2018-2019版高中数学第四讲数学归纳法证明不等式复习课课件新人教A版选修.ppt

复习课,第四讲用数学归纳法证明不等式,学习目标1.梳理数学归纳法的思想方法，初步形成“归纳猜想证明”的思维模式.2.熟练掌握用数学归纳法证明不等式、等式等问题的证明步骤.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.数学归纳法是用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法.2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当nn0时命题成立.(2)假设当nk(kN且kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.完成以上两个步骤，就可以断定命题对不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.,3.在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推，递推是实现从有限到无限飞跃的关键.4.用数学归纳法证明不等式，关键是在假设当nk(kN，kn0)时命题成立的条件下，推出当nk1时命题成立这一步，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要用到分析法，综合法，放缩法等相关知识和方法.,题型探究,类型一归纳猜想证明,例1已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN).(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；,解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，,解答,证明,(2)用数学归纳法证明an的通项公式.,证明当n2时，a252225，公式成立.假设当nk时成立，即ak52k2(k2，kN)，当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2ak551052k2,故当nk1时公式也成立.由可知，对n2，nN有an52n2.,反思与感悟利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察归纳猜想证明.即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明.,跟踪训练1设f(n)0(nN)，对任意自然数n1和n2总有f(n1n2)f(n1)f(n2)，又f(2)4.(1)求f(1)，f(3)的值；,解由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1n2)f(n1)f(n2).取n1n21，得f(2)f(1)f(1)，即f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取n11，n22，得f(3)23.,解答,(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想.,解由f(1)21，f(2)422，f(3)23，猜想f(n)2n.证明：当n1时，f(1)2成立.假设nk(k1，kN)时，f(k)2k成立.当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2k22k1，所以当nk1时，猜想也成立.由知猜想正确，即f(n)2n，nN.,解答,类型二用数学归纳法证明等式或不等式,命题角度1用数学归纳法证明等式(以三角函数为背景),证明,证明(1)当n2时，左边tantan2，,tantan2，等式成立.,(2)假设当nk(k2，kN)时等式成立，,当nk1时，tantan2tan2tan3tan(k1)tanktanktan(k1),所以当nk1时，等式也成立.由(1)和(2)知，当n2，nN时等式恒成立.,反思与感悟归纳法是证明有关正整数n的命题的一种方法，应用广泛.用数学归纳法证明一个命题必须分两个步骤：(1)论证命题的起始正确性，是归纳的基础；(2)推证命题正确的可传递性，是递推的依据.两步缺一不可，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征.,证明,证明(1)当n1时，左边2cosx1，,即左边右边，命题成立.(2)假设当nk(k1，kN)时，命题成立，,当nk1时，左边(2cosx1)(2cos2x1)(2cos2k1x1)(2cos2kx1),当nk1时命题成立.由(1)(2)可知，当nN时命题成立.,命题角度2用数学归纳法证明不等式,证明,(2)假设当nk(k2，kN)时，结论成立，,则当nk1时，,即当nk1时，结论成立.,反思与感悟用数学归纳法证明不等式，除了注意数学归纳法规范的格式外，还要注意灵活利用问题的其他条件及相关知识.,证明,证明(1)当n2时，,(2)假设当nk(k2，kN)时，命题成立，,当nk1时，,所以当nk1时，不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN均成立.,类型三用数学归纳法证明整除问题,例4用数学归纳法证明：n(n1)(2n1)能被6整除.,证明(1)当n1时，123显然能被6整除.(2)假设当nk(k1，kN)时，命题成立，即k(k1)(2k1)2k33k2k能被6整除.当nk1时，(k1)(k2)(2k3)2k33k2k6(k22k1).因为2k33k2k,6(k22k1)都能被6整除，所以2k33k2k6(k22k1)能被6整除，即当nk1时命题成立.由(1)和(2)知，对任意nN原命题成立.,证明,反思与感悟用数学归纳法证明整除问题的关键点(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证.(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从nk1时的表达式中分解出nk时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式.,跟踪训练4设xN，nN，求证：xn2(x1)2n1能被x2x1整除.,证明,证明(1)当n1时，x3(x1)3x(x1)x2x(x1)(x1)2(2x1)(x2x1)，结论成立.(2)假设当nk(k1，kN)时，结论成立，即xk2(x1)2k1能被x2x1整除，那么当nk1时，x(k1)2(x1)2(k1)1xxk2(x1)2(x1)2k1xxk2(x1)2k1(x1)2(x1)2k1x(x1)2k1xxk2(x1)2k1(x2x1)(x1)2k1.,由假设知，xk2(x1)2k1及x2x1均能被x2x1整除，故x(k1)2(x1)2(k1)1能被x2x1整除，即当nk1时，结论也成立.由(1)(2)知，原结论成立.,达标检测,1,2,3,4,答案,证明：(1)当n1时，显然命题是正确的；,A.从k到k1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k到k1的推理不严密D.当n1时，验证过程不具体,2.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是A.若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D.若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立,解析,答案,1,2,3,4,解析对于D，f(4)2542，当k4时，均有f(k)k2.,(k21)(k1)2,解析当nk1时，左端123k2(k21)(k1)2.所以增加了(k21)(k1)2.,1,2,3,4,解析,答案,1,2,3,4,证明,所以a0a12，命题正确.(2)假设当nk(k1，kN)时命题成立，即ak1ak2.则当nk1时，,1,2,3,4,而ak1ak0,4ak1ak0，所以akak10.,1,2,3,4,所以当nk1时命题正确.由(1)(2)可知，对一切nN，有anan12.,1.在推证“nk1”命题也成立时，必须把归纳假设“nk”时的命题作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1的关系时，弄错项数发生的变化是常见错误.2.用数学归纳法证明的问题通常与数列的