九年级数学图形的相似复习

1 / 16 九年级数学图形的相似复习 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第 22讲 图形的相似 锁定目标考试 考标要求考查角度 1.了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题 2了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些简单的实际问题 3了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质 . 相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多相似三角形的判定、性质及 应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明 . 导学必备知识 知识梳理 一、比例线段 1比例线段的定义 在四条线段 a， b， c， d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即 _，那么这四条线段a， b， c， d 叫做成比例线段，简称 _ 2比例线段的基本性质 2 / 16 ab cdad bc 3黄金分割 把线段 AB 分成两条线段 Ac 和 Bc(Ac Bc)，且使 Ac 是 AB和 Bc 的 _，叫做把线 段 AB 黄金分割， c 叫做线段AB的黄金分割点 .Ac 5 12AB ， Bc 3 52AB 二、相似多边形 1定义 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做 _，相似比为 1 的两个多边形全等 2性质 (1)相似多边形的对应角 _，对应边成 _； (2)相似多边形周长的比等于 _； (3)相似多边形面积的比等于 _ 三、相似三角形 1定义 各角对应 _，各边对应成 _的两个三角形叫做相似三角形 2判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边延长线 )相交，所构成的三角形与 _相似； (2)两角对应 _，两三角形相似； 3 / 16 (3)两边对应成 _且夹角 _，两三角形相似； (4)三边对应成 _，两三角形相似； (5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似 3性质 (1)相似三角形的对应角 _，对应边成 _； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角 平分线的比都等于 _； (3)相似三角形周长的比等于 _； (4)相似三角形面积的比等于 _ 四、位似变换与位似图形 1定义 取定一点 o，把图形上任意一点 P 对应到射线 oP(或它的反向延长线 )上一点 P ，使得线段 oP 与 oP的 _等于常数 k(k 0)，点 o 对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点 o 叫做 _，常数 k 叫做 _，一个图形经过位似变换得到的图形叫做与原图形位似的图形 2性质 两个位似的图形上每一对对应点都与 位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于 _ 3画位似图形的步骤 (1)确定位似 _； 4 / 16 (2)连接图形各顶点与位似中心的线段 (或延长线 )； (3)按位似比进行取点； (4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形 自主测试 1 (XX 贵州铜仁 )如图，六边形 ABcDEF 六边形 GHIjkL，相似比为 21 ，则下列结论正确的是 ( ) A E 2k B Bc 2HI c六边形 ABcDEF的周长六边形 GHIjkL的周长 D S 六边形 ABcDEF 2S六边形 GHIjkL 2 (XX重庆 )已知， ABcDEF ， ABc 的周长为 3， DEF的周长为 1，则 ABc 与 DEF 的面积之比为 _ 3如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内 m 处的运动员林丹把球从 N 点击到了对方内的 B 点，已知网高 oA米， oB 4 米， om 5 米，则林丹起跳后击球点 N 离地面的距离 Nm _米 4已知 ABc 与 DEF 相似且面积比为 425 ，则 ABc 与DEF 的相似比为 _ 5如图，以点 o 为位 似中心，将五边形 ABcDE 放大后得到五边形 ABcDE ，已知 oA 10cm， oA 20cm，则5 / 16 五边形 ABcDE 的周长与五边形 ABcDE 的周长的比值是 _ 6如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点 AcB 和 DcE 的顶点都在格点上，ED的延长线交 AB于点 F. 求证： (1)AcBDcE ； (2)EFAB 探究重难方法 考点一、相似图形的性质 【例 1】如图，在长为 8cm、宽为 4cm 的矩形中，截去一个矩形 ，使得留下的矩形 (图中阴影部分 )与原矩形相似，则留下矩形的面积是 ( ) A 2cm2B 4cm2c 8cm2D 16cm2 解析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得 S 阴影 S 原矩形 482， S 阴影 48 14， S 阴影 8cm2. 答案： c 方法总结相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质可求多边形的边长、角、周长或面积 6 / 16 触类旁通 1 如图所示的两个四边形相似，则 的度数是( ) A 87B 60c 75 D 120 考点二、相似三角形的性质与判定 【例 2】如图，在 ABcD中， E， F 分别是 AD， cD 边上的点，连接 BE， AF，它们相交于点 G，延长 BE交 cD的延长线于点H，则图中相似三角形共有 ( ) A 2 对 B 3 对 c 4 对 D 5 对 解析：依据题中的条件，平行四边形的对边平行，由 ADBc ，可得 HEDHBc ，由 ABcD ，可得 HEDBEA ，HFGBAG. 根据相似的传递性，可得 HBcBEA ，一共有四对相似三角形 答案： c 方法总结判定两个三角形是否相似首先看是否存在平行 线或能否作出相关的平行线，再看是否存在两组对应角相等，若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例 触类旁通 2 已知如图 (1)， (2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图 (2)中 AB， cD交于 o 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是 ( ) 7 / 16 A都相似 B都不相似 c只有 (1)相似 D只有 (2)相似 考点三、位似图形 【例 3】如图，在直角坐标系中，矩形 oABc 的顶点 o 在坐标原点，边 oA在 x 轴上， oc在 y 轴上，如果矩形 oAB c与矩形 oABc 关于点 o 位似，且矩形 oABc 的面积等于矩形 oABc面积的 14，那么点 B 的坐标是 ( ) A (3,2)B ( 2， 3)c (2,3)或 ( 2， 3)D (3,2)或 (3， 2) 解析：分两种情况计算，即矩形 oABc和矩形 oABc 在原点的同侧和两侧 答案： D 方法总结位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小位似图形所有对应点的连线相交于位似中心 触类旁通 3 如图， ABc 中， A， B 两个顶点在 x 轴的上方 ，点 c 的坐标是 ( 1,0)以点 c 为位似中心，在 x 轴的下方作 ABc 的位似图形 ABc ，并把 ABc 的边长放大到原来的 2 倍设点 B 的对应点 B 的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是 ( ) 8 / 16 A 12aB 12(a 1)c 12(a 1)D 12(a 3) 考点四、相似三角形的应用 【例 4】问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图 (1)，测得一根直立于平地，长为 80cm 的竹竿的影长为 60cm. 乙组：如图 (2)，测得学校旗杆的影长为 900cm. 丙组：如图 (3)，测得校园景灯 (灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计 )的高度为 200cm，影长为 156cm. 任务要求： (1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度； (2)如图 (3)，设太阳光线 NH 与 o 相切于点 m.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径 (提示：如图 (3)，景灯的影长等于线段 NG 的影长；需要时可采用等式 15622082 2602) 解： (1)如题图 (1)， (2)， ABcDEF ， ABDE AcDF. AB 80cm， Ac 60cm， DF 900cm， 80DE 60900. DE 1200cm，即 DE 12m. 9 / 16 故学校旗杆的高度是 12m. (2)如题图 (3)，连接 om，设 o 的半径为 rcm. 与 (1)类似得 ABGN AcGH，即 80GN 60156.GN 208cm. 在 RtNGH 中，根据勾股定理得 NH2 1562 2082 2602，NH 260cm.NH 切 o 于 m， omNH. 则 omN HGN 90. 又 oNm HNG ， omNHGN. omHG oNHN. 又 oN oI IN oI (GN GI) r 8， r156 r 8260，解得 r 12. 景灯灯罩的半径是 12cm. 方法总结应用相似三角形解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形对应边成比例或相似三角形的性质建立等量关系求解 触类旁通 4 一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm,30cm,36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为 27cm,45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上 截下两段 (允许有余料 )作为另外两边截法有( ) A 0 种 B 1 种 c 2 种 D 3 种 品鉴经典考题 10 / 16 1.(XX 湖南郴州 )如图， D， E 分别是 ABc 的边 AB， Ac上的点，连接 DE，要使 ADEAcB ，还需添加一个条件_(只需写一个 ) 2 (XX湖南长沙 )如图，已知正方形 ABcD中， BE平分 DBc且交 cD 边于点 E，将 BcE 绕点 c 顺时针旋转到 DcF 的位置，并延长 BE 交 DF于点 G. (1)求证： BDGDEG ； (2)若 EGBG=4，求 BE的长 3.(XX湖南株洲 )如图，在矩形 ABcD中， AB 6， Bc 8，沿直线 mN对折，使 A， c 重合，直线 mN交 Ac于点 o. (1)求证： comcBA ； (2)求线段 om的长度 研习预测试题 1.如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形(阴影部分 )与 ABc 相似的是 ( ) 2如图，边长为 4 的等边 ABc 中， DE 为中位线，则四边形 BcED的面积为 ( ) 11 / 16 A 23B 33c 43D 63 3已知 ABc 与 DEF 相似且对应中线的比为 23 ，则 ABc与 DEF 的周长比为 _ 4如图，在 ABc 中， DEAB ， cDDA 23 ， DE 4，则AB的长为 _ 5如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为 2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距 6m，与树相距 15m，则树的高度为 _m. 6如图所示，正方形 ABcD 和正方形 oEFG 中，点 A 和点 F的坐标分别为 (3,2)， ( 1， 1)，则两个正方形的位似中心的坐标是 _ 7在 ABc 中， AB 8， Ac 6，在 DEF 中， DE 4， DF 3，要使 ABc 与 DEF 相似，则需添加的一个条件是_(写出一种情况即可 ) 8.如图，在矩形 ABcD 中， AB=6， AD=12，点 E 在 AD 边上且AE=8， EFBE 交 cD于点 F. 12 / 16 (1)求证： ABEDEF. (2)求 EF的长 参考答案 【知识梳理】 一、 cd(或 ab cd) 比例线段 3比例中项 二、 1.相似比 2 (1)相等 比例 (2)相似比 (3)相似 比的平方 三、 1.相等 比例 2 (1)原三角形 (2)相等 (3)比例 相等 (4)比例 3 (1)相等 比例 (2)相似比 (3)相似比 (4)相似比的平方 四、 1.比 位似中心 位似比 2位似比 3 (1)中心点 导学必备知识 自主测试 1 B 六边形 ABcDEF 六边形 GHIjkL， E k ，故 A 错误； 六边形 ABcDEF 六边形 GHIjkL，相似比为 21 ， Bc 2HI，故 B 正确； 六边形 ABcDEF 六边形 GHIjkL，相似比为 21 ， 13 / 16 六边形 ABcDEF 的周长六边形 GHIjkL 的周长 2 ，故 c错误； 六边形 ABcDEF 六边形 GHIjkL，相似比为 21 ， S 六边形 ABcDEF 4S六边形 GHIjkL，故 D 错误 故选 B. 2 91 ABcDEF ， ABc 的周长为 3， DEF 的周长为 1， 三角形的相似比是 31. ABc 与 DEF 的面积之比为 91. 3 根据题意得 AoBm ， NmBm ， AoNm.ABoNBm.oANm oBBm. oA 米， oB 4 米， om 5 米， Bm oB om 4 5 9(米 ) 49， 解得 Nm (米 )， 林丹起跳后击球点 N 离地面的距离 Nm为米 故答案为 4 25 5 12 6证明： (1)AcDc 32， BccE 64 32， AcDc BccE. 又 AcB DcE 90 ， AcBDcE. (2)AcBDcE ， ABc DEc. 14 / 16 又 ABc A 90 ， DEc A 90. EFA 90 ， EFAB. 探究考点方法 触类旁通 触类旁通 触类旁通 触类旁通 (1)假设以 27cm 为一边，把 45cm 截成两段，设这两段分别为 xcm， ycm(x y)则可得： 24x 30y 3627或 24x 3027 36y( 注： 27cm 不可能是最小边 )，由 解得 x 18， y，符合题意；由 解得 x 1085， y 1625， x y 1085 1625 2705 54 45，不合题意，舍去 (2)假设以 45cm 为一边，把 27cm 截成两段，设这两段分别为 xcm， ycm(x y)则可得： 24x 30y 3645(注：只能是45 是最大边 )，解得 x 30， y 752， x y 30 27，不合题意， 舍去综合以上可知，截法只有 1 种 品鉴经典考题 1 ADE AcB( 或 AED ABc)( 答案不唯一 ) 两三角形已有一个公共角，根据判定三角形相似的