九年级数学竞赛抛物线讲座

1 / 8 九年级数学竞赛抛物线讲座 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 九年级数学竞赛抛物线讲座 一般地说来，我们称函数 (、为常数， )为的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有： 1、的符号决定抛物线的大致位置； 2抛物线关于对称，抛物线开口方向、开口大小仅与相关，抛物线在顶点 (， )处取得最值； 3抛物线的解析式有下列三种形式： 一般式：； 顶点式：； 交点式：，这里、是方程的两个实根 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同 方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键 注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有： (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息； (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被轴所截得的弦长获得对称信息 【例题求解】 2 / 8 【例 1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，对应的取值范围是 思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为 (一 1，一 4)，可求出，值，先求出时，对应的值 【例 2】已知抛物线 (0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上 ) 5已知，点 (， )， (， )， (， )都在函数的图象上，则 () A B c D 6把抛物线的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式为，则有 () A， B， c， c 3D， 7二次函 数的图象如图所示，则点 (， )所在的直角坐标系5 / 8 是 () A第一象限 B第二象限 c第三象限 D第四象限 8周长是 4m 的矩形，它的面积 S(m2)与一边长 (m)的函数图象大致是 () 9阅读下面的文字后，回答问题： “ 已知：二次函数的图象经过点 A(0， )， B(1， -2)，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 (1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式 ?若能，写出求解过程；若不能，说明理由 (2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整 10如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为米 (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)该运动员身高米，在这次跳投中，球在头顶上方米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少 ? 11如图，抛物线和直线 ()与轴、 y 轴都相交于 A、 B两点，已知抛物线的对称轴与轴相交于 c点，且 ABc 90 ，求抛物线的解析式 6 / 8 12抛物线与轴交于 A、 B 两点，与轴交于点 c，若 ABc是直角三角形，则 13如图，已知直线与抛物线相交于 A、 B 两点， o 为坐标原点，那么 oAB 的面积等于 14已知二次函数，一次函数若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 15如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是 A， B， E，且 ABE是等腰直角三角形， AE BE，则下列关系式中不能总成立的是 () A b=0B SADc c2c ac一 1D a+c 0 16由于被墨水污染 ，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点 (1， 0) 求证：这个二次函数的图象关于直线对称 根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是 () A过点 (3， 0)B顶点是 (2，一 2) c在轴上截得的线段长为 2D与轴的交点是 (0， 3) 17已知 A(x1， 2002)， B(x2， 2002)是二次函数 ()的图象上两时，二次函数的值是 () A B c 2002D 5 7 / 8 18某种产品的年产量不超过 1000 吨，该产品的年产量 (单位：吨 )与费用 (单位：万元 )之间函数的图象是顶点在原点的抛 物线的一部分 (如图 1 所示 )；该产品的年销售量 (单位：吨 )与销售单价 (单位：万元吨 )之间函数的图象是线段 (如图 2 所示 )若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大 ?(毛利润销售额一费用 ) 19如图，已知二次函数的图象与轴交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B 的左边 )，与轴交于点 c，直线： x m(m1)与轴交于点 D (1)求 A、 B、 c 三点的坐标； (2)在直线 x m(m1)上有一点 P(点 P 在第一象限 )，使得以 P、 D、 B 为顶点的三角形与以 B、 c、 o 为顶点的三角形相似 ，求 P 点坐标 (用含 m 的代数式表示 )； (3)在 (2)成立的条件下，试问：抛物线上是否存在一点 Q，使得四边形 ABPQ 为平行四边形 ?如果存在这样的点 Q，请求出 m 的值；如果不存在，请简要说明理由 20已知二次函数及实数，求 (1)函数在一 2xa 的最小值； (2)函数在 axa+2 的最小值 21如图，在直角坐标： o 中，二次函数图象的顶点坐标为c(4， )，且在轴上截得的线段 AB 的长为 6 8 / 8 (1)求二次函数的解析式； (2)在轴上求作一点 P(不写作法 )使 PA+Pc 最小，并求 P 点坐标； (3)在轴的上方的抛物线上，是否存在点 Q，使得以 Q、 A、 B三点为顶点的三角形与 ABc 相似 ?如果存在，求出 Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由 22某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a0) ，当实数 a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数 a 变化时，若把抛物线 y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到 A 点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到 B 点的坐标，则 A、 B两点一定仍在抛物线 y=ax2+2x+3 上 (1)请你协助探求出当实数 a 变化时，抛物线 y=ax2+2x+3 的顶点所在直线的解析式；