2019版中考数学总复习第三章变量与函数3.3反比例函数（讲解部分）检测.pdf

第三章 变量与函数 反比例函数 考点清单 考点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象与性质 如果两个变量 、 之间的关系可以表示为 （，且 为常数），那么称 是 的反比例函数它的图象叫 双曲线 反比例函数的性质 表达式 （， 为常数） 图象 所在象限 第一、三 象限第二、四象限 增减性 在每个象限内， 随 的增 大而 减小 在每个象限内， 随 的增 大而增大 （）当 时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，并且 在每一个象限内， 随 的增大而减小；当 ，时， ；当 时， （）当 时，图象的两个分支分别位于第二、四象限，并且 在每一个象限内， 随 的增大而增大；当 ，时， ；当 时， 反比例函数解析式的确定用待定系数法 反比例函数 （）中 的几何意义 矩形 （为 关 于原点的对称点） 考点二 反比例函数与一次函数的结合 利用函数图象确定不等式 或 的解集的 方法 如图，过交点 、 分别作 轴的垂线，它们连同 轴把平面 分为四部分，相应标为、 从图象可以看出，在 、部分，反比例函数图象位于一次函数 图象的上方，所以不等式 的解集为 或 在、部分，反比例函数图象位于一次函数图象的下方， 所以不等式 的解集为 或 用割补的思想求 的面积 矩形 考点三 反比例函数的应用 用反比例函数解决实际问题的一般步骤：（）根据实际问题 建立反比例函数的模型；（）利用待定系数法或其他公式与数量 关系确定函数解析式；（）根据反比例函数的图象与性质解决实 际问题 方法一 正确理解反比例函数的概念，会求反比例 函数的解析式 求反比例函数的解析式的方法： （）根据图象特征求出双曲线上某个点的坐标，然后用待定 系数法求反比例函数的解析式 （）由 的几何意义直接得出反比例函数的解析式 例 （ 枣庄， 分）如图，反比例函数 的图象经 过矩形 的边 的中点 ，则矩形 的面积为 解析 设 （，）， 反比例函数 的图象经过点 ， ， 为 的中点， （，）， 轴， ， 矩形 年中考 年模拟 答案 思路分析 由反比例函数的系数 的几何意义可知 ，然后可求得 的值，从而可求得矩形 的面积 方法规律 在反比例函数 的图象上任取一点，过这 一个点向 轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是 定值 ；在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这 一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保 持不变 变式训练 （ 泰安， 分）如图，矩形 的两边 、 的长分别为 、， 是 的中点，反比例函数 的图 象经过点 ，与 交于点 （）若点 的坐标为（，），求 的值及图象经过 、 两 点的一次函数的表达式； （）若 ，求反比例函数的表达式 解析 （） （，）， 为 的中点， （，），（，） 反比例函数图象过点 （，）， 设图象经过 、 两点的一次函数表达式为 ， 将 （，），（，）代入 ，得 ， ， 解得 ， 图象经过 、 两点的一次函数的表达式为 （）连接 ，在 中， ， ， 设 点的坐标为（，），则 点的坐标为（，） ， 两点在 的图象上， ，解得 ， （，）， ， 反比例函数的表达式为 思路分析 （）由 点坐标及边 、 的长，可求点 与点 的坐标，这样利用待定系数法即可求得反比例函数、一次 函数的表达式；（）连接 ，在 中，由勾股定理可求 的长，再由 求得 的长，进而求得 的长不妨设 点横坐标为 ，则 点横坐标为 ，由于点 、 均在反比例函 数的图象上，故它们的坐标之积相等，据此列方程求得 的值， 则容易计算 的值，确定出反比例函数的表达式 方法二 反比例函数与几何问题的联系 反比例函数常和一次函数、三角形、四边形等联系起来综合 考查，比如用点的坐标表示线段的长度，结合几何图形的特征列 方程，求出点的坐标，进而求出函数解析式，或用点的坐标表示 线段的长度，从而探究几何图形的某些特征 例 （ 聊城， 分）如图，分别位于反比例函数 ， 在第一象限图象上的两点 ，与原点 在同一直线 上，且 （）求反比例函数 的表达式； （）过点 作 轴的平行线交 的图象于点 ，连接 ，求 的面积 解析 （）作 轴， 轴，垂足分别为 ，则 ， ，又 ， 由点 在函数 的图象上，设点 ， () ， ， ，即 ， ()， 又 点 在函数 的图象上， ，解得 ， 反比例函数 的表达式为 （）由（）知， ， ()， ， () 又已知过点 作 轴的平行线交 的图象于点 ， 点 的纵坐标为 ，又由点 在 的图象上， ，解得 ， ， ()， ， 点 到 的距离为 变式训练 （ 贵州贵阳， 分）如图，在平面直角 坐标系中，菱形 的边 在 轴上，反比例函数 （ ）的图象经过菱形对角线的交点 ，且与边 交于点 ，点 第三章 变量与函数 的坐标为（，） （）求反比例函数解析式； （）求点 的坐标 解析 （）把 （，）代入 ，得 ，解得 反比例函数解析式为 （）作 轴于点 ， 轴于点 ， 轴于点 ， 四边形 是菱形， ， 轴， 轴， ， ， ， ， 设 ，则 ，在 中，（） 解得 ， 设点 的横坐标为 ，则点 的纵坐标为 ， 轴， 轴， ， ， ， 解得 ，（舍去） ， 点 的坐标为 ， () 评析 本题重点是反比例函数和菱形性质的综合运用， 难点是构造直角三角形利用勾股定理、相似等知识求解的思维 过程反比例函数与几何图形结合求点的坐标或解析式的综合题 型的一般思维模式：基本原则是“设坐标，作垂直”（注：一般设反 比例函数图象上点的坐标，若多个点设其中一个点的