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204 第四章 连续时间信号与系统的复频域分析 4 . 1 学习重点 1、拉普拉斯变换的定义式，收敛域，能根据拉普拉斯变换的定义式求一些常用信号 的拉普拉斯变换。 2、熟练掌握拉普拉斯变换的基本性质（特别是时移性、频移性、时域微分、频域微 分、初值定理、终值定理、卷积定理等性质）及其应用。 3、能应用部分分式法展开法、留数法，求解拉普拉斯反变换。 4、利用拉普拉斯进行连续时间信号的复频域分析，分析电路、s域元件模型，能求解 线性时不变系统的响应，包括全响应、零输入响应、零状态响应，以及冲激响应 和阶跃响应。 5、深刻理解复频域系统函数( )sH的定义、物理意义及其与系统特性的关系，并能熟 练应用于连续时间信号的复频域分析。 6、系统的复频域方框图表示与模拟。 7、了解系统函数的零、极点与系统特性的关系，会画零、极点图，会根据零、极点 图求系统函数( )sH。 8、系统稳定性及其判断方法。 9、用 MATLAB进行连续时间信号与系统的复频域分析 4 . 2 教材习题同步解析 4.1 求下列信号的拉普拉斯变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。 （1）( )0,ate at 205 （3）( )0,ate at （4）0, ae ta （5）()4t （6）()t （7）( )( )tete tt 2 + （8）() ( )tt+ 0 cos 【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换定义及收敛域求法。 【逻辑推理】 单边拉普拉斯变换定义：( )( )dtetfsF st = 0 。若满足 0 ，使得 ( )0lim= t t etf ，则( ) t etf 在 0 的全部范围内收敛。 解： （1）( )( ) () as dtedteeteLsF tsastatat + = + 1 00 () 00limlim+= + aeee ta t tat t 即收敛域为aa= 0 ,。 （2 ）( )() () as dtedteeteLsF tsastatat + = + 1 00 () 00limlim 0 ,。 （3）( )( ) () as dtedteeteLsF tsastatat = 1 00 () 00limlim 0 ,。 （4）( )( )dteedteeteLsF statstat ta += 0 0 ()() asas dtedte tsatsa + + =+= + 11 0 0 () aaeee ta t tat t += + + + 即00limlim () aaeee ta t tat t = 即00limlim 即收敛域为aa (6) ( )()() s t stst eedtettLsF = = ()= + 00limlim t t t t eet 即对 0 没有要求，全平面收敛。 （7）( )( )( )dteedteeteteLsF sttstttt +=+= 0 2 0 2 ()() 2 1 1 1 0 2 0 1 + + + =+= + + ss dtedte tsts () ()() 02010limlimlim 212 +=+=+ + + 且 t t t t ttt t eeeee 即收敛域为1, 1 0 =。 （8）()sinsincoscoscos 000 ttt=+ j eeee tjtjtjtj 2 sin 2 cos 0000 + = tjtj e j e j 00 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos + = ( )( ) ()() 00 00 00 2 1 2 1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 00 00 00 js e js e dte j dte j dtee j dtee j te j e j LsF jj jtsjts sttjsttj tjtj + + = + = + = + = + ( ) ()() 0lim 2 sin 2 cos lim 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos lim 00 00 = + = + + tj t tj t ttjtj t e j e j ete j e j 则有00 00 +。 207 4.2 求图 4.1 所示信号的拉普拉斯变换。 【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换基本性质 【逻辑推理】首先分析图形，看是由哪些基本信号的图形组合，然后通过基本信号的拉普拉斯 变换和拉普拉斯变换基本性质来求取其拉普拉斯变换。 图 4.1 解： （a）( )( )()Ttttx= 因( ) s t 1 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 ( )() sTsT e s e ss sX =1 111 （b）( )( )()()()321+=tttttx 因( ) s t 1 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有 ( )() ssssss eee s e s e s e ss sX 3232 1 11111 +=+= （c）( )( )()( )() ()()TtTtTt T tt T Tttt T tx= 111 因( ) s t 1 ，( ) 2 1 s tt，根据拉普拉斯变换时延特性，有 ( ) sTsT e Ts e sTs sX = 22 111 （d）( )( )()() ( )() ()TtTt T tTt T Tttt T tx+= += 11 1 1 因( ) s t 1 ，( ) 2 1 s tt，根据拉普拉斯变换时延特性，有 ( ) sT e TssTs sX += 22 111 208 （e）( )( )()Ttt T T tt T tt T tx + +=2 2 2 2 42 ( )() ()TtTt T T t T t T tt T + = 2 22 42 因( ) s t 1 ，( ) 2 1 s tt，根据拉普拉斯变换时延特性，有 ( ) 2 2 2 2 22 242 242 Ts ee e Ts e TsTs sX sT sT sT sT + = += （f）( )( )()=ttttxsin ( ) 22 sin + s tt ()() ()() + = = = + js e js e j dteedtee j t j ee LttL jsjs sttjsttj tjtj 2 1 2 1 2 sin 所以 ( ) ()() ()() ()() () 22 22 22 22 22 2222 2222 22 cossin cossin 2 1 2 1 2 1 2222 22 + + = + + + = + + + = + + + = + + = + s ttse s tts e s s eejees e js s eejseejs js js e js e js sX s s jjjj s jsjs jsjs 4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。 （1）( )tf的傅里叶变换存在 （2）( ) t etf 2 的傅里叶变换存在 （3）( )0, 0=ttf （4）( )5, 0+ 同理，对于图 4.2（b）来说，其收敛域为：3 对于图 4.2（c）来说，其收敛域为：1 （2）( ) t etf 2 的傅里叶变换存在，对于由图 4.2（a）来说，其收敛域为 ( ) ()() 0 2 lim 2 limlim 131312 = tt t ttt t tt t ee K eee k eetf 由此可得其收敛域为：3 同理，对于对于图 4.2（b）来说，其收敛域为：5 210 对于图 4.2（c）来说，其收敛域为：1 （3） （4）情况下，收敛域均为： 4.4 针对图 4.3 所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定： （1）拉氏变换式； （2）零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。 图 4.3 【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再求取其收域。 解： （a）由如图 4.3（a）所示的零极点图，可得到拉氏变换式为 ( ) ()()13 1 + = ss s sF 拉氏变换的收敛域内不应包含象函数的任何极点，所以信号可能的收敛域为 3 或 13 该信号的极点位于s平面的负实轴上，所以该信号为衰减指数信号。 （b）由如图 4.3（b）所示的零极点图，可得到拉氏变换式为 ( ) ()()jsjs s sF + + = 1 拉氏变换的收敛域内不应包含象函数的任何极点，所以信号可能的收敛域为 0 该信号的极点位于s平面的虚轴上，所以该信号为等幅振荡信号。 （c）由如图 4.3（c）所示的零极点图，可得到拉氏变换式为 ( ) ()() ()()()211+ + = sss jsjs sF 拉氏变换的收敛域内不应包含象函数的任何极点，所以信号可能的收敛域为 2 或 12 或 11= t t t t t t ee t ett 即0 0 =，收敛坐标位于坐标原点，收敛轴即虚轴，收敛域为 S 平面的右半平面。 ( )( ) 3 0 22 2 s dtetttLsF st = （3）( ) () () () 020 2 1 limlimlim 22 2 += + = + + t t t t tt t ee t ette 即2，2 0 = ( )( ) ()2 0 22 2 1 + = s dtetetteLsF sttt （4）( )0limlim 22 = tt t tt t eete 满足上式的值不存在，所以该信号的拉普拉斯变换不存在。 （5）( )0limlim= te t te t tt eete 满足上式的值不存在，所以该信号的拉普拉斯变换不存在。 212 （6）( )( )( ) tt t tt t t t eteeteetf + +=limlimlim ()() 01010limlim 11 sFtf，且( )tf t lim存在，则 ( )( )( )ssFtff st0 limlim = 解：初值定理的应用条件是，( )sF必须是真分式； 终值定理应用的条件是： （1）( )sF的极点必须在s平面的左半开平面。 （2）在0=s处，( )sF 只能有一阶极点。也就是说，终值定理只有在( )tf有终值的情况下才能应用。例如，当( )tf为周期 函数时，终值定理就不适用了。 （1）( ) ()()21 3 23 3 2 + + = + + = ss s ss s sF ( )( )( ) ()() 1 23 2 1lim 21 3 limlimlim0 2 0 = + = + + = + + ssss s sssFtff sss t ( )( )( )0 23 2 1limlimlim 2 00 = + = ss ssFtff sst （2）( ) ()()()jsjss s sss s sF 3131 5 42 5 2 2 2 + + = + + = ( )( )( ) () 1 42 1 5 1 lim 42 5 lim 42 5 limlimlim0 2 2 2 2 2 2 0 = + + = + + = + + = + + ss s ss s sss s sssFtff s sss t ( )( )( ) 4 5 42 5 limlimlim 2 2 00 = + + = ss s ssFtff sst 224 （3）( ) ()()4145 2224 + = + = ss s ss s sF 因( )sF在j轴上有两对共轭极点，故与( )sF对应的( )tf不存在终值。 ( )( )( ) 0 4 5 1 lim 45 lim 45 limlimlim0 2 2 24 2 24 0 = + = + = + = + + s s ss s ss s sssFtff s sss t （4）( ) ()3 2 25 = ss e sF s 因( )sF在s平面的右半开平面上有极点2=s，且在0=s处，( )sF有二阶极点，故与( )sF对 应的( )tf不存在终值。 ( )( )( ) ()() 0 25 lim 25 limlimlim0 33 2 0 = = = + + ss e ss e sssFtff s s s ss t （5）( ) () ()21 3 2 + + = ss s sF ( )( )( ) () () 0 21 3 limlimlim0 2 0 = + + = + + ss s sssFtff ss t ( )( )( ) () () 0 21 3 limlimlim 2 00 = + + = ss s sssFtff sst （6）( ) 1 11 + += ss sF ( )( )( )2 1 1lim 1 11 limlimlim0 0 = + += + += + + s s ss sssFtff sss t ( )( )( )1 1 1limlimlim 00 = + += s s ssFtff sst 4.10 已知 LTI 因果系统的系统函数( )sH及输入信号( )tf，求系统的响应( )ty。 （1）( )( )( )ttf ss s sH= + + =, 86 32 2 （2）( ) () ( )( )tetf sss s sH t = + + =, 23 4 2 225 （3）( ) () ( )( )tetf ss ss sH t2 2 2 , 9 2 = + + = （4）( )( )( )ttetf ss s sH t = + + =, 65 1 2 【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求解系统的响应。 【逻辑推理】首先求取激励的拉氏变换，然后根据系统函数的特性求出系统响应的拉氏变换， 再求其拉氏反变换即得系统的响应。 解： （1）当( )( )ttf=时，有( ) s sF 1 = 则有 ( )( )( ) ()() 42 42 321 86 32 321 2 + + + += + + = + + = s K s K s K sss s sss s sFsHsY 其中 ( ) 8 3 0 1 = =s ssYK () ( ) 4 1 2 2 2 =+= =s sYsK () ( ) 8 5 4 4 3 =+= =s sYsK 所以 ( ) 4 1 8 5 2 1 4 11 8 3 + + += sss sY 对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为 ( )( )( )( )()( )teetetetty tttt 4242 523 8 1 8 5 4 1 8 3 +=+= （2）当( )( )tetf t =时，有( ) 1 1 + = s sF 则有 ( )( )( ) ()() () ()211 21 4 1 1 23 4 3 212 2 11 22 + + + + + = + + = + + + = s K s K s K s K sss s ssss s sFsHsY 其中 ()( )31 1 2 11 =+= =s sYsK 226 ()( )11 1 2 12 =+= =s sYs ds d K ( )2 0 2 = =s ssYK () ( )12 2 3 =+= =s sYsK 所以 ( ) ()2 12 1 1 1 3 2 + + + + + = ssss sY 对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为 ( )( )( )( )()( )teetetetettety tttttt 22 2323 +=+= （3）当( )( )tetf t2 =时，有( ) 2 1 + = s sF 则有 ( )( )( )( ) ()9 3 3 1 9 1 2 1 9 2 222 2 + = + = + + + = sssss ss sHsFsHsY 对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为 ( )( )ttty3sin 3 1 = （4）当( )( )ttetf t =时，有( ) ()21 1 + = s sF 则有 ( )( )( )( ) ()()()() 321 321 1 1 1 65 1 321 22 + + + + + = + = + + + = s K s K s K ssssss s sHsFsHsY 其中 () ( ) 2 1 1 1 1 =+= =s sYsK () ( )12 2 2 =+= =s sYsK () ( ) 2 1 3 3 3 =+= =s sYsK 所以 227 ( ) 3 1 2 1 2 1 1 1 2 1 + + + + = sss sY 对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为 ( )( )teeety ttt += 32 2 1 2 1 4.11 计算下列微分方程描述的因果系统的系统函数( )sH。若系统最初是松弛的，而且( )( )ttf=， 求系统的响应( )ty。 （1）( )( )( )( )( )tftftytyty+=+34 （2）( )( )( )( )tftytyty54 =+ 如果( )( )tetf t =，系统的响应( )ty又是什么？ 【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求解系统的响应。 【逻辑推理】首先由系统的微分方程求取系统函数，然后求出系统响应的拉氏变换，再求其拉 氏反变换即得系统的响应。 解：.当( )( )ttf=时，有( ) s sF 1 = （1）由微分方程( )( )( )( )( )tftftytyty+=+34 ，可得系统函数 ( ) ()()3 1 31 1 34 1 2 + = + + = + + = sss s ss s sH 则有 ( )( )( ) 3 1 3 1 21 + += + = s K s K ss sFsHsY 其中： ( ) 3 1 0 1 = =s ssYK () ( ) 3 1 3 3 2 =+= =s sYsK 所以 ( ) 3 1 3 11 3 1 + = ss sY 对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为 ( )( )( )()( )tetetty tt 33 1 3 1 3 1 3 1 = 228 （2）由微分方程( )( )( )( )tftytyty54 =+，可得系统函数 ( ) 54 2 + = ss s sH 则有 ( )( )( ) ()12 1 54 11 54 222 + = + = + = ssssss s sFsHsY 对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为 ( )( )ttety t sin 2 = . 当( )( )tetf t =时，有( ) 1 1 + = s sF （1）由微分方程( )( )( )( )( )tftftytyty+=+34 ，可得系统函数 ( ) ()()3 1 31 1 34 1 2 + = + + = + + = sss s ss s sH 则有 ( )( )( ) 311 1 3 1 21 + + + = + + = s K s K ss sFsHsY 其中： () ( ) 2 1 1 1 1 =+= =s sYsK () ( ) 2 1 3 3 2 =+= =s sYsK 所以 ( ) 3 1 2 1 1 1 2 1 + + = ss sY 对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为 ( )( )( )()( )teetetety tttt 33 2 1 2 1 2 1 = （2）由微分方程( )( )( )( )tftytyty54 =+，可得系统函数 ( ) 54 2 + = ss s sH 则有 ( )( )( ) ()() 122 5411 1 54 3 21 22 + + + + + = + = + + = s K js K js K sss s sss s sFsHsY 229 其中： () ( ) 4 31 2 2 1 j sYjsK js =+= += () ( ) 4 31 2 2 2 j sYjsK js + =+= = () ( ) 2 1 1 1 3 =+= =s sYsK 所以 ( ) 1 1 2 1 2 1 4 31 2 1 4 31 + + + + + = sjs j js j sY 对上式进行拉普拉斯反变换，即得系统响应为 ( ) ()() ( ) ()()( ) ( )tetete teeejeeee tee j e j ty ttt tjtjttjtjtt ttjtj += += + + = + 2 1 sin 2 3 cos 2 1 2 1 4 3 4 1 2 1 4 31 4 31 22 22 22 4.12 对一个 LTI 系统，已知：输入信号( )()tetf t = 2 4；输出响应( )()( )tetety tt 22 += （1）确定系统的系统函数( )sH及收敛域； （2）求系统的单位冲激响应( )th； （3）如果输入信号( )tf为( )=+ 且 tt t tt t eeee 230 即收敛域为22。 所以 ( ) ( ) ( )2 1 2 4 2 1 2 1 + = + + = s s ss sF sY sH 其收敛域为22。 （2）根据收敛域为22可得到： ( ) t esHL 2 1 = 即单位冲激响应为 ( ) t eth 2 = （3）若输入信号( )tf为( )= tetf t, 输入 ( )( )( ) ()()() () = + = +=+= += te eee dedeedeedee deedeedeethtfty t t ttt ttt 3 4 3 1 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 2 0 2 2 4.13 描述某 LTI 系统的微分方程为( )( )( )( )tftftyty+=+2，求下列激励下的零状态响应。 （1）( )( )ttf= （2）( )( )tetf t = （3）( )( )tetf t2 = （4）( )( )tttf= 【知识点窍】主要考察系统函数的特性。 【逻辑推理】首先由系统的微分方程求取系统函数，然后求出零状态响应的拉氏变换，再求其 拉氏反变换即得系统零状态响应。 解：由微分方程可得系统函数 ( ) 2 1 + + = s s sH （1）( )( )ttf=，则有( ) s sF 1 = ( )( )( ) s K s K ss s sFsHsYzs 21 2 1 2 1 + + = + + = 231 其中： ()( ) 2 1 2 2 1 =+= =s zs sYsK ( ) 2 1 0 2 = =s zs ssYK 所以 ( ) ss sYzs 1 2 1 2 1 2 1 + + = 对上式进行拉普拉斯反变换，即得零状态响应为 ( )( )( )( )tettety tt zs 22 1 2 1 2 1 2 1 +=+= （2）( )( )tetf t =，则有( ) 1 1 + = s sF ( )( )( ) 2 1 1 1 2 1 + = + + + = sss s sFsHsYzs 对上式进行拉普拉斯反变换，即得零状态响应为 ( )( )tety t zs 2 = （3）( )( )tetf t2 =，则有( ) 2 1 + = s sF ( )( )( ) () 2 2 2 1 2 1 12 2 11 + + + = + + + = s K s K ss s sFsHsYzs 其中： ()( )()112 2 2 2 11 =+=+= = = s szs ssYsK ()( )12 2 2 12 = += =s zs sYs ds d K 所以 ( ) ()2 1 2 1 2 + + + = ss sYzs 对上式进行拉普拉斯反变换，即得零状态响应为 ( )( )( )()( )tettettety ttt zs 222 1 =+= （4）( )( )tttf=，则有( ) 2 1 s sF= ( )( )( ) 2 1 2 1 212 2 11 2 + += + + = s K s K s K ss s sFsHsYzs 其中： 232 ( ) 2 1 2 1 0 0 2 11 = + + = = = s szs s s sYsK ( ) 4 1 0 2 12 = = =s zs sYs ds d K ()( ) 4 1 2 2 2 =+= =s zs sYsK 所以 ( ) 2 1 4 11 4 11 2 1 2 + += sss sYzs 对上式进行拉普拉斯反变换，即得零状态响应为 ( )( )( )( )()( )tettetttty tt zs 22 12 4 1 4 1 4 1 2 1 +=+= 4.14 描述某 LTI 系统的微分方程为( )( )( )( )( )tftftytyty423 +=+，求在下列条件下的零输 入响应和零状态响应。 （1）( )( ) ()()10, 00,= yyttf （2）( )( ) ()()10, 10, 2 = yytetf t 【知识点窍】主要考察利用拉氏变换求解系统的响应。 【逻辑推理】首先由系统的微分方程求取系统函数，然后求出系统零状态响应的拉氏变换，再 求其拉氏反变换即得系统零状态的响应。对于零输入响应其求出可以采用两种方式：利用经典解法， 由微分方程特征根直接写出其形式，再代入初始条件即可求得；另外，直接将微分方程两边求拉氏 变换，代入初始条件即可求零输入响应的拉氏变换，然后求其反变换即得。 解：由微分方程可得系统函数 ( ) ()()21 4 23 4 2 + + = + + = ss s ss s sH 由微分方程可得其特征方程为 023 2 =+ 可解得特征根为 2, 1 21 = 则系统的零输入响应为 ( ) tt zi eCeCty 2 21 += （1）当输入( )( )ttf=时，有( ) s sF 1 =。 233 则有 ( )( )( ) ()()2 1 1 32 21 41 + + + = + + = sssss s s sFsHsYzs 对上式进行拉普拉斯反变换，即得到系统的零状态响应 ( )( )( )( ) ()( )tee tetetty tt tt zs 2 2 32 32 += += 微分方程零输入响应为 ( ) tt zi eCeCty 2 21 += 则有 ( ) tt zi eCeCty 2 21 2 = 将初始条件()()10, 00= yy代入以上两式，有： ()00 21 =+= CCy ()120 21 = CCy 由以上两式求得： 1, 1 21 =CC 故得到系统零输入响应为 ( )()( )teety tt zi 2 = （2）当输入( )( )tetf t2 =时，有( ) 2 1 + = s sF。 则有 ( )( )( ) ()()()()221 4 21 4 2 1 + + = + + + = ss s ss s s sFsHsYzs 将( )sYzs进行部分分式展开得： ( ) () 12 2 212 2 11 + + + + + = s K s K s K sYzs 求得2 11 =K，3 12 =K，3 2 =K 故得 ( ) ()1 3 2 3 2 2 2 + + + + + = sss sYzs 对上式进行拉普拉斯反变换，即得到系统的零状态响应 234 ( )( )( )( ) ( )teete tetettety ttt ttt zs += += 332 332 22 22 微分方程零输入响应为 ( ) tt zi eCeCty 2 21 += 则有 ( ) tt zi eCeCty 2 21 2 = 将初始条件()()10, 10= yy代入以上两式，有： ()10 21 =+= CCy ()120 21 = CCy 由以上两式求得： 2, 3 21 =CC 故得到系统零输入响应为 ( )()( )teety tt zi 2 23 = 4.15 求下列方程所描述 LTI 系统的冲激响应( )th和阶跃响应( )tg。 （1）( )( )( )( )( )tftftytyty334 =+ （2）( )( )( )( )( )tftftytyty+=+ 【知识点窍】主要考察系统函数的特性。 【逻辑推理】首先由系统的微分方程求取系统函数，然后求其反拉氏变换即系统的冲激响应。 利用系统函数的定义求出阶跃响应的拉氏变换，再求其反变换即得阶跃响应。 解： （1）由微分方程可得系统函数 ( ) ()()31 3 34 3 2 + = + = ss s ss s sH 系统的冲激响应为 ( )( ) ()() ( )( ) ()( )tee tete ss L ss s LsHLth tt tt 3 3 111 32 32 3 3 1 2 31 3 += += + + + = + = 当输入( )( )ttf=时，有( ) s sF 1 =，此时响应为系统的阶跃响应（因为阶跃响应是零状 态响应） 。 235 则有 ( )( )( ) ()()3 1 1 21 31 31 + + += + = sssss s s sFsHsYzs 对上式进行拉普拉斯反变换，即得到系统的阶跃响应 ( )( )( )( )()( )teetetettg tttt 122 33 =+= （2）由微分方程可得系统函数 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 3 3 3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 1 + + + + + + = + + + + + + = + + = ss s ss s ss s sH 系统的冲激响应为 ( )( ) ( )( ) ( )ttte ttette ss s LsHLth t tt += += + + + + + + = 2 3 sin 3 3 2 3 cos 2 3 sin 3 3 2 3 cos 2 3 2 1 2 3 3 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 11 当输入( )( )ttf=时，有( ) s sF 1 =，此时响应为系统的阶跃响应。 则有 ( )( )( ) 1 11 2 + + = ss s s sFsHsYzs 将( )sYzs进行部分分式展开得： ( ) js K js K s K sYzs 2 3 2 1 2 3 2 1 321 + + + += 236 求得 1 1 =K， 6 33 2 j K + =， 6 33 3 j K + = 故得 ( ) js j js j s sYzs 2 3 2 1 6 33 2 3 2 1 6 33 1 + + + = 对上式进行拉普拉斯反变换，即得到系统的阶跃响应 ( )( )( )( ) ( )( ) ( )ttete ttetet te j te j ttg tt tt tt += = + = + 2 3 sin 3 3 2 3 cos1 2 3 sin 3 3 2 3 cos 6 33 6 33 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 4.16 已知某 LTI 系统的阶跃响应( )()( )tetg t 2 1 =，欲使系统的零状态响应 ( )()( )tteety tt zs 22 1 += 求系统的输入信号( )tf。 【知识点窍】主要考察系统函数的特性。 【逻辑推理】首先由系统的阶跃响应求取系统函数，然后根据利用系统函数的定义求出输入信 号的拉氏变换，再求其反变换即得输入信号。 解：当输入( )( )ttf=时，有( ) s sF 1 = 此时系统的响应为阶跃响应 ( )()( )tetg t 2 1 = 其拉氏变换为 ( ) 2 11 + = ss sG 由此可得到系统函数 ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 2 11 + = + = + = ss s s ss sF sG sH 欲使系统的零状态响应为 ( )()( )tteety tt zs 22 1 += 237 其拉氏变换为 ( ) ()22 1 2 11 + + + = sss sYzs 则有 ( ) ( ) ( ) () 2 1 2 11 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 11 2 + += + + + = + + + + = ssss s s s ss sH sY sF zs 故可得此时的系统输入信号为 ( )( )( )( )tetettf tt +=+= 22 2 1 1 2 1 4.17 某 LTI 系统，当输入( )( )tetf t =时其零状态响应( )()( )teeety ttt zs 32 32 +=，求该系 统的阶跃响应( )tg。 【知识点窍】主要考察系统函数的特性。 【逻辑推理