（江苏专版）2019年中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.5 特殊的平行四边形（试卷部分）课件.ppt

4.5特殊的平行四边形,中考数学(江苏专用),考点1矩形,A组2014-2018年江苏中考题组,五年中考,1.(2014南京,6,2分)如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(-2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是()A.、B.、C.、D.、,答案B过点A作AA1x轴于点A1,过点B作BB1x轴于点B1,过点C作B1B的垂线,交B1B的延长线于点D,如图所示,易知AOA1BCD,所以BD=AA1=1,故点B的纵坐标是4-1=3,从而由AOA1OBB1得=,即=,解得OB1=,所以B,故点C的横坐标为-2=-,即C,故选B.,2.(2018连云港,16,3分)如图,E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,连接AC、HE、EC、GA、GF,已知AGGF,AC=,则AB的长为.,答案2,解析如图,连接BD.四边形ABCD是矩形,ADC=DCB=90,AC=BD=,CG=DG,CF=FB,GF=BD=,AGFG,AGF=90,AGD+CGF=90,又DAG+AGD=90,DAG=CGF,ADGGCF,=,设CF=BF=a,CG=DG=b,=,b2=2a2,a0,b0,b=a,在RtGCF中,CF2+CG2=GF2,即3a2=,a=,b=1,AB=2b=2.故答案为2.,思路分析连接BD.由ADGGCF,可得=,设CF=BF=a,CG=DG=b,即=,可得b=a,在RtGCF中,利用勾股定理求出a,即可解决问题.,解题关键本题考查中点四边形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是综合运用所学知识,连接对角线,运用相似、勾股定理列出方程解决问题.,3.(2015苏州,18,3分)如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为.,答案16,解析由题意知DF是RtBDE的中线,所以DF=BF=FE=4.矩形ABCD中,AB=DC=x,BC=AD=y,在RtCDF中,CF=BF-BC=4-y,CD=x,DF=4,由勾股定理得CD2+CF2=DF2,即x2+(y-4)2=42=16.,评析本题考查勾股定理的应用,直角三角形的性质,综合性较强,对学生能力要求较高,属难题.,4.(2014苏州,17,3分)如图,在矩形ABCD中,=.以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AD于点E,若AEED=,则矩形ABCD的面积为.,答案5,解析连接BE,设AB=3k(k0),则BC=5k.在RtABE中,根据勾股定理可求出AE=4k,故ED=k,由题意可得4kk=,可得k2=,所以矩形ABCD的面积为ABBC=3k5k=15k2=15=5.,5.(2017宿迁,26,10分)如图,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=,点E在边CD上移动,连接AE,将多边形ABCE沿直线AE翻折,得到多边形ABCE,点B、C的对应点分别为点B、C.(1)当BC恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长;(2)若BC分别交边AD,CD于点F,G,且DAE=22.5(如图2),求DFG的面积;(3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C运动的路径长.,解析(1)如题图1,设CE=EC=x,则DE=1-x,ADB+EDC=90,BAD+ADB=90,BAD=EDC,又B=C=90,ADBDEC,=,AB=AB=1,AD=,DB=,=,x=-2,CE=-2.(2)如题图2,BAD=B=D=90,DAE=22.5,EAB=EAB=67.5,BAF=BFA=45,DFG=AFB=DGF=45,DF=DG.在RtABF中,AB=FB=1,AF=AB=,DF=DG=-,SDFG=(-)2=-.(3)如图,点C运动的路径长为的长,在RtADC中,tanDAC=,DAC=30,AC=2CD=2,CAD=DAC=30,CAC=60,的长=.,解题关键本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、弧长公式等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形.,6.(2017无锡,28,8分)如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=m,动点P从点D出发,在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动,连接CP,作点D关于直线PC的对称点E,设点P的运动时间为t(s).(1)若m=6,求当P、E、B三点在同一直线上时对应的t的值;(2)已知m满足:在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3,求所有这样的m的取值范围.,解析(1)如图,设PD=t,则PA=6-t.由题意知EPC=DPC,P、E、B三点共线,BPC=DPC,ADBC,DPC=PCB,BPC=PCB,BP=BC=6,在RtABP中,AB2+AP2=PB2,42+(6-t)2=62,解得t=6-2或6+2(舍去),PD=6-2,当t=6-2时,P、E、B三点共线.(2)如图,当点P与点A重合,点E在BC的下方,点E到BC的距离为3时,作EQBC于Q,EMDC交DC的延长线于M,则EQ=3,CE=DC=4.易证四边形EMCQ是矩形,CM=EQ=3,M=90,EM=,易知DAC=EDM,又ADC=M,ADCDME,=,即=,AD=4,如图,当点P与点A重合,点E在BC的上方,点E到BC的距离为3时,作EQBC交CB的延长线于Q,延长QE交DA的延长线于M,则EQ=3,CE=DC=4.图3在RtECQ中,QC=DM=,易证DMECDA,=,即=,AD=.综上所述,在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3,所有这样的m的取值范围为m0),则DP=2x,在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,即(2x)2=(3)2+(3-x)2,解得x=-(负值舍去),即AP=-;点P在AB上时,PAD=90,PD=2AP,ADP=30,AP=ADtan30=6=2.综上所述,AP的长为2,-或2.,思路分析根据正方形的性质得出ACBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,画出符合题意的三种情况,根据正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数求解即可.,解题关键熟记正方形的性质,分析符合题意的情况,并准确画出图形是解题的关键.,易错警示此题没有给出图形,需将点P的位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方形边上而致错.,5.(2017甘肃兰州,19,4分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:ABAD,且AB=AD;AB=BD,且ABBD;OB=OC,且OBOC;AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是(写出所有正确的序号).,答案,解析有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,即正确.BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的一条边,所以当AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,即错误.对角线相等且垂直的平行四边形是正方形.由OB=OC,得对角线相等,即AC=BD,由OBOC,得ACBD,即平行四边形ABCD为正方形,即正确.邻边相等的平行四边形是菱形,对角线相等的菱形是正方形,即正确.,6.(2016广东广州,16,3分)如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将DCB绕点D顺时针旋转45得到DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG,则下列结论:四边形AEGF是菱形;AEDGED;DFG=112.5;BC+FG=1.5.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号),答案,解析由题可知DGHDCB,DH=DB,DHG=DBC=45,DGH=DCB=90,DG=DC=AD,又DAC=45,DAC=DHG,AFEG.在RtAED和RtGED中,AD=GD,ED=ED,RtAEDRtGED,ADE=GDE,故正确;在ADF与GDF中,AD=GD,ADF=GDF,FD=FD,ADFGDF,AF=GF,DGF=DAF=45,又DBA=45,FGAE,四边形AEGF是平行四边形,又AF=GF,平行四边形AEGF是菱形,故正确;GDF=ADB=22.5,DGF=45,DFG=112.5,故正确;FG=AE=HA=HD-AD=BD-AD=-1,BC+FG=1+-1=,故不正确.,评析本题考查了平行四边形、三角形的知识,借助旋转把这些知识融合在一起,考查了学生把复杂的图形转化为简单的图形来解决问题的能力.,7.(2016天津,17,3分)如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则的值等于.,答案,解析由题意易得DQ=PQ=QM=MN=MB=AB,DG=GF=GA=AE=BE=AB.S正方形MNPQ=MN2=AB2,S正方形AEFG=AE2=AB2,=.,8.(2015广西南宁,16,3分)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边ADE,则BED的度数为.,答案45,解析由题意可知,BAE=150,BA=AE,AEB=15.BED=45.,9.(2015吉林长春,13,3分)如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为.,答案5,解析四边形ABCD是正方形,AB=BC,C=90.ABE的面积为8,ABBC=8,AB2=8.AB=4.BC=AB=4.CE=3,BE=5.,10.(2015河南,15,3分)如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把EBF沿EF折叠,点B落在B处.若CDB恰为等腰三角形,则DB的长为.,答案16或4,解析分三种情况讨论:(1)若DB=DC,则DB=16(易知此时点F在BC上且不与点C、B重合).(2)当CB=CD时,连接BB,EB=EB,CB=CB,点E、C在BB的垂直平分线上,EC垂直平分BB,由折叠可知点F与点C重合,不符合题意,舍去.(3)如图,当CB=DB时,作BGAB于点G,延长GB交CD于点H.ABCD,BHCD,则四边形AGHD为矩形,AG=DH.CB=DB,DH=CD=8,AG=DH=8,GE=AG-AE=5.又易知EB=13,在RtBEG中,由勾股定理得BG=12,BH=GH-BG=4.在RtBDH中,由勾股定理得DB=4(易知此时点F在BC上且不与点C、B重合).综上所述,DB=16或4.,11.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.,解析(1)证明:如图,连接DF.四边形ABCD为正方形,DA=DC=AB,A=C=ADC=90.又点A关于直线DE的对称点为F,ADEFDE,DA=DF=DC,DFE=A=90,DFG=90.在RtDFG和RtDCG中,RtDFGRtDCG(HL),GF=GC.(2)线段BH与AE的数量关系:BH=AE.证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME.AD=AB,DM=BE.由(1)得1=2,3=4,ADC=90,思路分析本题第(1)问需要通过正方形的性质和轴对称的性质解决;本题第(2)问需要通过构造全等三角形,利用等腰直角三角形的性质解决.,解题关键解决本题第(2)问的关键是要通过截取得到等腰直角三角形,并借助SAS证明三角形全等,从而将BH和AE转化到AME中证明数量关系.,C组教师专用题组,考点1矩形,1.(2015山东临沂,12,3分)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是()A.AB=BEB.BEDCC.ADB=90D.CEDE,答案B四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC,AB=CD,DEBC,又DE=AD,DE=BC,四边形DBCE是平行四边形.若AB=BE,则CD=BE,则平行四边形DBCE是矩形.若CEDE,即DEC=90,则平行四边形DBCE是矩形.若ADB=90,则BDE=90,则平行四边形DBCE是矩形.当BEDC时,平行四边形DBCE是菱形.故选B.,2.(2015江西南昌,5,3分)如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化.下列判断的是()A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变,答案C向右扭动框架ABCD的过程中,AD与BC的距离逐渐减小,即ABCD的高发生变化,所以面积改变,选项C错误,故选C.,3.(2015黑龙江哈尔滨,19,3分)在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形,若线段EF的中点为点M,则线段AM的长为.,答案5.5或0.5,解析如图,依题意知BE=BC=5,则AE=3,又EF=5,M是EF的中点,则EM=2.5,AM=3+2.5=5.5.图,如图,同理,FD=3,MF=2.5,则DM=DF+FM=3+2.5=5.5,AM=DM-DA=5.5-5=0.5.图综上,线段AM的长为5.5或0.5.,4.(2015重庆,18,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,连接BD,DBC的角平分线BE交DC于点E,现把BCE绕点B逆时针旋转,记旋转后的BCE为BCE.当射线BE和射线BC都与线段AD相交时,设交点分别F,G.若BFD为等腰三角形,则线段DG长为.,答案,解析过点F作FHBD交BG的延长线于点H,在矩形ABCD中,BD=14,ADBC,ADB=DBC,BE平分DBC,FBG=EBC=DBC,FBG=FDB,由题可得BF=FD,FBD=FDB,FBG=FBD,FBG=GBD,FHBD,H=GBD,H=FBG,FB=FH=FD,设FD=x(x0),在RtABF中,由勾股定理得BF2=AF2+AB2,即x2=(10-x)2+(4)2,解得x=,FB=FH=FD=.FHBD,FHGDBG,=,设GD=y(y0),=,解得y=,GD=.,评析本题重点考查勾股定理,矩形的性质,相似三角形的性质与判定,方程思想等,综合性较强,属于难题.,5.(2014辽宁沈阳,16,4分)如图,ABCD中,ABAD,AE,BE,CM,DM分别为DAB,ABC,BCD,CDA的平分线,AE与DM相交于点F,BE与CM相交于点H,连接EM,若ABCD的周长为42cm,FM=3cm,EF=4cm,则EM=cm,AB=cm.,答案5;13,解析由题意可得四边形EFMH是矩形,所以EM=5cm.如图,延长CM交AB于点I,延长AE交CD于点J,连接FH,易证BHIBHC,所以BC=BI,CH=HI,则H为IC的中点.同理,AD=DJ,F为AJ的中点.所以AI=FH=EM=5cm.因为ABCD的周长为42cm,所以AB+BC=21cm,所以2BC+AI=21cm,所以BC=8cm,AB=13cm.,评析本题考查平行四边形的性质,直角三角形的性质,属较难题.,6.(2014河南,15,3分)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点,把ADE沿AE折叠,当点D的对应点D落在ABC的角平分线上时,DE的长为.,答案或,解析作BF平分ABC交CD于点F,作AGBF于点G,由题意知AG=ABsin45=,5,D是以A为圆心,AD长为半径的圆弧与BF的交点,易知有两种情况,第一种情况:如图,图在RtAGD中,DG=,BD=+=4,DF=BF-DB=5-4=,作DHCD,垂足为H.在RtDFH中,易求得FH=HD=1,DH=DF+FH=3,设DE=x,则DE=x,EH=3-x,在RtEHD中,EH2+DH2=DE2,即(3-x)2+12=x2,解得x=,即DE=,第二种情况:如图,图作DHCD,垂足为H,同理求得DE=.综上所述,DE的长为或.,评析本题是以矩形为载体,以折叠为背景的求线段长问题,主要考查矩形的性质,轴对称的性质,角平分线,勾股定理的运用,依据题意构造直角三角形是关键,本题属难题.,7.(2018云南昆明,23,12分)如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP3(不合题意,舍去),存在x,使得QPDP.(10分),评析本题是以矩形为载体的动点问题.主要考查矩形的性质,三角形的面积等.解题的关键是用含x的代数式表示各线段的长.属难题.,10.(2015吉林长春,22,9分)在矩形ABCD中,已知ADAB.在边AD上取点E,使AE=AB,连接CE.过点E作EFCE,与边AB或其延长线交于点F.猜想:如图,当点F在边AB上时,线段AF与DE的大小关系为.探究:如图,当点F在边AB的延长线上时,EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系,并加以证明.应用:如图,若AB=2,AD=5,利用探究得到的结论,求线段BG的长.,解析猜想:AF=DE.(2分)探究:AF=DE.证明:EFCE,CEF=90.1+2=90.四边形ABCD为矩形,A=D=90,AB=CD.2+3=90.1=3.AE=AB,AE=DC.,AEFDCE.AF=DE.(6分)应用:AF=DE=AD-AE=5-2=3,BF=AF-AB=3-2=1.在矩形ABCD中,ADBC,FBGFAE.=,即=.BG=.(9分),11.(2015北京,22,5分)在ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分DAB.,证明(1)在ABCD中,ABCD,DF=BE,四边形BFDE为平行四边形.DEAB,DEB=90.四边形BFDE是矩形.(2)由(1)可得,BFC=90.在RtBFC中,由勾股定理可得BC=5.AD=BC=5.AD=DF.DAF=DFA.ABCD,DFA=FAB.DAF=FAB.AF平分DAB.,12.(2014内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O,连接DE.(1)求证:ADECED;(2)求证:DEAC.,证明(1)四边形ABCD是矩形,AD=BC,AB=CD.又AC是折痕,BC=CE=AD,(1分)AB=AE=CD,(2分)又DE=ED,ADECED.(3分),评析本题考查轴对称变换(折叠问题),矩形的性质以及全等三角形的判定与性质,属容易题.,13.(2014重庆,26,12分)已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AEBD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF.(1)求AE和BE的长;(2)若将ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度),当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值;(3)如图,将ABF绕点B顺时针旋转一个角(0180),记旋转中的ABF为ABF,在旋转过程中,设AF所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.,解析(1)AB=5,AD=,由勾股定理得BD=.(1分)ABAD=SABD=BDAE,5=AE,解得AE=4,(3分)BE=3.(4分)(2)当点F在线段AB上时,m=3;(6分)当点F在线段AD上时,m=.(8分)(3)存在.理由如下:当DP=DQ时,若点Q在线段BD的延长线上,如图1,有Q=1,图1则2=1+Q=2Q.3=4+Q,3=2,4+Q=2Q,4=Q,AQ=AB=5,FQ=4+5=9.在RtBFQ中,92+32=,+DQ=3,DQ=3-或DQ=-3-(舍).(9分)若点Q在线段BD上,如图2,图2,有1=2=4.1=3,3=4,3=5+A,A=CBD,3=5+CBD=ABQ,4=ABQ,AQ=AB=5,FQ=5-4=1,BQ=.DQ=-.(10分)当QP=QD时,如图3,有P=1,图3A=1,2=3,4=P,4=A,QB=QA,设QB=QA=x,在RtBFQ中,32+(4-x)2=x2,解得x=,DQ=-=.(11分)当PD=PQ时,如图4,有1=2=3,1=A,图43=A,BQ=AB=5,DQ=-5=.综上,当DPQ是等腰三角形时,DQ的值为3-,-,.(12分),考点2菱形,1.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是()A.AB=EFB.AB=EFC.AB=2EFD.AB=EF,答案D如图,连接AC、BD交于O,四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=OC,OB=OD,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,EF=AC,EH=BD,EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA,AB=OA,易知OA=EF,AB=EF,故选D.,思路分析首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理得出EF=AC,EH=BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB=OA,即得AB=EF.,2.(2015福建龙岩,10,4分)如图,菱形ABCD的周长为16,ABC=120,则AC的长为()A.4B.4C.2D.2,答案A设AC与BD相交于点O,四边形ABCD是菱形,且其周长为16,ABC=120,AB=4,ACBD,AC=2AO,ABO=60,则在RtABO中,AO=ABsin60=2,AC=4,故选A.,3.(2015甘肃兰州,10,4分)如图,菱形ABCD中,AB=4,B=60,AEBC,AFCD,垂足分别为E,F,连接EF,则AEF的面积是()A.4B.3C.2D.,答案B连接AC,在菱形ABCD中,AB=BC,B=60,ABC是等边三角形,AEBC,AE=2,EAC=30,同理可得AF=2,CAF=30,则EAF为等边三角形,SAEF=(2)2=3.故选B.,4.(2015辽宁沈阳,7,3分)顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所形成的四边形是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形,答案B如图,在ABD中,E,F分别是AB,AD的中点,EF是ABD的中位线,EF=BD,同理,GH=BD,EH=AC,FG=AC,AC=BD,EF=FG=HG=HE,四边形EFGH是菱形.,评析顺次连接四边形各边中点所得的四边形是中点四边形.中点四边形一定是平行四边形,它的其他特征取决于原四边形对角线的特点:若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形的各角为直角;若原四边形的对角线相等,则中点四边形的各边相等.,5.(2014上海,6,4分)如图,已知AC、BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是()A.ABD与ABC的周长相等B.ABD与ABC的面积相等C.菱形ABCD的周长等于两条对角线长之和的两倍D.菱形ABCD的面积等于两条对角线长之积的两倍,答案B解法一:由题图可知SABD=S菱形ABCD,SABC=S菱形ABCD,所以SABD=SABC.解法二:ABC和ABD是同底等高的两个三角形,所以SABC=SABD.,6.(2014陕西,9,3分)如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AEBC,垂足为E,则AE的长为()A.4B.C.D.5,答案C连接BD,交AC于点O,四边形ABCD是菱形,ACBD,AB=5,AC=2AO=6,OB=4,BD=2OB=8.S菱形ABCD=68=24.S菱形ABCD=BCAE,BC=AB=5,AE=,故选C.,7.(2014山东烟台,6,3分)如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若DAC=28,则OBC的度数为()A.28B.52C.62D.72,答案CAOM=CON,MAO=NCO,AM=CN,AOMCON,AO=CO,点O是菱形ABCD对角线的交点,BOAC,OBC=90-BCO=90-DAC=90-28=62.,8.(2014浙江宁波,6,4分)菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是()A.10B.8C.6D.5,答案D四边形ABCD是菱形(如图),AC=8,BD=6,OB=OD=3,OA=OC=4,ACBD,在RtAOB中,由勾股定理得AB=5,即此菱形的边长是5,故选D.,9.(2018内蒙古呼和浩特,16,3分)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM45,所以无论点M运动到何处,CHM一定大于135,故正确.所以都正确.,思路分析点E在运动的过程中,CBA=CHE=90,故B、E、H、C四点共圆,作出图形,再进行判断.,解题关键解决本题的关键是要借助中点发现辅助圆.,10.(2017南京,15,2分)如图,四边形ABCD是菱形,O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE.若D=78,则EAC=.,答案27,解析四边形ABCD是菱形,ADBC,CA平分DCB.D=78,DCB=180-D=102,ACE=DCB=51.A、E、C、D四点共圆,D+AEC=180,AEC=102.在AEC中,EAC=180-AEC-ACE=180-102-51=27.,解后反思本题综合考查菱形的性质、圆的内接四边形对角互补的性质,掌握这两个性质是解决问题的关键.,11.(2014四川成都,24,4分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,A=60,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN,连接AC,则AC长度的最小值是.,答案-1,解析过点M作MFCD交CD的延长线于F.由题意可知MA、MA是定值,AC的长度最小时,A在MC上(如图).菱形ABCD的边长为2,A=60,M是AD的中点,MD=MA=1,MDF=60.MF=MDsin60=,DF=MDcos60=.CF=CD+DF=.在RtMFC中,由勾股定理得MC=.AMN沿MN所在直线翻折得到AMN,MA=MA=1.AC=MC-MA=-1.故答案为-1.,评析本题是一道以菱形为依托的动点探究问题,主要考查菱形、轴对称(翻折)、锐角三角函数、勾股定理等知识的综合应用.根据已知分析确定点A的位置是本题的解题关键.,解析(1)相等(或BP=CE);垂直(或CEAD).(2)成立.证明:如图,连接AC,交BD于点O.当点P在线段OD上时,四边形ABCD为菱形,ABC=60,AB=BC,ABD=30,ABC为等边三角形,BAC=60,AB=AC.APE为等边三角形,AP=AE,PAE=60.BAC+PAC=PAE+PAC.,即BAP=CAE.在APB与AEC中,ABPACE,BP=CE,ACE=ABP=30.ACD为等边三角形,ACE=DCE=30,CEAD.当点P在BD延长线上时,证明方法同第一种情况.(3)如图,连接AC,CE,设AD与CE交于点M,由(2)可得BAPCAE,BP=CE,CEAD,ACE=ABP=30.ABC为等边三角形,ACB=60,BCE=90.BC=AB=2,BE=2,CE=8.BP=8.ADC为等边三角形,且边长为2,AM=,CM=3.EM=8-3=5.AE=2.S等边AEP=(2)2=7.设AC与BD交于点O,菱形ABCD的边长为2,BD=6,AO=,DP=8-6=2.SADP=2=.S四边形ADPE=7+=8.,思路分析(1)根据菱形ABCD中,ABC=60,可得ABC和ACD为等边三角形,ABP=30,由于APE为等边三角形,可利用SAS证得BAPCAE,进而得出PB=EC,ABP=ACE=30,进一步得出DCE=ACE=30,依据等边三角形的性质可得CEAD;(2)结论仍然成立,证明方法同上;(3)首先根据AB=BC=2,BE=2,求出CE=BP=8,进而求出EM,AE的长,最后分别求出DAP和PAE的面积,即可得解.,方法指导几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,类比探究的第一问往往是特殊图形,解决的方法可能不止一种,但总有一种方法是可以照搬到后面几问,其中所涉及的三角形全等或相似,要寻找的等量关系或添加的辅助线均类似.同时,要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方法.,13.(2015湖南郴州,23,8分)如图,AC是ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.(1)求证:AOECOF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.,解析(1)证明:在ABCD中,ADBC,EAO=FCO.(1分)点O是AC的中点,AO=CO.(2分)又EOA=FOC,(3分)AOECOF.(4分)(2)当EFAC时,四边形AFCE是菱形.(5分)理由如下:由(1)知AOECOF,OE=OF.又AO=CO,四边形AFCE是平行四边形.(7分)当EFAC时,四边形AFCE是菱形.(8分),14.(2015吉林长春,18,7分)如图,CE是ABC外角ACD的平分线.AFCD交CE于点F,FGAC交CD于点G.求证:四边形ACGF是菱形.,证明AFCD,FGAC,四边形ACGF是平行四边形.(3分)CE平分ACD,1=2.AFCD,2=3.1=3.AF=AC.四边形ACGF是菱形.(7分),15.(2015江西南昌,20,8分)(1)如图1,纸片ABCD中,AD=5,SABCD=15.过点A作AEBC,垂足为E,沿AE剪下ABE,将它平移至DCE的位置,拼成四边形AEED,则四边形AEED的形状为()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图2,在(1)中的四边形纸片AEED中,在EE上取一点F,使EF=4,剪下AEF,将它平移至DEF的位置,拼成四边形AFFD.求证:四边形AFFD是菱形;求四边形AFFD的两条对角线的长.,解析(1)C.(2分)(2)AD=5,SABCD=15,AE=3.又在下图中,EF=4,在RtAEF中,AF=5.AF=AD=5.又由AEF平移得到DEF,AFDF,AF=DF,四边形AFFD是平行四边形.又AF=AD,四边形AFFD是菱形.(5分)如图,连接AF,DF.,在RtDEF中,EF=EE-EF=5-4=1,DE=3,DF=.(6分)在RtAEF中,EF=EE+EF=5+4=9,AE=3,AF=3.(8分),16.(2014河北,23,11分)如图,ABC中,AB=AC,BAC=40,将ABC绕点A按逆时针方向旋转100得到ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:ABDACE;(2)求ACE的度数;(3)求证:四边形ABFE是菱形.,17.(2015贵州遵义,24,10分)在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AFBC交BE的延长线于点F.(1)求证:AEFDEB;(2)证明四边形ADCF是菱形;(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.,解析(1)证明:在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点,AD=BC=DC=BD.(1分)AFBC,DBE=AFE,E是AD的中点,ED=EA.又BED=FEA,(2分)BDEFAE(AAS).(3分)(2)证明:由(1)知AF=BD=DC,(4分)AFDC,四边形ADCF是平行四边形.(5分)又AD=DC,四边形ADCF是菱形.(6分)(3)解法一:连接DF,18.(2014北京,19,5分)如图,在ABCD中,AE平分BAD,交BC于点E,BF平分ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若AB=4,AD=6,ABC=60,求tanADP的值.,解析(1)证明:BF是ABC的平分线,ABF=EBF.ADBC,AFB=EBF.AFB=ABF.AB=AF.同理,AB=BE.AF=BE.又AFBE,四边形ABEF是平行四边形.AB=AF,四边形ABEF是菱形.(2)过点P作PGAD于点G,如图.,19.(2014山东青岛,24,12分)已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,直线EF从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1cm/s,EFBD,且与AD,BD,CD分别交于点E,Q,F;当直线EF停止运动时,点P也停止运动.连接PF,设运动时间为t(s)(0t8).解答下列问题:(1)当t为何值时,四边形APFD是平行四边形?(2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFES菱形ABCD=1740?若存在,求出t的值,并求出此时P,E两点间的距离;若不存在,请说明理由.,解析(1)四边形ABCD是菱形,ABCD,ACBD,OA=OC=AC=6cm,OB=OD=BD=8cm.在RtAOB中,AB=10cm.EFBD,FQD=COD=90.又FDQ=CDO,DFQDCO.=.即=,DF=tcm.四边形APFD是平行四边形,AP=DF.即10-t=t,解这个方程,得t=.,答:当t=时,四边形APFD是平行四边形.(4分),(2)过点C作CGAB于点G,S菱形ABCD=ABCG=ACBD,即10CG=1216,CG=cm.,S梯形APFD=(AP+DF)CG=cm2.DFQDCO,=.即=,QF=tcm.同理,EQ=tcm.EF=QF+EQ=tcm.SEFD=EFQD=tt=t2cm2.y=-t2=-t2+t+48.(8分)(3)若S四边形APFES菱形ABCD=1740,则-t2+t+48=96,即5t2-8t-48=0,解这个方程,得t1=4,t2=-(舍去).,过点P作PMEF于点M,PNBD于点N,当t=4时,PBNABO,=,即=.PN=cm,BN=cm.EM=EQ-MQ=3-=cm,PM=BD-BN-DQ=16-4=cm.在RtPME中,PE=cm.(12分),评析本题主要考查菱形和四边形的面积,是动态几何的典型题目,中考中常以压轴题目出现,也是几何背景下的函数应用题.,20.(2014浙江杭州,22,12分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=4.动点P在线段BD上从点B向点D运动,PFAB于点F,四边形PFBG关于BD对称,四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称.设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1,未被盖住部分的面积为S2,BP=x.(1)用含x的代数式分别表示S1,S2;(2)若S1=S2,求x的值.,解析(1)在RtABO中,由tanABO=,得ABO=60,因为BP=x,所以BF=,FP=.菱形ABCD的面积等于ACBD=8.当0x2时,S1=,S2=8-.当2x4时,四边形PFBG的面积等于.又因为PO=x-2,MN=,所以PMN的面积等于,所以五边形BGNMF的面积等于-,所以S1=2=-+8,S2=.(2)当0x2时,由S1=S2,即=8-,解得x=2(舍去);当2x4时,由S1=S2,即-+8=,解得x=8-2或x=8+2(舍去).所以当x=8-2时,S1=S2.,21.(2014山东济南,27,9分)如图1,有一组平行线l1l2l3l4,正方形ABCD的四个顶点分别在l1,l2,l4,l3上,EG过点D且垂直l1于点E,分别交l2,l4于点F,G,EF=DG=1,DF=2.(1)AE=,正方形ABCD的边长=;(2)如图2,将AEG绕点A顺时针旋转得到AED,旋转角为(0b).下列结论:BCGDCE;BGDE;=;(a-b)2SEFO=b2SDGO.其中结论正确的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个,答案B延长BG交DE于P,四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,BC