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第一章有理数1.1正数与负数一、预习目标知识与技能: 知道正数和负数是怎样产生的;知道什么是正数和负数;描述数0表示的量的意义。二、重点、难点、疑点及解决办法1重点:会判断正数、负数,运用正负数表示具有相反意义的量。2难点:负数的引入。3疑点:负数概念的建立。三、预习过程设计(一)创设情境,复习导入提出问题:举例说明小学数学中我们学过哪些数?看谁举得全?提出问题:小学数学中我们学过的最小的数是谁?有没有比零还小的数呢?(二)探索新知,讲授新课为了研究这个问题,我们看两个实例1.在冬日一天中,一个测量员测了中午12点,晚6点,夜间12点,早6点的气温,如下:10,3,-10,-2.你能读出它们所表示的温度各是多少吗?(单位)2.再看一个例子,中国地形图上,可以看到我国有一座世界最高峰珠穆朗玛峰,图上标着8848,在西北部有一吐鲁番盆地,地图上标着155米,这两个数表示的高度是相对海平面说的,你能说说8848米,155米各表示什么意义吗?正数的概念:_;负数的概念:_。注意:0既不是正数也不是负数。(三)尝试反馈,巩固练习1所有的正数组成正数集合,所有负数组成负数集合,把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合的圈里“11,4.8,7.3,0,2.7,8.12,2自己任意写出6个正数与6个负数分别把它填在相应的大括号里。正数集合( ) 负数集合( )3(1)某地一月份某日的平均气温大约是零下3,可用_数表示,记作_。(2)地图册上洲西部地中海旁有一个死海湖,图上标有392,这表明死海湖面与海平面相比怎样?4(1)一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;(2)2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是:美国减少6.4%, 德国增长1.3%,法国减少2.4%, 英国减少3.5%,意大利增长0.2%,中国增长7.5%。写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率。四、随堂练习1判断题(l)0是自然数,也是偶数( )。(2)0可以看成是正数,也可以看成是负数( )。(3)海拔155米表示比海平面低155米( )。(4)如果盈利1000元,记作1000元,那么亏损200元就可记作200元( )。(5)如果向南走记为正,那么10米表示向北走10米( )。(6)温度0就是没有温度( )。2将下列各数填入相应的大括号里9,0,2,2000,61,10.8正数集合 ; 负数集合 3用正数和负数表示下列各量(1)零上24摄氏度表示为_,零下3.5摄氏度表示为_。(2)足球比赛,赢2球可记作_球,输一球应记作_球。1.2.1有理数一、预习目标1理解有理数的概念,会对有理数按照一定的标准进行分类,培养分类能力;2了解分类的标准与分类结果的相关性,初步了解“集合”的含义;3.体验分类是数学上的常用的处理问题的方法.二、重点、难点、疑点及解决办法重点:正确理解有理数的概念.难点:正确理解分类的标准和按照定的标准进行分类.三、预习过程设计(一)知识回顾和理解 通过两节课的学习,我们已经将数的范围扩大了,那么你能写出3个不同类的数吗?. 问题1:我们将这三为同学所写的数做一下分类.(如果不全,可以补充).问题2:我们是否可以把上述数分为两类?如果可以,应分为哪两类?(二)明确概念 探究分类正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数. 整数和分数统称有理数问题3:上面的分类标准是什么?我们还可以按其它标准分类吗?(三)练一练 熟能生巧1.任意写出三个数,标出每个数的所属类型,同桌互相验证.2.把下列各数填入它所属于的集合的圈内:15,-,-5,0.1,-5.32,-80,123,2.333. 正整数集合 负整数集合 正分数集合 负分数集合小结到现在为止我们学过的数是有理数(圆周率除),有理数可以按不同的标准进行分类,标准不同时,分类的结果也不同.四、随堂练习1.把下列给数填在相应的大括号里: -4,0.001,0,-1.7,15,.正数集合 , 负数集合 ,正整数集合 , 分数集合 。2.下列各数,哪些是整数?哪些是分数?哪些是正数?哪些是负数?+7, -5, , ,79,0,0.67, ,+5.13.0是整数吗?自然数一定是整数吗?0一定是正整数吗?整数一定是自然数吗?4.图中两个圆圈分别表示正整数集合和整数集合,请写并填入两个圆圈的重叠部分.你能说出这个重叠部分表示什么数的集合吗? 正数集合 整数集合1.2.2数轴一、预习目标:1.知道数轴的三要素,会画数轴;2.知道有理数与数轴上点的对应关系,能将有理数用数轴上的点表示;3.会利用数轴比较有理数的大小。二、预习重点:1.数轴的画法;2.会用数轴上的点表示有理数,能说出数轴上已知点所表示的数。预习难点:会用数轴上的点表示有理数,能说出数轴上已知点所表示的数。三、预习过程设计(一)导入1.观察一下直尺,直尺上哪边的数大,哪边的数小?那么有理数可以用直线上的点来表示吗?(二)一起探究在一条东西向的马路上,有一个汽车站牌,汽车站牌东3米和7.5米处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站牌西3米和4.8米处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境(三)数轴1数轴的画法第一步:画直线,在直线上任取一个点表示数O,这个点叫做_。第二步:规定从原点向右的为_向那么相反的方向(从原点向左)则为负方向第三步:选择适当的长度为_。总结:规定了_、_、_(又称数轴的三要素)的直线叫做数轴2尝试反馈,巩固练习(1)原点表示什么数?_(2)原点右方表示什么数?原点左方表示什么数?_(3)表示2的点在什么位置?表示1的点在什么位置?_(4)分数或者小数可以用数轴表示吗?原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数?原点向左个单位长度的B点表示什么数?_(5)有人说一条直线是一条数轴,对不对?为什么?(6)下列所画数轴对不对?如果不对,指出错在哪里?3.学以致用,展示风采:例1 画一条数轴,并画出表示下列各数的点:1,5,0,2.5,例2指出数轴上 A、B、C、D、E各点分别表示什么数?小结:一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的 边,与原点的距离是 个单位长度;表示数-a的点在原点的 边,与原点的距离是 个单位长度。四尝试反馈,巩固练习1判断题(1)直线就是数轴( )(2)数轴上原点左边表示的数是负数,右边表示的数是正数,原点表示的数是0。( )(3)任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示( )(4)数轴上到原点距离等于3的点所表示的数是3( )2.说出下面数轴上A、B、C、D、O、M各点表示什么数?3.数轴上表示-5的点在原点的 侧,与原点的距离是 个长度单位;4如图,a、b为有理数,则a 0,b 0,a b 0ab5.是不是所有的有理数都能在数轴上表示?画一个数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点:1,-3,-3.5,2.5,0。6指出数轴上A,B,C,D,E各点分别表示什么数。7.在数轴上距原点3个单位长度的点表示的数是_。6.在数轴上表示6的点在原点的_侧,距离原点_个单位长度,表示6的点在原点的_侧,距离原点_个单位长度。1.2.3 相反数【预习目标】知识与技能:1.借助数轴,使学生了解相反数的概念;2.会求一个有理数的相反数;3.激发学生学习数学的兴趣。情感、态度与价值观:通过师生合作,利用数轴让学生体会数学图形的对称美。【预习教学重点与难点、疑点】 重点: 理解相反数的意义; 难点: 理解相反数的意义;疑点: 在数轴上表示相反数【预习方法】采用数形结合的方式,利用直观演示法,充分发挥学生的主体地位,让学生体会到数学来源于生活,又应用于生活【预习过程设计】一、复习导入:1、数轴的三要素是_、_和_。2、认真填一填: 数轴上与原点的距离是2的点有_个,这些点表示的数是_;与原点的距离是5的点有_个,这些点表示的数是_。二、探索新知,讲授新课:相反数的概念: 在数轴上距离原点的距离相等,且只有_的两个数,我们称它们互为_。规定:零的相反数是_。概念的理解:(1)互为相反数的两个数分别在原点的_,且到原点的_相等;(2)一般地,数a的相反数是 _,_不一定是负数;(3)在一个数的前面添上“”号,就表示这个数的相反数,如:-3是_的相反数,- a是_的相反数,因此,当a是负数时,- a是一个_. -(-3)是_的相反数,所以-(-3)=_;(4)互为相反数的两个数之和是 即如果x与y互为相反数,那么x+y=_;反之,若x+y=_, 则x与y互为相反数(5)相反数是指两个数之间的一种特殊的关系,而不是指一个种类。如:“-3是一个相反数”这句话是不对的。三、轻松解题例1 求下列各数的相反数: (1)-5 (2)-2.5 (3)0 (4)-2/11 (5)-2b (6) (a-b) 例2 相信你自己的判断: (1)-2是相反数 ( ) (2)-3和+3都是相反数 ( )(3)-3是3的相反数 ( ) (4)-3与+3互为相反数 ( )(5)+3是-3的相反数 ( ) (6)一个数的相反数不可能是它本身( )例3 化简下列各数中的符号: (1)-(+0.25) (2)-(+5) (3)-(-a) (4)-(+1) 四、变式训练、培养能力 1.仔细想一想:(1)_是-(-0.5)的相反数。 (2)如果-a=-9,那么-a的相反数是_(3) -5.5的相反数是_,_是-6的相反数。 (4)若-x=7,则x=_,x=4,则-x=_ 2. 比一比我能行: 若-(a-5)是负数,则a-5_ 0. 3.看一看、比一比我真棒: 已知a、b在数轴上的位置如图所示。0ab(1)在数轴上作出它们的相反数; (2)用“”、“”或“=”) 由此可得a+b=_,这种运算律称为加法_律2计算:由此可得:(a+b)+c=_,这种运算律称为加法_律 3计算: 总结:(1)加法交换律 有理数的加法中,两个数相加,交换_的位置,_不变。用式子表示_. (2)加法结合律有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者_,和不变.用式子表示_.(3)归纳简便运算的方法: 同号的加数放在一起相加;同分母的加数放在一起相加;和为0的加数放在一起相加;和为整数的加数放在一起相加三、课堂训练1、 计算: (1)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4) (2)16+(-25)+24+(-35) (3) (4)2、 称得10袋小麦的重量如下: 91 91 91.5 89 91.2 91.3 88.7 88.8 91.8 91.1 (单位:千克) 10袋小麦一共多少千克?如果每袋小麦以90千克为标准,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?3、用适当的方法计算:(1)23+(-17)+6+(-22) (3)1.125+(4)(-2.48)+(+4.33)+(-7.52)+(-4.33)4(经典题)股民吉姆上星期五买进某公司股票1000股,每股27元,下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位:元)星 期一二三四五每股涨跌+4+4.5-1-2.5-4 (1)星期三收盘时,每股是多少元? (2)本周内每股最高价多少元?最低价是多少元? (3)已知吉姆买进股票时付了1.5的手续费,卖出时还需付成交额1.5的手续费和1的交易税,如果吉姆在星期五收盘前将全部股票卖出,他的收益情况如何?1.3.2有理数的减法(1)一、学习目标:1、 掌握有理数的减法法则;2、 熟练地进行有理数的减法运算;3、 了解加与减两种运算的对立统一关系,掌握数学学习中转化的思想。二、自主预习:1、计算:-8-(-3)=_,所以-8-3=_回顾:小学里,我们知道减法是加法的逆运算,即已知两个数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算。解:因为_+(-3)=-8,所以-8-(-3)=_因为_+3=-8,所以-8+(3)=_2、(8)+3= ,8 +(-3)= 3、观察计算1与计算2 ,你可以发现哪些计算式相等?并完成填空。-8-(-3)=_, -8-3=_4、规律:减去一个数等于加上 ;即a-b=_5、下列括号内应填上什么数? (1)(一2)一(一5)=(一2)+( ); (2)0一(一4)=0+( ); (3)(一6)一3=(一6)+( ); (4)1一(+37)=1+( )三、课堂训练:1、有理数的减法法则是: 用字表示为 2、例:计算:(1)(-3)-(-5) (2)0-7 (3)7.2-(-4.8) (4)4、 注意:在进行有理数减法运算时,要注意两变一不变:“两变”即减号变成加号,减数的符号要改变,“不变”是指被减数不变三、课堂练习:1、计算(1)6-9 (2)(+4)-(-7) (3)(-5)-(-8) (4)0-(-5) (5)(-2.5)-5.9 (6)1.9-(-0.6)2、(1)比2小8的数是多少? (2)比-3小-6的数是多少?3、(1)(一11)一(一9); 4、-的绝对值与-2的相反数的差是 5、现有下面四个算式:2一(一2)=0;(一3)一(+3)=0;(一3)一|-3 |I=0;0一(-1)=1其中正确的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个6、较小的数减去较大的数,所得的差一定是( ) A零 8正数 c负数 D无法确定7、哈尔滨市4月份某天的最高气温是5C,最低气温是-3C,那么这天的温差是( ) A、-2C B、8 C C、-8 C D、2C8、4-(-7)等于( ) A、3 B、11 C、-3 D、-119、a、b、c在数轴上的位置如图所示: a-b 0 b-c 0 -b-c 0 a-(-b) 0 (填,)1.3.2有理数的减法(2)一、学习目标:(2) 掌握有理数的减法法则;熟练进行有理数的减法运算。(3) 初步掌握数学学习中转化的思想方法;(4) 了解加与减两种运算的对立统一关系,掌握数学学习中转化的思想。二、自主预习:1、 计算:一架飞机做特技表演,起飞后的高度变化如下:上升4.5千米,下降3.2千米,上升1.1千米,下降1.4千米.此时飞机所飞高度比起飞点高了多少千米? 列式: ,结果是 2、 计算:(一8)一(一10)+(一6)一(+4)(1)请你把上式写成和的形式:原式= (减法化成加法)(2)为了书写方便,可以省略各式中的括号和加号,把它写成 这个式子读作 ,也可以读作 (3)请你用不同的方法写出该题的解题过程 方法一: 方法二:注意:由于加减混合运算是同级运算,按式子的顺序进行运算,也可适当运用加法交换律、结合律,在运用交换律交换加数的位置时,要连同前面的符号一起交换三、课堂训练:例:计算:(-20)+(+3)-(-5)-(+7)注意:引入相反数后,加减混合运算可以统一位加法运算,其算式为a+b-c=a+b+(-c)1、计算:(1)1-4+3-0.5 (2)-2.4+3.5-4.6+3.5(3)(-7)-(+5)+(-4)-(-10) (4)-+(-)-(-)-12、河里的水位第一天上升了8cm,第二天下降了7cm,第三天下降了9cm,则第三天河水水位比刚开始的水位高 cm3、一l03+52可以看成 的和。4、若a=1,b =-2,c=一6,则a一b一c= 5、计算(1)(-8)+10+2+(-1) (2)5+(-6)+3+9+(-4)+(-7)(3)(-0.8)+1.2+(-0.7)+(-2.1)+0.8+3.5 (4)+(-)+(-)+(-)6、计算(4)27+(一85)一(+15)一(一63) 141有理数的乘法(l)一、学习目标1、了解有理数乘法的实际意义;2、理解有理数的乘法法则;3、能熟练的进行有理数乘法运算。二、自主预习 1一只蜗牛在数轴上以每分3cm的速度爬行,它现在的位置恰好在原点0处,请在下列数轴上分别表示出蜗牛的位置,并用数学算式表示你的结果(设向左为负,向右为正;为区分时间,规定现在前为负,现在后为负).(1)向右爬行2分后它在什么位置? 算式是_(2)向左爬行2分后它在什么位置? 算式是_(3)向右爬行2分前它在什么位置?算式是_ (4)向左爬行2分前它在什么位置?算式是_三、课堂训练1、观察上面的算式,根据你对有理数乘法的思考,填空:正数乘正数积是_数;负数乘正数积是_数;正数乘负数积是_数;负数乘负数积是_数;乘积的绝对值等于各乘数绝对值的_.你能发现什么规律?并总结有理数的乘法法则 法则l两数相乘,同号得_,异号得_,并把_相乘任何数与0相乘,都得_; 法则2若两个有理数a、b,满足ab=_,则a、b互为倒数;若a、b互为倒数,则ab=_注意:(1)运用乘法法则,先确定积的符号,再把绝对值相乘;(2)0没有倒数 2、例1 计算:(1) (-3)9; (2) (-)(-2).例2 用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1km气温的变化量为-6C,攀登3km后,气温有什么变化?四 巩固练习1.计算:(1)6(-9); (2)(-4)6; (3)(-6)(-1);(4)(-6)0; (5) (-); (6)(-).2.商店降价销售某种商品,每件降5元,售出60件后,与按原价销售同样数量的商品相比,销售额有什么变化?3.写出下列个数的的倒数:1, -1, ,-,5,-5, ,-.141有理数的乘法(2)一、学习目标1、体会有理数乘法的实际意义;2、掌握有理数的乘法法则和符号法则,灵活地运算二、自主预习 1计算:三、课堂训练1、根据上题计算,你能发现上面各式积的符号与负因数的个数之间有什么关系吗?归纳:(1)几个不是0的数相乘,负因数的个数是_时,积是正数;负因数的个数是 时,积是负数乘积的绝对值等于各乘数绝对值的_.(2)几个数相乘,如果其中有因数为0,积等于_.2、例 计算: 四、巩固提高.1.判断下列积的符号(口答):(2)34(1); (5)(6)3(2);(2)(2)(2); (3)(3)(3)(3).2.判断下列积的符号:3.计算: ;(4)(-3)(-)(-).4、计算 10(1)(1)(1)(1)0(1).1.4.1有理数乘法(3)一、学习目标1、掌握有理数的乘法法则的基础上,能用乘法交换律、结合率,简化乘法运算;2、熟练并掌握有理数的加、减乘法混合运算;二、自主学习:1、计算:(-18)= (-18)= 交换律:两个数相乘, 的位置,积相等,即ab= 。2、 计算:15(-10)0.1= 简便算法: 结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把 相乘,积相等,即(ab)c=a(bc)3、 计算:-30(-+)分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把 ,即a(b+c)= 注:反用分配律进行计算:分配律:a(b+c)=ab+ac, 反过来:ab+ac= 计算:(1)4(-3)+3(-3)-2(-3)+7(-3)(2)(-23)25-625+1825+25三、课堂训练:1、例计算:(1)(-7)(-) (2)(-8)(-5)(-0.125)(3)( - + - )36 (4)19(-10)四、巩固提高计算(1)-30(-+) (2)(-10)(-)(-0.1)(-6)(3)(-5)(-8.1)3.1415920 (4)(-0.4)(+25)(-5)(3)(-+)(-36) (2)17.4(-)+(-)17.4 (4)99(-8) (5)(-10)(-0.1)(-8.25)(6)(-15)(-8)(-125)(7)(-5)(+7 )+(+7)(-7)-(+12)7142有理数的除法(1)一、学习目标1、理解除法的意义,掌握有理数的除法法则;2、能熟练进行有理数的除法运算;3、感受转化、归纳的数学思想。二、自主预习 1、小明从家到学校,每分钟走50米,走了20分钟,则小明家到学校_;(写出算式)若小明家到学校100米,小明每分钟走50米,则小明从家到学校要走时间_。(写出算式)这说明,乘法和除法是_运算。2、 因为2( )=一6,所以一62=( );又所以_=_。3、 有理数的除法法则:_。用字母表示:_。4、 2的倒数是_;1.5的倒数是_;_的倒数是本身。5、 有理数的除法法则另一说法:_。 三、课堂训练例1计算:(1)(-36)9=(2)(- )(-)=(3)225(一15)= 注意:在做除法运算时:先定符号,再算绝对值若算式中有小数、带分数,一般情况下化成真分数和假分数进行计算。例2化简下列分数:(1) = (2) =例3计算:(1)(-125)(-5)=(2) -2.5(-)=注意:乘除混合运算要先_,然后_,最后_。四 巩固提高1、 0(一6)=_;(一075)025=_2、 下列计算正确的是( ) 3、(1)()();(2)(6.5)0.13;(3)()(); (4)(1) (5)-1(-0.2)11.4(-)1、4、2有理数的除法(2)一、学习目标:1. 掌握有理数的除法法则,能熟练进行有理数的除法运算;2. 借助有理数乘法知识,通过归纳、类比等方法获得有理数的除法法则,会进行乘除法的四则运算.2、 自主预习:1、 计算:63(-1)+(-4)(-)2、一天小红和小亮两人利用温度差测量某座山峰的高度,小红在山顶测得温度是-1C,小亮此时在山脚下测得温度是5C,已知该地区高度每增加100m,气温大约下降0.6C,这座山峰的高度大约是多少米?2、 到目前为止,我们已学习了有理数的加减乘除运算,请结合对上面两个问题的解答,归纳有理数混合运算的运算顺序: 小结:在做有理数的乘除混合运算时:先将除法转化为乘法;确定积(或商)的符号;适时运用运算律若出现带分数可化为假分数,小数可化为分数计算;注意运算顺序3、 课堂训练例1、计算:(1)-8+ 4(-2) (2) (-7)(-5)-90(-15)例2、某公司去年13月平均每月亏损1.5万元,46月平均每月盈利2万元,710月平均每月盈利1.7万元,1112月平均每月亏损2.3万元。这个公司去年总的盈亏情况如何?4、 巩固提高1、 计算(1)6-(-12)(-3) (2)3(-4)+(-28)7(3) (-48)8-(-25)(-6) (4)42(-)+(-)(-0.25)(5)1-(+-)2452、阅读下面的解题过程:计算:(-15)(-1-3)6解:原式=(-15)(-)6 (第一步) =(-15)(-25) (第二步) =- (第三步)回答:(1)上面解题过程中有两处错误,第一处错误是第步,错误原因是第二处错误是第步,错误原因是 (2)正确的结果是151乘方一、学习目标1、理解有理数乘方的意义;2、理解乘方运算、幂、底数等概念的意义;3、正确进行有理数乘方运算二、自主预习1某种细胞每过30分钟便由l个分裂成2个,经过5小时,这种细胞1个能分裂成多少个?(1)细胞每30分钟分裂一次,则5个小时共分裂_次;(2)5个小时后,细胞的个数一共有=_个,为了简便可以记作_.2求n个相同因数a的积的运算叫_,乘方的结果叫_,a叫_,n叫_.乘方an有双重含义:(1)表示一种运算,这时读作“_”;(2)表示乘方运算的结果,这时读作“_”3正数的任何次幂都是_数,0的任何正整数次幂都是_;负数的奇次幂是_数,偶次幂是_数 注意:在书写乘方时,若底数为负数、分数时一定要加括号 三、课堂训练1、乘

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