九年级数学竞赛转化灵活的圆中角讲座

1 / 7 九年级数学竞赛转化灵活的圆中角讲座 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 【例题求解】 【例 1】如图，直线 AB与 o 相交于 A， B 再点，点 o 在 AB上，点 c 在 o 上，且 Aoc 40 ，点 E 是直线 AB 上一个动点 (与点 o 不重合 )，直线 Ec交 o 于另一点 D，则使 DE=Do的点正共有个 思路点拨在直线 AB 上使 DE=Do 的动点 E 与 o 有怎样的位置关系 ? 分点 E 在 AB 上 (E 在 o 内 )、在 BA 或 AB 的延长线上 (E 点在 o 外 )三种情况考虑，通过角度的计算，确定 E 点位置、存在的个数 注：弧是联系与圆有关的角的中介， “ 由弧到角，由角看弧 ” 是促使与圆有关的角相互转化的基本方法 【例 2】如图，已知 ABc 为等腰直角三形， D 为斜边 Bc的中点，经过点 A、 D 的 o 与边 AB、 Ac、 Bc分别相交于点 E、F、 m，对于如下五个结论： Fmc=45 ； AE+AF AB； ； 2Bm2=BFBA ； 四边形 AEmF 为矩形其中正确结论的个数是 () A 2 个 B 3 个 c 4 个 D 5 个 2 / 7 思路点拨充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证 注 ：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择 【例 3】如图，已知四边形 ABcD外接 o 的半径为 5，对角线 Ac与 BD的交点为 E，且 AB2=AEAc ， BD 8，求 ABD 的面积 思路点拨由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得 A 为弧 BD中点，这是解本例的关键 【例 4】如图，已知 AB 是 o 的直径， c 是 o 上的一点，连结 Ac，过点 c 作直线 cDAB 于 D(ADDB)，点 E是 AB上任意一点 (点 D、 B 除外 )，直线 cE交 o 于点 F，连结 AF与直线 cD交于点 G (1)求证： Ac2=AGAF ； (2)若点 E 是 AD(点 A 除外 )上任意一点，上述结论是否仍然成立 ?若成立请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由 思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明 AcGAFc ； 3 / 7 （ 2）判断上述结论在 E 点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键 注：构造直径上 90 的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件 【例 5】如图，圆内接六边形 ABcDEF 满足 AB=cD=EF，且对角线 AD、 BE、 cF相交于一点 Q，设 AD与 cF的交点为 P 求证：（ 1）； (2) 思路点拨解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形 (1)证明 QDEAcF ； (2)易证，通过其他三角形相似并结合 (1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明 注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有： (1)利用圆的定义判定； (2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定 学历训练 4 / 7 1一条弦把圆分成 2： 3 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 2如图， AB是 o 的直径， c、 D、 E 都是 o 上的一点，则1+2= 3如图， AB是 o 的直径，弦 cDAB ， F 是 cG的中点，延长 AF交 o 于 E， cF=2， AF=3，则 EF的长为 4如图，已知 ABc 内接于 o ， AB+Ac=12， ADBc 于 D，AD 3，设 o 的半径为， AB的长为，用的代数式表示， = 5如图， ABcD是 o 的内接四边形，延长 Bc到 E，已知 BcD ：EcD 3： 2，那 么 BoD 等于 () A 120B 136c 144D 150 6如图， o 中，弦 ADBc ， DA=Dc， Aoc=160 ，则 Boc等于 () A 20B 30c 40D 50 7如图， Bc为半圆 o 的直径， A、 D 为半圆 o 上两点， AB=，Bc=2，则 D 的度数为 () A 60B 120c 135D 150 8如图， o 的直径 AB垂直于弦 cD，点 P 是弧 Ac上一点 (点P 不与 A、 c 两点重合 )，连结 Pc、 PD、 PA、 AD，点 E 在 AP5 / 7 的延长线上， PD 与 AB 交于点 F给出下列四个结论：cH2=AHBH ； AD=Ac ； AD2=DFDP ； EPc=APD ，其中正确的个数是 () A 1B 2c 3D 4 9如图，已知 B 正是 ABc 的外接圆 o 的直径， cD是 ABc的高 (1)求证： AcBc=BEcD； (2)已知 cD=6， AD=3， BD=8，求 o 的直径 BE的长 10如图，已知 AD 是 ABc 外角 EAc 的平分线，交Bc的延长线于点 D，延长 DA交 ABc 的外接圆于点 F，连结FB， Fc (1)求证： FB=Fc； (2)求证： FB2=FAFD； (3)若 AB是 ABc 的外接圆的直径， EAc=120 ， Bc=6cm，求 AD的长 11如图， B、 c 是线段 AD的两个三等分点， P 是以 Bc为直径 的 圆 周 上 的 任 意 一 点 (B 、 c 点 除 外 ) ，则tanAPBtancPD= 12如图，在圆内接四边形 ABcD中， AB=AD， BAD=60 ，Ac=，则四边形 ABcD 的面积为 6 / 7 13如图，圆内接四边形 ABcD中， A 60 ， B 90 ，AD=3， cD=2，则 Bc= 14如图， AB 是 半圆的直径， D 是 Ac 的中点， B=40 ，则 A 等于 () A 60B 50c 80D 70 15如图，已知 ABcD是一个以 AD为直径的圆内接四边形，AB=5， Pc=4，分别延长 AB和 Dc，它们相交于 P，若 APD=60 ，则 o 的面积为 () A 25B 16c 15D 13 (2001年绍兴市竞赛题 ) 16如图， AD 是 RtABc 的斜边 Bc 上的高， AB=Ac，过 A、 D 两点的圆与 AB、 Ac分别相交于点 E、 F，弦 EF与 AD相交于点 G，则图中与 GDE 相似的三角形的个数为 () A 5B 4c 3D 2 17如图，已知四边形 ABcD外接圆 o 的半径为 2，对角线Ac与 BD的交点为 E， AE=Ec， AB=AE，且 BD=，求四边形 ABcD的面积 18如图，已知 ABcD 为 o 的内接四边形， E 是 BD 上的一点，且有 BAE=DAc 7 / 7 求 证 ： (1)ABEAcD ； (2)ABDc+ADBc AcBD 19如图，已知 P 是 o 直径 AB延长线上的一点，直线 PcD交 o 于 c、 D 两点，弦 DFAB 于点 H， cF交 AB于点 E (1)求证： PAPB=PoPE； (2)若 DEcF ，P=15 ， o 的半径为 2，求弦 cF的长 20如图， ABc 内接于 o ，