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初中数学模型解题法解答题1. （2001江苏苏州6分）如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线。在 上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CEAB，垂足为E连接BD，交CE于点F。（1）当点C为 的中点时（如图1），求证：CF=EF；（2）当点C不是 的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。 【答案】解：（1）证明：DA是切线，AB为直径，DAAB。点C是 的中点，且CEAB，点E为半圆的圆心。又DC是切线，DCEC。又CEAB，四边形DAEC是矩形。CDAO，CD=AD。 ，即EF= AD= EC。F为EC的中点，CF=EF。（2）CF=EF保持不变。证明如下：如图，连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，AD、DC是半圆O的切线，DC=DA。DAC=DCA。AB是直径，ACB=90。ACG=90。DGC+DAC=DCA+DCG=90。DGC=DCG。在GDC中，GD=DC。DC=DA，GD=DA。AP是半圆O的切线，APAB。又CEAB，CEAP。BCFBGD，BEFBAD。 。GD=AD，CF=EF。【考点】探究型，圆的综合题，切线的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由题意得DAAB，点E为半圆的圆心，DCEC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出 ，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF。（2）连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，DAC=DCA，由角度代换关系可得出DGC=DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CEAP，所以 ，即可知CF=EF。2. （2001江苏苏州7分）已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，B、C都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MNBC交AC于点N，设MN=x。（1）用x表示AMN的面积；（2）AMN沿MN折叠，使AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A，AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y。用的代数式表示y，并写出x的取值范围；当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？ 【答案】解：（1）MNBC，AMNABC。 。 ，即 。 （2）当点A落在四边形BCMN内或BC边上时， （0x5）。当点A在四边形BCMN外，连接AA与MN交于点G与BC交于点F，MNBC， ，即 。AG= x。AA=2AG=x。AF=x5。 ，即 。 。重合部分的面积 。综上所述，重合部分的面积 。 当x= 时，y最大，最大值为y最大= 。【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）根据已知条件求出AMNABC，再根据面积比等于相似比的平方的性质即可求出AMN的面积。（2）根据已知条件分两种情况进行讨论，当点A落在四边形BCMN内或BC边上时和当点A在四边形BCMN外时进行讨论，第一种情况很容易求出，第二种情况进行画图，连接AA与MN交于点G与BC交于点F，再根据面积比等于相似比的平方的性质求出即可再根据求出的式子，即可求出重叠部分的面积y的最大值来。3. （江苏省苏州市2002年7分）已知： 与 外切于点 ，过点 的直线分别交 、 于点 、 ， 的切线 交 于点 、 ， 为 的弦， （1）如图（1），设弦 交 于点 ，求证： ；（2）如图（2），当弦 绕点 旋转，弦 的延长线交直线B 于点 时，试问： 是否仍然成立？证明你的结论。 【答案】解：（1）证明：连结 ，过点 作 与 的公切线 。 。 又 是 的切线， 。 又 ， 。又 ， 。 ，即 。 （2）仍成立。证明如下： 连结 ，过点 作 和 的公切线 。 是 的切线， 。 。 。 又 ， 。 又 ， 。 ，即 。【考点】相切两圆切线的性质，弦切角定理，切线长定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连结 ，过点 作 与 的公切线 。根据弦切角定理可得 ，由 也是 的切线，根据切线长定理可得 ，从而根据等腰三角形等边对等角的性质，得到 ，由对顶角相等的性质，得到 。又 ，从而 ，根据相似三角形的性质即可证明。（2）同（1）可以证明。4.（江苏省苏州市2002年7分）如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动。其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 （1）设从出发起运动了 秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标（用含 的代数式表示，不要求写出 的取值范围）； （2）设从出发起运动了 秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半。 试用含 的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度； 试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的 的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由。 【答案】解：（1）当点Q在OC上时，如图，过点C作CEOA于点E，过点Q作QFOA于点F。 依题意，有OE=4，EC=3，OC=5，OQ=2 。 由OCEOQF得 ， 即 。 。当点Q在OC上时，点Q的坐标为 。当点Q在CB上时，如图，过点C作CMOA于点M，过点Q作QNOA于点N。CQ=2 5，OM=42 5=2 1。又MQ=3，当点Q在CB上时，点Q的坐标为（ ）。 （2）点P所经过的路程为 ，点Q所经过的路程为OQ，且点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半， OQ= （143105），即OQ=16 。 点Q所经过的路程为16 ， 速度为 。 不能。理由如下：当Q点在OC上时，如图，过点Q作QFOA于点F。 则OP= ，QF= 。 。又 ，令 ，解之，得 。当 时， ，这时点Q不在OC上，故舍去； 当 时， ，这时点Q不在OC上，故舍去。当Q点在OC上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分。当Q在CB上时，CQ=16 5=11 ， 。 ， 当Q点在CB上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分。综上所述，这时PQ不可能同时平分梯形OABC的面积。【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）当点Q在OC上时，作直角三角形OCE和OQF，由二者相似即可求出此时点Q的坐标。当点Q在CB上时，过点C作CMOA于点M，过点Q作QNOA于点N，即可得出OM=42 5=2 1，从而求出此时点Q的坐标。 （2）由点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，列出等式， OQ= （143105），即可求出点Q所经过的路程。用路程时间即可求得速度。 分Q点在OC上和Q点在OC上，分别讨论即可得出结论。5. （江苏省苏州市2003年7分）如图1，O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CEAB，在 上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M。（1）求COA和FDM的度数；（2）求证：FDMCOM；（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在 上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M。试判断：此时是否仍有FDMCOM？证明你的结论。 【答案】解：（1）AB为直径，CEAB， ，CG=EG。在RtCOG中，OG= OC，OCG=30。COA=60。又CDE的度数= 的度数= 的度数=COA的度数=60，FDM=180CDE=120。（2）证明：COM=180COA=120，COM=FDM。在RtCGM和RtEGM中， ，RtCGMRtEGM（HL）。GMC=GME。又DMF=GME，GMC=DMF。FDMCOM。 （3）结论仍成立。证明如下：EDC的度数= 的度数= 的度数=COA的度数，FDM=180COA=COM。AB为直径，CEAB。在RtCGM和RtEGM中， RtCGMRtEGM（HL）。GMC=GME。FDMCOM。【考点】圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角的关系，平角定义，直角三角形全等的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定。【分析】（1）由于CGOA，根据垂径定理可得出， ，那么根据圆周角定理可得出CDE=COA，在RtCOG中，可根据OG是半径的一半得出AOC是60，那么就能得出FDM=180CDE=120。（2）在（1）中根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线，那么CMG和BMG就应该全等，可得出CMA=EMG，也就可得出CMO=FMD，在（1）中已经证得AOC=EDC=60，那么COM=MDF，因此两三角形相似。（3）可按（2）的方法得出DMF=CMO，关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定理来求，根据垂径定理我们可得出 ，那么AOC=EDC，根据等角的余角相等即可得出COM=FDM，由此可证出两三角形相似。6. （江苏省苏州市2003年7分）OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。（1）如图1，在OA上选取一点G，将COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式。（2）如图2，在OC上选取一点D，将AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为 。求折痕AD所在直线的解析式；再作 FAB，交AD于点F，若抛物线 过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数。（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点 ，使纸片沿 翻折后，点O落在BC边上，记为 。请你猜想：折痕 所在直线与中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。 【答案】解：（1）由折叠法知，四边形OCEG是正方形，OG=OC=6。G（6，0），C（0，6）。设直线CG的解析式为y=kx+b，则 ，解得 。直线CG的解析式为：y=x+6。（2）在RtABE中， 。CE=2。设OD=x，则DE=x，CD=6x，在RtDCE中， ，解得 。则D（0， ）。设AD所在直线的解析式为y=kx ，由于它过A（10，0），k= 。AD所在直线的解析式为 。EFAB，E（2，6），设F（2，yF）。F在AD上， 。F（2， ）。又点F在抛物线 上， ，解得h=3。抛物线的解析式为 。联立 和 得 ，即 。=0，直线AD与抛物线只有一个交点（2， ）。 （3）例如可以猜想：（）折痕所在直线与抛物线 只有一个交点；或（）若作EFAB，交DG于F，则F在抛物线 上。验证：（）在图1中，折痕为CG，将y=x+6代入 ，得 ，即 。=0，折痕CG所在直线与抛物线 只有一个交点。或（）在图1中，D即C，E即E，G即G，交点F也为G（6，0），当x=6时， 。G点在这条抛物线上。【考点】二次函数综合题，折叠的性质，正方形的判定和性质，待定系数法，曲线点的坐标与方程的关系，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）根据折叠的性质可知：四边形OGEC是个正方形，因此OC=OG=6，据此可得出G点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线CG的解析式。（2）求出D的坐标，根据折叠的性质可知AE=OA，那么可在RtABE中求出BE的长，从而可求出CE的值。在RtCDE中，CD=6OD，DE=OD，根据勾股定理即可求出OD的长，也就得出了D点的坐标，然后可用待定系数法求出直线AD的解析式。中已经求得CE的长，即F点的横坐标，可根据直线AD的解析式求出F点的坐标，然后将F的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式从而可根据抛物线的解析式来判断其与x轴交点的个数。（3）可以猜想：（）折痕所在直线与抛物线 只有一个交点：（）若作EFAB，交DG于F，则F在抛物线 上。验证（）时，将y=x+6代入 ，证明=0即可。验证（）时，说明G（6，0）满足 即可。7. （江苏省苏州市2004年7分）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册。该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表。印数a (单位：千册) 1a5 5a10彩色 (单位：元/张) 2.2 2.0黑白（单位：元/张） 0.7 0.6（1）印制这批纪念册的