高中数学第二讲证明不等式的基本方法模块复习课课件新人教A版.ppt

第二课证明不等式的基本方法,【网络体系】,【核心速填】1.比较法(1)作差比较法的依据:若a,bR,则_ab;a-b=0a=b;_a0,b0,则_ab;=1a=b;_a0,a-b0,求证:3a3+2b33a2b+2ab2.【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2).因为ab0,所以a-b0,3a2-2b22a2-2b20.从而(3a2-2b2)(a-b)0,故3a3+2b33a2b+2ab2成立.,【方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤(1)依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件.(2)一般步骤:作差;恒等变形;判断结果的符号;,下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形.,【变式训练】1.(2016南阳高二检测)已知a,b是正实数,n是正整数.求证:(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).【证明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an).,当ab0时,bn-an0,此时(a-b)(bn-an)a0时,bn-an0,a-b0时,bn-an=0,a-b=0,此时(a-b)(bn-an)=0.综上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)0.即(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).,2.(2016福州高二检测)已知(0,),求证:2sin2,【证明】2sin2-=4sincos-因为(0,),所以sin0,1-cos0,又(2cos-1)20,所以2sin2-0,所以2sin2.,类型二综合法证明不等式【典例2】已知a0,a2-2ab+c2=0且bca2,试证明:bc.【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab.又a2+c22ac,且a0,所以2ab2ac,所以bc.若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b.从而a=b=c,这与bca2矛盾.从而bc.,【方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思考方向(1)依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.,(2)注意点:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当时,取等号”的理由要理解掌握.,(3)思考方向:综合法证明不等式的思考方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.,【变式训练】1.(2016昆明高二检测)已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2.【解题指南】因为a,b是不相等的正实数,所以a2b+a+b2及ab2+a2+b均可用三正数的均值不等式,从而用综合法可证明.,【证明】因为a,b是正实数,所以a2b+a+b23=3ab0,(当且仅当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立);同理:ab2+a2+b3=3ab0,(当且仅当ab2=a2=b即a=b=1时,等号成立);,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2,(当且仅当a=b=1时,等号成立);因为ab,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2.,2.若a,b,c都是正数,能确定与的大小吗?【解析】能确定,因为a,b,c都是正数,+(b+c)4a,+(a+c)4b,+(a+b)4c,所以2(a+b+c),所以,类型三分析法证明不等式【典例3】设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10.求证:logac+logbc4lgc.,【证明】由于a1,b1,故要证明logac+logbc4lgc,只要证明4lgc.又c1,故lgc0,所以只要证4即4,因ab=10,故lga+lgb=1,只要证明4.(*),由a1,b1,故lga0,lgb0,所以01,z(2-x)1均成立.则三式相乘有:xyz(2-x)(2-y)(2-z)1,由于0x2,所以0x(2-