1)dls=d.s , 即假定es.和e.s分别代表单位行向量和单位列向量，即除了第s项为1之外各项都为0。我们得到：因此对于t=1,m,列向量di.A的第t项为di.A=(di1A,dimA)，将其代入上述式子得：因此t=1mditAet.=di.A如果我们用dijB表示列向量d.jA=(d1jB,dmjB)T第l项的值,则将其代入式(31),我们得到：因此l=1ne.ldljB=d.jB考虑到矩阵方程AX=D ,其中AHnn , DHnm都是已知的，求未知矩阵XHnm.设IndA=k,我们记AkD=:D=(dij)Hnm,即令B=I，我们便得出以下结论。推论4.1. 对于AHnn，如果rankAk+1=rankAk=rn,那么根据式(33),Drazin逆的解X=ADD=(xij)为：其中d.j为D的第j列向量，j=1,m.考虑矩阵方程XB=D ,其中BHmm , DHnm都是已知的，求未知矩阵XHnm.设Ind B=k,我们记DBk=:D=(dij)Hnm,即令A=I，我们便得出以下结论。推论4.1. 对于BHmm，如果rankBk+1=rankBk=rn,那么根据式(35),Drazin逆的解X=DBD=:(xij)为：其中di.为D的第i行向量，i=1,n , ij=1,m.4.2任意矩阵的Drazin逆利用理论4.1，推论4.1和4.2，对于任意矩阵AHnn，存在矩阵BHmm使我们能够得出以下结论。记(A2k1+1)*Ak1DBk2(B2k1+1)*=:D=dijHnm理论4.2. 存在矩阵AHnn，有rankAk1+1=rankAk1=r1n,存在矩阵BHmm，有rankBk1+1=rankBk1=r1m,所以对于Drazin逆的解X=ADDBD=xijHnm,我们可以得出其中对于所有的q=1,n ,p=1,m. 有：分别代表其列向量和行向量。，对于i=1,n , j=1,m,di.和d.j分别表示矩阵D的第i行和第j列的向量。推论4.3.对于AHnn，如果rankAk+1=rankAk=rn,那么根据式(33),Drazin逆的解X=ADD=(xij)为：其中d.j为D的第j列向量，j=1,m.推论4.2. 对于BHmm，如果rankBk+1=rankBk=rn,那么根据式(35),Drazin逆的解X=DBD=:(xij)为：其中di.为D的第i行向量，i=1,n , ij=1,m.5.实例在本章，我们给出验证以上理论的结果。1. 考虑矩阵方程AXB=D,其中因此可以得出A2=34k-3i-4k64j3i-4j3detA=detA2=0,且det1k-k2=1,det34k-4k6=2。根据理论2.5，IndA=1 , r1=rank A=2.同样地，B2=22i-2i2.因此IndB=1 , r2=rank B=1我们可以根据上述等式得出Drazin逆的解为Xd=(xijd).我们可以算出因此最终我们可以得出：同样地，因此，是该方程式Drazin逆的解。2. 考虑矩阵方程AX=D，其中：，detA*A=detA2*A2=0,det3-2k2k2=2,det102+2j-6k2-2j+6k5=6 ,因此根据理论2.5，IndA=1 , r=rank A=2.我们可以得出上述方程Drazin逆的解Xd=(xijd),因此从而我们得到因此最终我们得出：同样地，因此，是上述方程Drazin逆的解。参考文献1 M.P. 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