几何证明与初等几何变换.pdf

不14卷嘴刊 20 00年6月 甘肃教育 学院学报(自然科学版) J o u r na l o fG a n su Ed ue atio n Coll ege (N atural 段i e n e es ) V o l . 14SuPP . J un e 2000 文章约号 : 100 7 一99 12 (20 00)51 一0 014 一0 4 几何证明与初等几何变换 董 小平 (甘肃教育学院数学系 , 甘肃兰州 730000 ) 摘 要 : 分析了几何证明与初等几何变换的要素及其关联 . 关锐词 : 证明 ; 初等几何 ; 变换 中图分类号 : ()182 文献 标识码 : A 1 几何证明分析 1 . 1 E uclid 几何公理体系 现行中学 初等几何内容 , 上 可追溯至古希腊 Eu cl id 的几何原本 , 后经H i .b er t 的工作 , 形成了一个 公理化的演绎系统 . 概略讲 , 规定了原始概念(包括基本元素 : 点 、 直线 、 平面及其关系) , 提出 了五大类 公理 , 共 2 0条 . 它们是 : 结合公理( 8条) , 顺序公理(4条) , 合同公理( 5条) , 平行 公理( l 条) , 连 续 公理 ( 2条) . 并且它们满足 : 和谐性 、 独立性 和 完备性 . 1 . 2 几何证明的意义 、 结构和规则 数学命题是表达 数学判断的陈述语句 , 数学命题还可进行否定(非) 、 合取(与) 、 析取(或) 、 蕴 涵(如果 , 那么) 、 等价(当 且仅且)等运算 . 以P q 表示原命题 , 则其条件P和结论 q 分别进行 “换 位 ” 、“ 换质 ” 变动 , 便构造出 : 逆命题 : q p , 否命题 : 万万 , 逆否命题 : 互五 几何证明就是根据一些已经确定真实性的命题(公理 和已证定理)来断定某一几何命题 的真实性的思维过 程 , 换言之 , 几何证明是由公理和已证定理 组成的由欲证命题条件到结论的 逻辑链 . 几何证明都由论题 、 论据和 论证三部分组成 . 正 确的几何证明应遵循的一般规则有 : (l ) 论题清楚 、 明确 , 始终同一 (2 )论据必须充分 、 真实 . (3 )论证严格遵循推理规则 , 保证逻辑 严谨 . 1 . 3 几何证明的方法及其逻辑墓础 从所求证命题看 , 有 直接证 法综合法(思考顺序 : 由因 导果) 分析法(思考顺序 : 执果索因) 间接证法同一 法 反证法归谬法 穷举法 几何证 明 方 法 收稿B期 : 200 0 一 07 一10 . 作者简介 : 董小平( 一 ) , 男 , 讲师 . 增刊I1小平 : 几何证 明与初等几何变换 直接证法是用已知概念 、 真命题和推理规则直接证明所证命题 p q 为真 ; 间接证法是 证明所 求命题的否定( P 妇是假 , 或证明所证命题的等价命题为真 . 综合法与分析法的逻辑依据都是逻辑的分离原则蕴涵式的传递性 ; 反证法的逻辑基础是 P g R AR二P , o 三P 9 V O二P一, , 即P 八g R A R 三PA , 0三P q , 同一法只适用于条件和结论所指的概念具有同一关系的命题(亦即原命题与逆命题 同真同 假) . 从证明内容看 , 又有 等线段的证明 等角的证明 和差倍分的证明 数量关系 不等量的证明 等积式 , 比例式的证明 几何证明方法 位置关系 定值问题的证明 最值问题的证明 平行线的证明 垂直线的证明 共线点的证明 共点线的证 明 共圆点的证明 共点圆的证 明 从利用工具看 , 又有 利用公理 、 已知定理 几何证明方法 构造全等形(主要是全等三角形) 借助计算(利用面积 , 正 、 余弦定理 , 勾股定理 , 三角函数等) 利用反射 、 平移 、 旋转等初等变换 2 初等几何变换 2 . 1 概念诊释 在几何 中 , 不仅要研究各个变换的性质 , 还 要 研究变换之 间的联 系和 某 类 变 换 是 否成 “群” 的问题 , 就需考虑变换是否可逆 , 变换能否连续施行 , 为此需把变换限制 为平面到自身的 一一 映射 . 几 何变换可定义为 : 对平面 J I 上每一点尸 , 通过某一确定的法则 f , 在平面几上皆有一点Q 与之对应 , 且这种对应是一一对应 , 则称f是平面 月上的一个变换 . 2 . 2 分类 初等变换是指初等几何所涉及的主 要变换 , 通常包括合同变换和相似变换两 大类 . 具体分 类为 : 初等几何变换 合同变换 (保距变换) 保向的合同变换平移 旋转 中心 对称 1 6 甘肃教育 学院 学报(自 然 科学版 ) 第1 4 卷 变向的合同变换 反射 相似变换同向相似 同向位似 (保形变换) 反 向相似 反向位似 2 . 3 墓本不变l及不变性 合同变换的基本不变量 是任二点的距离 ; 位似变换的基本不变量是任二线段 之比 ; 相似变 换的基本不变量是任二线段 之比和任二直线之夹角 . 位似变换的基本不变性有 : 平行性 、 保角性 、 保圆性 ; 相似变换的不变性有保圆性 . 2 . 4 ,要性质 性质 l 任一合同变换皆可分解为不 多于三个的反射之积 . 性质 2 任一相似变换皆可分解成一个 位似变换与一个合同变换的澳积 . 性质 3 所有的平移变换 成 群 ; 所有的旋转变换成群 ; 所有的相似变换也成群 . 2 . 5 在几何证明中的应用 例 l 在 A B C 中 , M是 BC 的中点 , 求证 : AB+AC ZAM . 例 2 梯形中位线定理 之逆 : 在四边形A BCD中 , M , N分别是AD 、 B C的 中点 , 且M , N一 1/ 2 (AB+CD ) , 求证 : A B CD是梯形 . 例 3 设 M , N分别是任意四边形A BC D两对边 AD 、B C之中点 . 则 MN BC . 例 1 例 4 是平移之应用 , 图形和证明过 程省略 . 例 5 设 艺 材oN =20 。, 月在。材上 , 且O八一 4甲派 一, 刀在oN上且oD=s寸厄 e e, 召 、c 分别为ON 、 OM上任意一点 . 求证 : A B+B C+CD) 12 . 例 6 在 A BC中 , 艺A 90 0 , AH 土B C于H , DE F内接于 AB C中 , 求证 : DE F 的周长 ) ZAH 例 7 在凸四边形ABC D中 , AC土BD 于O , 且OA口C , OBOD , 求证 : BC+AD AB+C D . 例 5 例 7 是反射之应 用 , 图及证明略 . 例 5AB C D E 为凸五边形 , AD 是一条对角线 , 乙E AD艺A L心 , 艺ED A 艺DA B . 求 证 : AE+ E DA B+B C+CD . 例 , S t ei no r 问题 : 在三角形内找一点 , 使其到 三顶点距离之 和最 短 . 例 8 、 例 9 是旋转之应用 . 例 9 中所求之点叫费马点 . 例1 0 设H 、G 和O分 别是ABC的垂心 、, 重 心 和外心 . 求证 : H 、 G和O 共线 , 且 HG/G O 2 . 例 10是位似变换之 应用 . 参考文献 : 1 朱德祥 . 初等几何研究【M . 北京 : 高等教育出版社 . 1984 . 2 李长明 , 周焕山 . 初等数学研究M . 北京 : 高等教育出版社 . 19 95 . 产 t 增 刊 1 釜小平 : 几何证 明与初等几何 变换 l7 G e o m etric al P ro o f a n dE lem e ntary G e o m etrie T ransfor m ation 刀。ngXia o 一 Ping (D Cp a rtmento fM athematie s , G ansu E d u e atio n Col ege , Ia n zho u , 7300 00) Abstr a ct : T hisPap eran alys e