2017_2018学年高中数学2.3数学归纳法课件新人教A版.pptx

2.3 数学归纳法,1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,1.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 第一步,归纳奠基:证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立. 第二步,归纳递推:假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.,1.如何理解数学归纳法? 剖析:数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法,证明分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”.运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点: (1)两个步骤缺一不可. (2)在第一步中,n的初始值不一定从1开始,也不一定只取一个数(有时需取n=n0,n0+1等),证明时应视具体情况而定. (3)在第二步中,证明当n=k+1命题成立时,必须使用假设,否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效. (4)证明当n=k+1命题成立时,要明确求证的目标形式,一般要凑出假设里给出的形式,以便使用假设,然后再去凑出当n=k+1时的结论,这样就能有效减少论证的盲目性.,2.运用数学归纳法要注意哪些? 剖析:正确运用数学归纳法应注意以下几点: (1)找准起点. 数学归纳法的第一个步骤是要找一个数n0,这个n0就是我们要证明的命题对象的最小正整数,这个正整数并不一定都是“1”,因此“找准起点”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题. (2)递推是关键. 数学归纳法的实质在于递推,所以从“n=k”到“n=k+1”的过程,必须把归纳假设“n=k”命题成立作为条件来导出“n=k+1”时命题成立.在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次.,(3)正确寻求递推关系. 我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求递推关系呢? 在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的. 探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在哪个位置. 在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,用数学归纳法证明几何问题 【例3】 有n个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分. 分析:解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设. 证明:(1)当n=1时,圆把平面分为两部分,即f(1)=2,命题成立; (2)假设当n=k(k1,kN*)时,k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2部分,题型一,题型二,题型三,题型四,则当n=k+1时,依题意知第(k+1)个圆与前k个圆产生2k个交点,第(k+1)个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分, 所以平面上增加了2k个区域. 所以f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1时命题成立. 由(1)(2)知命题成立.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成(k+1)个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是