初中数学定点问题知识点和常考难题和培优提高练习压轴题(含解析).doc

初中数学定点问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)定点题型定点问题，初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.解题思路：这类问题通常有两种处理方法：第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值。一、直线过定点问题：解法1：取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x，y的两个方程，从中解出x，y即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可。例1：求直线（m+1）x+（m-1）y-2=0所通过的定点P的坐标。解：令m=-1，可得y=-1；令m=1，可得x=1。将（1，-1）点代入原方程得：（m+1）1+（m-1）（-1）-20成立，所以该定点P为（1，-1）。解法2：由“y-y0=k（x-x0）”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k（x-x0）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x0，y0）。例2：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标。证明：由已知直线l的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k，（k+1）x-（k+1）=（k-1）y+（k-1），不论k取任何实数值时，直线l必过定点M（1，-1）。解法3：方程思想若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。例3：若2a-3b=1（a，bR），求证：直线axby=5必过定点。解：由已知得ax+by=5（2a-3b），即a（x-10）+b（y-15）=0无论a，b为何值上式均成立，所以a，b的系数同时为0，所以过定点（10，15）。解法4：直线系观点过定点的直线系A1xB1yC1（A2xB2yC2）=0表示通过两直线l1A1xB1yC1=0与l2A2xB2yC20交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。例4：求证对任意的实数m，直线（m-1）x2（m-1）ym-5必过定点。解：原式可整理为（x2y-1）m-（xy-5）01直线l：kxy+2k+1=0必过定点2直线y=mx+2m+14过定点3直线kx+3y+k9=0过定点4设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点5当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点6直线（m1）x+y+2m+1=0过定点7直线（2a1）x+2ay+3=0恒过的定点是8对于任意实数mn，直线（m+n）x+12my2n=0恒过定点的坐标是 9若p，q满足条件3p2q=1，直线px+3y+q=0必过定点10直线（m1）x+（2m+3）y（m2）=0恒过定点11不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1k）y+7k=0恒经过的定点坐标是二、抛物线过定点问题：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：验算回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤1已知抛物线y=2x2（m2+1）x+2m21，不论m取何值，抛物线恒过某定点P，则P点的坐标为（）A（2，5）B（2，5）C（2，5）D不能确定2某数学兴趣小组研究二次函数y=mx22mx+3（m0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：3已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，请直接写出定点坐标4抛物线y=x2+ax+a2过定点A，直线l：y=x+m也过点A，则直线l的函数解析式为5抛物线y=x2+mx2m通过一个定点，则这个定点的坐标是6已知实数a、b、c满足不等式：|a|bc|，|b|a+c|，|c|ab|，抛物线y=ax2+bx+c恒过定点M，则定点M的坐标为7在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx2k+6经过定点Q（1）直接写出点Q的坐标；（2）点M在第一象限内，QOM=45，若点M的横坐标与点Q的纵坐标相等（如图1），求直线QM的解析式；（3）在（2）条件下，过点M作MAx轴于点A，过点Q作QBy轴于点B，点E为第一象限内的一动点，AEO=45，点C为OB的中点（如图2），求线段CE长度的最大值8已知函数y=ax24bx+3，（1）求证：无论a、b为何值，函数图象经过y轴上一个定点；（2）当a、b满足什么条件时，图象与直线y=1有交点；（3）若1x0，a=1，当函数值y恒大于1时，求b的取值范围9已知函数y=x2（m2+4）x2m212（1）当m取何值时，此函数有最小值，求出此时x的值；（2）求证：不论m取任何实数，抛物线都过一定点，并求出定点坐标10已知抛物线y=mx2+（12m）x+13m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当m8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值11已知二次函数的顶点坐标为（，），与y轴的交点为（0，nm），其顶点恰好在直线y=x+（1m）上（其中m、n为正数）（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由参考答案1（2010秋扬州校级期末）直线l：kxy+2k+1=0必过定点（2，1）【解答】解：直线l：kxy+2k+1=0 即 k（x+2）y+1=0，过直线x+2=0 和直线y+1=0的交点（2，1），故答案为：（2，1）2直线y=mx+2m+14过定点（2，14）【解答】解：y=mx+2m+14=m（x+2）+14，当x+2=0，即x=2时，y=14，直线y=mx+2m+14过定点（2，14）故答案为：（2，14）3（2014秋温州校级期中）直线kx+3y+k9=0过定点（1，3）【解答】解：kx+3y+k9=0，k（x+1）+3y9=0，解得，直线kx+3y+k9=0过定点（1，3）故答案为：（1，3）4设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点（，）【解答】解：a+b=3，a+b=1，直线ax+by=1恒过定点（，）故答案为：（，）5（2012秋广陵区校级期中）当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点（1，1）【解答】解：由于a+b+c=0，故点（1，1）满足直线方程ax+by+c=0，即点（1，1）在直线ax+by+c=0上，即直线ax+by+c=0必过定点（1，1），故答案为 （1，1）6（2013春启东市校级月考）直线（m1）x+y+2m+1=0过定点（2，3）【解答】解：直线（m1）x+y+2m+1=0可化为x+y+1+m（x+2）=0，可得，解得，直线（m1）x+y+2m+1=0过定点（2，3）故答案为：（2，3）7（2012秋柯城区校级期中）直线（2a1）x+2ay+3=0恒过的定点是（3，3）【解答】解：取a=，得方程为y+3=0，此时对应的直线设为l1； 再取a=0，得方程为x+3=0此时对应的直线设为l2联解得x=3且y=3，所以直线l1与l2交于点A（3，3）A点即为所求直线（2a1）x+2ay+3=0恒过的定点故答案为：（3，3）8（2010定西模拟）对于任意实数mn，直线（m+n）x+12my2n=0恒过定点的坐标是 【解答】解：方程（m+n）x+12my2n=0可化为（x+12y）m+（x2）n=0对于任意实数mn，直线（m+n）x+12my2n=0恒过定点故定点坐标是9（2014春海陵区校级期中）若p，q满足条件3p2q=1，直线px+3y+q=0必过定点（，）【解答】解：由于3p2q=1，故直线px+3y+q=0，即 px+3y+=0，即 p（2x+3）+6y1=0，由，求得，故直线经过定点（，），故答案为：（，）10直线（m1）x+（2m+3）y（m2）=0恒过定点【解答】解：直线（m1）x+（2m+3）y（m2）=0化为m（x+2y1）（x3y2）=0，联立，解得直线（m1）x+（2m+3）y（m2）=0恒过定点故答案为：2（2014涪城区校级自主招生）不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1k）y+7k=0恒经过的定点坐标是（2，5）【解答】解：特殊值法：设k1=2，k2=0，代入函数关系式得：解得：分离参数法：由（2k+1）x+（1k）y+7k=0，化简得k（2xy1）+x+y+7=0，无论k取何值，只要成立，则肯定符合直线方程；解得：故直线经过的定点坐标是（2，5）1（2015秦皇岛校级模拟）已知抛物线y=2x2（m2+1）x+2m21，不论m取何值，抛物线恒过某定点P，则P点的坐标为（）A（2，5）B（2，5）C（2，5）D不能确定【解答】解：不论m取何值，抛物线恒过某定点P，令m=0，则y=2x2x1，令m=1，则y=2x22x+1，解得P的坐标为（2，5），故选B1（2012鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx22mx+3（m0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：（0，3），（2，3）【解答】解：原函数化为y=mx（x2）+3的形式，当x=0或x2=0时函数值与m值无关，当x=0时，y=3；当x=2时，y=3，两定点坐标为：（0，3），（2，3）故答案为：（0，3），（2，3）3已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，请直接写出定点坐标（0，2）、（2，0）【解答】解：依题意得kx2+（2k+1）x+2y=0恒成立，即k（x2+2x）+xy+2=0恒成立，则，解得或所以该抛物线恒过定点（0，2）、（2，0）故答案为（0，2）、（2，0）4抛物线y=x2+ax+a2过定点A，直线l：y=x+m也过点A，则直线l的函数解析式为y=x【解答】解：y=x2+ax+a2，（x+1）a=y+2x2，当x+1=0且y+2x2=0时，即x=1，y=1，a为任意实数，抛物线y=x2+ax+a2过定点A（1，1），把A（1，1）代入y=x+m得1+m=1，解得m=0，直线l的解析式为y=x故答案为y=x5抛物线y=x2+mx2m通过一个定点，则这个定点的坐标是（2，4）【解答】解：y=x2+mx2m可化为y=x2+m（x2），当x=2时，y=4；且与m的取值无关；定点（2，4），故答案为（2，4）6已知实数a、b、c满足不等式：|a|bc|，|b|a+c|，|c|ab|，抛物线y=ax2+bx+c恒过定点M，则定点M的坐标为（1，0）【解答】解：|a|bc|，|b|a+c|，|c|ab|，平方得：a2（bc）2，b2（a+c）2，c2（ab）2，三式相加得：a2+b2+c2（bc）2+（a+c）2+（ab）2，展开得：a2+b2+c22a2+2b2+2c22bc+2ac2ab，即0a2+b2+c22bc+2ac2ab，（ab+c）20，ab+c=0，当x=1时y=ab+c=0，定点M的坐标为 （1，0）故答案为：（1，0）7（2014春武昌区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx2k+6经过定点Q（1）直接写出点Q的坐标（2，6）；（2）点M在第一象限内，QOM=45，若点M的横坐标与点Q的纵坐标相等（如图1），求直线QM的解析式；（3）在（2）条件下，过点M作MAx轴于点A，过点Q作QBy轴于点B，点E为第一象限内的一动点，AEO=45，点C为OB的中点（如图2），求线段CE长度的最大值【解答】解：（1）y=kx2k+6=k（x2）+6，则当x2=0，即x=2时，y的值与k无关，则G的坐标是（2，6）；（2）延长BQ，AM交于点F连接OF，作QGOF于点G则四边形AOBF是正方形，QFG是等腰直角三角形，且OA=OB=BF=AF=6，BQ=2，则QF=4，QG=QF=4=2，在直角OBQ中，OQ=2，直角OQG中，OG=4正方形AOBF中，AOB=90，AOF=45，又QOM=45，QOG+FOM=FOM+AOM=45，QOG=AOM，又OGQ=AOMOQGOMA，即，AM=3，M的坐标是（6，3）设直线QM的解析式是y=kx+b，则，解得：，则直线的解析式是：y=x+；（3）AEO=45，E在以OA的斜边的等腰直角三角形直角顶点为圆心，以OA为弦的圆上，且弦OA所对的圆心角是90的圆上，设圆心是N，则N的坐标是（3，3），圆的半径是3，又点C为OB的中点，C的坐标是（0，3），则CNx轴，则当E是CN的延长线与圆N的交点时，线段CE最长，则最大的长度是：3+38（2014秋长沙校级期中）已知函数y=ax24bx+3，（1）求证：无论a、b为何值，函数图象经过y轴上一个定点；（2）当a、b满足什么条件时，图象与直线y=1有交点；（3）若1x0，a=1，当函数值y恒大于1时，求b的取值范围【解答】证明：（1）当x=0时，y=ax24bx+3=3，函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），论a、b为何值，函数图象经过y轴上一个定点（0，3）；解：（2）象与直线y=1有交点，1=ax24bx+3，ax24bx+2=0，=（4b）28a0，解得：a2b2（3）1x0，a=1，函数值y恒大于1，1+4b1，解得：b09已知函数y=x2（m2+4）x2m212（1）当m取何值时，此函数有最小值，求出此时x的值；（2）求证：不论m取任何实数，抛物线都过一定点，并求出定点坐标【解答】（1）解：y最小=，m4+16m217=0（m21）（m2+17）=0m2+170，m=1，y=x25x14x=，当m=1时，此函数有最小值，此时x=；（2）证明：此函数可以写成y=（x+2）x（m2+6），函数与x轴的交点为（2，0），（m2+6，0），不论m取任何实数，抛物线都过一定点，定点坐标是（2，0）10（2016广州）已知抛物线y=mx2+（12m）x+13m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当m8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值【解答】（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；当m0时，抛物线y=mx2+（12m）x+13m与x轴相交于不同的两点A、B，=（12m）24m（13m）=（14m）20，14m0，m，m的取值范围为m0且m；（2）证明：抛物线y=mx2+（12m）x+13