分段函数在分段点处的导数的求法.pdf

科技信息 高等数学研究的对象是函数， 分段函数又是函数中的一个难点。 一 般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍， 并没有对分段函数进行严格的定义。 对其特征、 性质等都没有做出具体 说明并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指 出。 正是由于上述原因， 对分段函数及其有关性质、 处理方法难以把握。 分段函数是指在自变量变化的不同区间上， 它有不同的表达式， 而 在整个自变量的变化区间上， 它是一个函数。 分段函数的分段点是指函 数自变量的某一取值， 函数在该点与在其它部分有不同的表达式。 分段 函数有多种形式， 但对每一个分段点而言， 最常见的分段函数可归结为 以下两种形式： f ( x ) = g 1( x ) , x x0 a ,x = x 0 g 2( x ) , x 0 0 ,x = 0 e x , x 0 0 , x = 0 x 3 , x 0 ， 讨论 f ( x ) 在 x = 0 处是否可导？ 解法一： 利用导数的定义， f -( 0 ) = l i m x 0 - f ( x ) - f ( 0 ) x - 0 = l i m x 0 - x 3 - 0 x - 0= l i m x 0 -x 2 = 0 f +( 0 ) = l i m x 0 + f ( x ) - f ( 0 ) x - 0 = l i m x 0 + x 2 - 0 x - 0= l i m x 0 +x = 0 。 由 f -( 0 ) =f +( 0 ) ， 得到 f ( x ) 在 x = 0 处可导。 在教学过程中， 我们常会发现一些学生是按照以下方式来做的。 解法二： 当 x 0 时， f ( x ) = 2 x ， l i m x 0 +f ( x ) = 0 ； 当 x x0 a ,x = x 0 g 2( x ) , x 0 时， 在开区间( x 0, x0+ x ) 内至少有一点 ， 使 f ( x 0+ x ) - f ( x0) x = f ( ) 。 当 x 0 +时， 得到 x + 0， 则l i m x 0 + f ( x 0+ x ) - f ( x0) x = l i m x + 0 f ( ) = A = f +( x 0) 。 当 x 0时， 在开区间( x 0+ x , x0) 内至少有一点 ， 使 f ( x 0) - f ( x0+ x ) -x = f ( x 0+ x ) - f ( x0) x = f ( ) ， 则 l i m x 0 - f ( x 0+ x ) - f ( x0) x = l i m x - 0 f ( ) = A = f -( x 0) 。 即 f ( x ) 在 x 0处的左右导数存在且相等， 故 f ( x ) 在 x0处可导， 且 f ( x 0) = A 。此时 f ( x ) 在 x 0处连续。 （2 ） 由 （1 ） 的证明知， l i m x x + 0 f ( x ) 与l i m x x - 0 f ( x ) 都存在但不相等时， f ( x ) 在 x 0 处的左、 右导数存在， 但不相等， 故 f ( x ) 在 x 0处不可导。 定理 2设分段函数 f ( x ) =g ( x ) , x x 0 a , x = x 0 在 x 0处连续， g ( x ) 在 0 x - x0 内可导， 若l i m x x0g ( x ) 存在， 则 f ( x ) 在分段点 x 0处可导， 且 f ( x 0) = l i m x x0g ( x ) 。 证明： 因为 f +( x 0) = l i m x x + 0 f ( x ) - f ( x 0) x-x 0 = l i m x x + 0 g ( x ) - a x-x 0 = l i m x x + 0 g ( x ) ， f -( x 0) = l i m x x - 0 f ( x ) - f ( x 0) x-x 0 = l i m x x - 0 g ( x ) - a x-x 0 = l i m x x - 0 g ( x ) ， 而l i m x x0g ( x ) 存在， 即l i m x x + 0 g ( x ) = l i m x x - 0 g ( x ) = l i m x x0g ( x ) ， 所以 f +( x 0) = f -( x 0) ， 故 f ( x ) 在 x0处可导， 且 f ( x 0) = l i m x x0f ( x ) 。 注意： 定理 1 、 2 的逆命题不成立。即如果分段函数 f ( x ) 在分段点 x 0 处连续， 且在 x 0的空心邻域内可导， 但l i m x x + 0 f ( x ) 与 分段函数在分段点处的导数的求法 石河子大学师范学院数学系王快妮西藏民族学院教育学院丁小帅 摘要 分段函数在分段点处的可导性是高等数学学习的一个难点。利用导数的定义是最常见的一种判断分段函数在分段点处可 导性的方法。本文总结了分段函数在分段点处求导的 3 种方法， 并通过例题予以说明。 关键词 分段函数分段点导数 （下转第 5 1 2 页 ） 高校理科研究 5 1 1 科技信息 l i m x x - 0 f ( x ) 至少有一个不存在或l i m x x0f ( x ) 不存在时， f ( x 0) 可能存在， 也可能不存在。此时应该采用导数的定义判定。 现在我们利用定理 1 和定理 2 来分析以上列举的分段连续函数例 2 - 例 5 在分段点处的可导性。例 2 、 3 和例 4 都是属于定理 1 的应用情 形。 在例 2 中， l i m x 0f ( x ) = 1 ； 在例 4 中， l i m x 0f ( x ) = 0 ， 所以导函数 f ( x ) 分段点 x 0 的极限值可看作是 f ( x ) 在该点的导数 f ( x 0) 。在例 3 中， 由于 f -( 0 ) f +( 0 ) ， 故根据定理 1 ， 可判定 f ( x ) 在 x 0不可导。例 5 是属于定理 2 中l i m x 0f ( x ) 不 存在的情形， 此时应用导数的定义判断。 对于分段函数在分段点的求导问题，首先判定函数在分段点处的 连续性， 若不连续则不可导。 若分段函数在分段点处连续， 可应用定理 1 和定理 2 来判定。定理 1 和定理 2 具有计算较为简便、 实用性强， 且这 种方法易于被学生接受， 对帮助学生开拓思维有一定益处。 在定理的使 用中， 要注意到定理的局限性， 当导函数在分段点两侧左右极限不都存 在时， 必须用导数的定义来判断该点的可导性。 参考文献 1 同济大学应用数学系. 高等数学( 第五版)M . 北京: 高等教育出 版社， 2 0 0 3 . 2 姜海勤， 曹瑞成. 分段函数分段点可导性的一个定理及应用 J . 扬州职业大学学报， 2 0 0 8 , 6 ： 4 2 - 4 4 . 3 何彦力. 分段函数分段点的有关讨论及证明 J . 江苏广播电视 大学学报, 1 9 9 9 , 1 0 ( 3 ) ： 8 6 - 8 7 . （上接第 5 1 1 页 ） 作为工科学生一门极其重要的技术基础课程理论力学 ， 里 面的诸多的概念、 定理、 定律和灵活的解题技巧, 使绝大部分学生感到难 度较大。作者结合自身 理论力学 教学的实际情况以及聆听专家教授 的讲课， 从激发学生兴趣、 活跃课堂气氛、 拓宽教学渠道、 改革考评方式 等方面对该门课程的教与学提出一些自己的初步想法, 望各位批评指 正。 （一 ） 兴趣是最大的老师， 让学生喜欢上这门课 古人云:“知之者不如好之者, 好之者不如乐之者。 ” 兴趣对学习有着 神奇的内驱动作用。使学生明白自己学到的知识并不仅仅是简单的数 学公式的推导以及定理的证明， 更是自然社会问题的解决基础， 很多生 活中的力学问题的引入就会让学生不禁对这门课程产生浓厚的兴趣 了。 采用结合工程实例启发式教学, 可以给学生留下思考的空间 1 。例 如: 慢速转动的大圆盘上快速运动的皮带变形以及在北半球上由南向北 流动的河水使右岸冲刷破坏严重的现象，都是由于科氏惯性力的影响 造成的； 利用质心运动定理进行工程上的定向爆破； 利用相对于质心的 动量矩定理实施花样滑冰的高速转动等。让学生结合实例学习、 钻研、 理解基本理论的应用。 （二 ） 教学应以学生为中心， 活跃课堂气氛 改变以往的满堂灌式的教学方式, 让学生动脑的同时既要动嘴又要 动手， 真正把学习的主动权交给学生， 教师只起到组织和领导的作用 2 。 课上并不是教师一味地给学生每一个定理、 定律、 每道题的标准答案， 而是让学生在教师的指引下自己去思考。 对于习题课上的每一道题， 要 给学生留出一定的思考时间，然后让学生将自己的解题思路讲给教师 及其他学生， 且变教师评价为学生评价， 让学生自己去发现问题、 解决 问题。针对某一问题学生均可自由发言， 热烈讨论。 同时， 老师的肢体语言也很重要， 加上适当的幽默诙谐的语言， 联 系生活实际形象地讲解问题， 不仅可以调节严肃的课堂气氛， 而且可使 学生在一笑之后提高精神， 增强了记忆力， 让学生在有限的学时内学到 更多的新知识。 （三 ） 不局限于课堂教学， 拓宽更多的教学渠道 除了每周的固定上课时间之外，应该拓宽更多的教学渠道加强教 师与学生的沟通， 笔者认为在条件允许的情况下， 可以这样做： 1 、 充分利用网络来教学 将教学大纲、 课件、 习题及参考答案、 参考资料等内容都上传到学 院的网站上， 并向学生免费开放， 同时老师将自己的电子邮箱、 Q Q号码 等网络联系方式公布给学生， 通过这些网络化的教学方式， 方便学生在 课外也能自主学习。 2 、 每两周安排一次答疑课 答疑课的时间不需要相对固定， 可临时通知学生， 把它作为习题课 的补充， 让学生对不懂的内容提出问题， 然后大家可以一起讨论， 然后 教师采用启发式教学、 逐步把问题讲懂， 这样可能会取得更好的效果。 3 、 组织学生现场参观 在课堂上学到的知识始终是抽象的， 在实际条件允许的情况下， 组 织学生现场参观， 分析工程实例, 是培养学生思维能力、 自学能力、 分析 和解决实际问题能力的有效途径。例如，带领学生到工厂进行现场教 学, 仔细观察实际机构的工作状态, 动手测量有关数据, 然后根据所学 知识进行设计计算, 课后写出书面总结报告。 （四 ） 改革考评方式， 关于作业、 复习、 考核的一些小方法 我们不需要像高中时那样去搞题海战术，只要能达到让学生掌握 本节课内容的目的， 只需要布置典型的练习题就行。 但是根据章节的不 同， 作业题的数量也应该有一点差别。比如说静力学部分， 这是后续几 门力学的基础， 因此作业数量可稍微多一些， 一般每章 5 6 道比较合 适； 而运动学部分， 每章的习题作业在 3 4 道为宜， 只是点的合成运动 以及刚体的合成运动两章的作业可以适当增加到 5 6 道； 最后在动力 学部分， 每章的作业题则在 2 3 道就可以了。但同时也可以多布置几 道选做题， 留给学有余力的学生。对每次的作业需要认真评阅， 如果学 生人数过多， 可以采取分批次抽阅的方法， 既能稍微减轻老师的负担， 又能及时了解学生的作业情况， 以便及时给予评讲。对于作业工整， 正 确率高的学生在课堂上可公开表扬，而对于做作业态度不认真的学生 采取不点名的方式予以批评。 平时考核方面， 随堂做一个 1 0 1 5 分钟的小练习是一个检验学生 学习效果的好方法, 其实这也算是一次小测验。随堂练习的题量一定要 少， 最好就是 1 2 道题， 重点应放在学生掌握基本概念、 理论及培养他 们创新思维和解决问题能力上。 而且每次练习之后， 让学生用一张纸将 答案写好后， 附上自己的姓名和学号， 交到老师手里。教师一定要认真 批改, 成绩作为平时成绩之一记载。 利用课堂练习的手段, 不仅把学生的 学习主动性和积极性调动起来, 也把自主学习的潜能激发起来 3 。另外， 还可以让学生在每学完一个篇章之后， 用 A 4 的纸， 在限定的版面内， 复 习并总结该篇章的所有知识， 培养学生自我复习的能力。 总之，理论力学 对理工科专业具有承前启后的特殊性， 教师应该 通过自身的努力， 尽可能的平衡好教与学之间的关系， 调动学生的积极 性， 搞好课堂教学， 更好的提高教学质量！ 参考文献 1 王瑾. 理论力学课程教学改革与实践 J . 安徽工业大学学报( 社 会科学版) , 2 0 0 6 , 2 3 ( 4 ) : 1 1 7 - 1 1 8 2 崔玉洁， 张祖立. 谈理论力学课堂教学模式改革 J . 沈阳农业大 学学报( 社会科学版) ， 2 0 0 6 . 0 6 , 8 ( 2 ) : 3 4 5 - 3 4 6