函数的奇偶性与周期性复习——老师用.doc

函数的奇偶性与周期性一、函数奇偶性定义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、需要注意的问题1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的三、重要结论1函数奇偶性的几个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性2有关对称性的结论：(1)若函数yf(xa)为偶函数，则函数yf(x)关于xa对称若函数yf(xa)为奇函数，则函数yf(x)关于点(a,0)对称(2)若f(x)f(2ax)，则函数f(x)关于xa对称若f(x)f(2ax)2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称奇偶性例题1函数f(x)lg(x1)lg(x1)的奇偶性是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数解析：由知x1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数答案：C2设函数f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)log2x，则f()()A B.C2 D2解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f()f()log2，故选B.答案：B3若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0对于xR恒成立，故a0.答案：0四、函数的周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期五、周期性重要结论定义式f(xT)f(x)对定义域内的x是恒成立的若f(xa)f(xb)，则函数f(x)的周期为T|ab|.若在定义域内满足f(xa)f(x)，f(xa)，f(xa)(a0)则f(x)为周期函数，且T2a为它的一个周期对称性与周期的关系：(1)若函数f(x)的图象关于直线xa和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，4|ab|是它的一个周期周期性例题4函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)_.解：f(x2)，f(x4)f(x)，f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(3).答案：考点一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性(1) f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x； (4)f(x)；(5)f(x)解：(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，xf(2x1)成立的x的取值范围是()A. B.(1，)C. D.解析：函数f(x)ln(1|x|)，f(x)f(x)，故f(x)为偶函数，又当x(0，)时，f(x)ln(1x)，f(x)是单调递增的，故f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)，|x|2x1|，解得x1，故选A.答案：A探究三周期性与奇偶性相结合3已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1,4) B(2,0) C(1,0) D(1,2)解析：f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4，故选A.答案：A探究四单调性、奇偶性与周期性相结合4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11)解析：f(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)答案：D5.设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.解析易知f(x)1.设g(x)f(x)1，则g(x)是奇函数f(x)的最大值为M，最小值为m，g(x)的最大值为M1，最小值为m1，M1m10，Mm2.答案26.已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)等于()A26B18 C10 D10解析：由f(x)x5ax3bx8知f(x)8x5ax3bx，令F(x)f(x)8可知F(x)为奇函数，F(x)F(x)0.F(2)F(2)0，故f(2)8f(2)80.f(2)26.答案：A练习A组*1若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)0”是“函数f(x)为奇函数”的()A必要不充分条件 B充要条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件2已知函数f(x)xlog21，则ff的值为()A2 B2 C0 D2log23设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x2,1)时，f(x)，则f()A0 B1 C. D14在R上的奇函数f(x)满足f(x3)f(x)，当0x1时，f(x)2x，则f(2 015)()A2 B2 C D.5设奇函数f(x)在(0，)上是增函数，且f(1)0，则不等式xf(x)f(x)0的解集为()Ax|1x1 Bx|x1，或0x1Cx|x1 Dx|1x0，或0x16已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)1，且对任意的xR，都有f(x3)f(x)，则f(2 017)_.7函数f(x)为奇函数，则a_.8已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：直线x1是函数f(x)的一条对称轴；f(x2)f(x)；当1x1x23时，f(x2)f(x1)(x2x1)0，则f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)从大到小的顺序为_9已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围 10函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式f0的解集练习B组1设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数2设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x当0x时，f(x)0，则f()A. B.C0 D3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ay ByxCy2x Dyxex4已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dcba5设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数15A组练习答案:1.解析：f(x)在R上为奇函数f(0)0；f(0)0f(x)在R上为奇函数，如f(x)x2，故选A.答案：A2.解析：由题意知，f(x)1xlog2，f(x)1xlog2xlog2(f(x)1)，所以f(x)1为奇函数，则f1f10，所以ff2.答案：A3.解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以fff4221，故选D.答案：D4.解析：由f(x3)f(x)得函数的周期为3，所以f(2 015)f(67231)f(1)f(1)2，故选A.答案：A5.解析：奇函数f(x)在(0，)上是增函数，f(x)f(x)，xf(x)f(x)0，xf(x)0，又f(1)0，f(1)0，从而有函数f(x)的图象如图所示：则有不等式xf(x)f(x)0的解集为x|1x0或0xf(2)f(3)，即f(2 017)f(2 016)f(2 015)答案：f(2 017)f(2 016)f(2 015)9解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,310.解：yf(x)是奇函数，f(1)f(1)0.又yf(x)在(0，)上是增函数，yf(x)在(，0)上是增函数，若f0f(1)，即0x1，解得x或x0.f0f(1)，x1，解得x.原不等式的解集是.B组练习答案：1.解析：由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案：C2.解析：f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，f(x)的周期T2，又当0x时，f(x)0，f0，即ffsin0，f，fff.故选A.答案：A3.解析：选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C为偶函数，只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数答案：D4