概率论 课件

概率论,概率论总目录,第1章随机事件与概率第2章随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布第4章随机变量的数字特征第5章大数定理与中心极限定理,第1章随机事件与概率,1.1随机事件及其运算1.2随机事件的概率1.3概率的运算性质及例题1.4条件概率与乘法公式1.5独立实验概型,1.1随机事件及其运算目录索引,第一章随机事件与概率,1.1.1随机现象1.1.2样本空间与随机事件1.1.3事件间的关系及其运算,当我们观察自然界和人类社会中各种事物的变化规律时,会发现两种不同类型的现象,一种是必然现象(或决定性现象)比如:在标准大气压下,水加热到是必然沸腾;一盒黄色乒乓球中任取一个球,这个球一定是黄色;太阳总是从东方升起;生物总是要经历生长、发育、衰老直至死亡各个阶段等等.这种在一定条件下必然发生的事情叫必然事件,反之,那种在一定条件下,必然不会发生的事情就称为不可能事件.,1.1.1随机现象,第一章随机事件与概率,除了必然现象以外,在自然现象和社会现象中还存在着与它有着本质区别的另一类现象(随机现象).比如:检查某商店各柜台未来一天的营业额,事先无法确定各柜台营业额的大小;同一天生产线上用同样的工艺生产出来的灯泡寿命长短也呈现出偶然性;车站候车室同一时间段候车人数不尽相同等等,第一章随机事件与概率,概率论中最经典的例子数抛(掷)一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况.事先无法确定.偶然因素在影响,使得这些现象在相同的实验条件下不可能有确定的结果,我们称之为这一类现象为随机现象.概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科.,第一章随机事件与概率,1.1.2样本空间与随机事件,为了研究随机现象，就要进行实验或对随机现象进行观察。这种实验或观察的过程称为随机试验,简称试验.通常用字母E表示.概率论里所研究的随机试验具有如下特征：(1)可以在相同的条件下重复进行；(2)试验会出现哪些可能的结果在试验前是已知的，但每次试验究竟会出现哪一个结果在试验前是无法准确预知的。在随机试验中，每一个可能出现的结果称为样本点,用表示；由全体样本点组成的集合称为样本空间，用表示。,第一章随机事件与概率,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况;E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况;E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数;E4：抛一颗骰子，观察出现的点数;E5：测量一个灯泡的寿命;则这些试验的样本空间为,第一章随机事件与概率,返回,返回,比如:抛掷一颗骰子的试验中,A1表示”出现的点数是2”,A2表示”出现的点数是4”,A3表示”出现的点数是6”,它们都是基本事件;B表示”出现偶数点”,B是A1,A2,A3复合而成的随机事件,称之为复合事件(以后简称事件);C表示”出现的点数小于7”这个事件,显然它是一个必然事件;D表示”出现的点数大于7”这个事件,它是不可能事件.,第一章随机事件与概率,说明:(1)必然事件和不可能事件有着紧密的联系,必然事件的反面事件一定是不可能事件;(2)无论是必然事件还是不可能事件亦或随机事件,都是相对于一定的试验条件而言的,如果试验条件改变了,则事件的性质也就发生了变化.例如掷骰子试验中,观察”点数之和小于7”这个事件,当掷一颗骰子时它是必然事件;掷两颗骰子时它是随机事件;掷八颗骰子时它是不可能事件.(3)概率论所研究的都是随机事件,为讨论问题方便起见,我们把必然事件和不可能事件作为事件的两个极端情况纳入随机事件中去研究.,第一章随机事件与概率,1.1.3事件间的关系及其运算,第一章随机事件与概率,1.用集合表示事件,20事件的并(和运算)或A+B,10包含关系等价的说法如果B不发生则A也不发生若且则A=B.,30事件的交(积运算)或AB,40事件的差运算,50互不相容事件(或称互斥关系),60对立事件(逆事件),第一章随机事件与概率,2.事件的关系及运算,70完备事件组,若事件A1,A2,An为两两互不相容事件,并且,A1+A2+An=,2中事件A=HHH,HHT,HTH,HTT,B=HHH,TTT,20和事件,30积事件,第一章随机事件与概率,40差事件,第一章随机事件与概率,50互不相容,60对立事件,第一章随机事件与概率,第一章随机事件与概率,5:t|t0中事件A=t|t1000“次品”事件B=t|t1000“合格品”事件C=t|t1500“一等品”,第一章随机事件与概率,随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,结合律:,分配律:,DeMorgan定律:,第一章随机事件与概率,例1.1.1从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回)，事件Ai表示第i次取到合格品。试用事件的运算表示下列事件；(1)三次都取到了合格品；(2)三次中至少有一次取到合格品；(3)三次中恰有两次取到合格品；(4)三次中最多有一次取到合格品。,解(1)“三次取到合格品”=A1A2A3；(2)“三次中至少有一次取到合格品”=A1+A2+A3；(3)“三次中恰有两次取到合格品”=；(4)“三次中最多有一次取到合格品”=；,第一章随机事件与概率,例1.1.2从统计系学生中任选一名学生,令事件A表示”该生是男生”,事件B表示”该生是三年级学生”,事件C表示”该生是运动员”.(1)试述事件的意义;(2)在什么条件下ABC=C成立?(3)什么时候关系式是正确的?,解:(1)表示”选出的学生是三年级男生但不是运动员”.(2)在运动员都是三年级男生的条件下,ABC=C.(3)在运动员全是三年级学生时,第一章随机事件与概率,1.2随机事件的概率目录索引,第一章随机事件与概率,1.2.1概率的统计定义1.2.2概率的古典定义1.2.3几何概型,在n次重复试验中,如果事件A发生了m次(频数),则m/n称为事件A发生的频率.同样,若事件B发生了k次,则事件B发生的频数为K/n.如果A是必然事件,有m=n,即必然事件的频率是1.当然,不可能事件的频率为0.如果A与B互斥,则A+B事件的频率为(m+k)/n,它恰好等于两个事件频率的和,我们将这一特性称为频率的可加性.,1.2.1概率的统计定义,第一章随机事件与概率,例1历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。,第一章随机事件与概率,频率稳定值概率,事件发生的频繁程度,事件发生的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,第一章随机事件与概率,一个事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动,频率的可加性;非负性;必然事件与不可能事件的频率.,定义1.2(概率的统计定义)在相同的随机试验条件下,重复进行n次试验,事件A发生的频率稳定地在某一常数P附近摆动,且一般来说,n越大,摆动幅度越小,则称常数P为事件A的概率,记作P(A),即P(A)=P.,第一章随机事件与概率,在不少实际问题中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值。这种用频率估计概率的方法称为频率方法。,1.2.2概率的古典定义,第一章随机事件与概率,若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.,称这种试验为古典概型.,定义1.3(概率的古典定义)在古典概型下，若所有基本事件总数为n，而事件A包含了其中的m个，那么事件A的概率定义为,法国数学家Laplace于1812年指出的.,第一章随机事件与概率,求概率问题转化为计数问题.,排列组合是计算古典概率的重要工具.,1.加法原理,设完成一件事有m类方式，,第一类方式有n1种方法，,第二类方式有n2种方法,；,第m类方式有nm种方法,则完成这件事总共有n1+n2+nm种方法.,特点:一步完成,第一章随机事件与概率,例如，某人要从甲地到乙地去,甲地,乙地,可以乘火车,也可以乘轮船.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?,3+2种方法,回答是,第一章随机事件与概率,2.乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,；,第m个步骤有nm种方法,特点：多步完成,例如,A地到B地有两种走法,B地到C地有三种走法,C地到D地有四种走法,则A地到D地共有,种走法.,第一章随机事件与概率,特别,N=n时称全排列,排列、组合的定义及计算公式,1、排列:,从N个元素中取n个不同元素的排列数为：,阶乘,若允许重复,则从n个元素中取k个元素的排列数为：,注意,第一章随机事件与概率,2、组合:,从N个元素中取n个元素的组合数为：,推广:n个元素分为s组，各组元素数目分别为r1,r2,rs的分法总数为,例1一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：放回抽样第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。不放回抽样第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。分别就上面两种方式求：,1）取到的两只都是白球的概率；2）取到的两只球颜色相同的概率；3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,第一章随机事件与概率,第一章随机事件与概率,解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。设A=“取到的两只都是白球”，B=“取到的两只球颜色相同”，C=“取到的两只球中至少有一只是白球”。有放回抽取:,第一章随机事件与概率,无放回抽取:,思考:一户人家有两个孩子,考虑两个孩子中至少有一个男孩的概率.,第一章随机事件与概率,例2将n只球随机的放入N(Nn)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）.,解：将n只球放入N个盒子中去,共有,而每个盒子中至多放一只球,共有,第一章随机事件与概率,此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为99.7%。,np,202330405064100,0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997,经计算可得下述结果：,第一章随机事件与概率,例3一批产品共有100个,废品有2个,求:,(1)这批产品的废品率;,(2)任取3个恰有一个是废品的概率;,(3)任取3个全不是废品的概率.,解:设P(A),P(B),P(C)分别表示(1),(2),(3)中所求的概率,则,1.2.3几何概型,第一章随机事件与概率,设某试验的一个可能结果是一区域(线段，平面区域，空间区域等），如果A表示落在某一区域g()这一事件,若事件A的概率与该区域的测度(长度,面积,体积等)成正比,并且与它的位置形状无关,称此模型为几何概型,其中,第一章随机事件与概率,例4(会面问题）甲、乙二人约定在6点到7点之间在某地会面，先到者要等另一人20分钟,过时就离去,试求这两人能会面的概率.,解:设X,Y分别表示这两个人到达的时刻,则两人能够会面可以表示为,这是一个几何概型问题,所有可能的结果是边长为1的正方形里的点,能会面的点的区域如图用阴影部分标出,则所求概率为,第一章随机事件与概率,1.3概率的运算性质及例题目录索引,第一章随机事件与概率,1.3.1概率的性质1.3.2例题1.3.3概率的公理化定义,1.3.1概率的性质,例1设100个产品中有60个一等品,30个二等品,10个废品.规定一、二等品都是合格品,考虑这批产品的合格率与一、二等品比率之间的关系.解:设事件A,B分别表示”产品为一、二等品”,则A与B互不相容,AB=,A+B为合格品,则,第一章随机事件与概率,可见P(A+B)=P(A)+P(B),此式就是概率加法法则,定理1.1(概率的加法法则)两个互不相容(互斥)事件之和的概率等于它们的概率之和,即当AB=时,P(A+B)=P(A)+P(B).,第一章随机事件与概率,P(AB)=0,(有限可加性),推论1两个对立事件概率之和为1，即,推论2若果,则P(B-A)=P(B)-P(A)且,推论3(广义加法法则)对于任意两个事件A,B,有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),第一章随机事件与概率,推广:三个事件的加法公式,证明留作练习.,一般地,例1一颗骰子掷4次至少得到一个6点与两颗骰子掷24次至少得到一个双6，这两个事件中哪个事件更有可能发生?,第一章随机事件与概率,解:设事件A表示”一颗骰子掷4次至少得到一个6点”,为求P(A),先求P(),表示一颗骰子掷4次每次都不出现6点,则,设事件B表示”两颗骰子掷24次至少得到一个双6点”,用同样的方法可求得,1.3.2例题,第一章随机事件与概率,解:设事件A表示”第k次摸到黑球”,则表示”第k次摸到的是白球”,现在计算P(),例2一口袋中装有N-1个黑球和1个白球,每次从口袋中随机摸出一球,并换入一个黑球,这样继续下去,求第k此摸到黑球的概率是多少?,故,第一章随机事件与概率,例3每个交通路口有红、绿、黄三色指示灯,假设各色灯的开闭是等可能的.一个人骑车经过三个路口,是求下列事件的概率:A表示”三个都是红灯”,B表示”三个都是绿灯”,C表示”三个都是黄灯”,D表示”无红”,E表示”无绿”,F表示”三次颜色相同”,G表示”颜色全不相同”,H表示”颜色不全相同”.,解:P(A)=P(B)=P(C)=,P(D)=P(E)=,P(F)=,P(G)=,P(H)=1-P(F)=,(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率;(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率.,第一章随机事件与概率,例4设一批产品共100件,其中98件正品,2件次品,从中任意抽取3件(分三种情况:一次取3件;每次取1件,取后放回共取3次;每次取1件,取后不放回共取3次),试求:,解:设事件A表示”取出的3件中恰有1件是次品”,事件B表示”取出的3件中至少有1件是次品”,(1)按一次取3件的抽取方式,计算,P(A)=,P(B)=,(2)按每次取1件,取后放回共取3次抽取方式,计算,P(A)=,P(B)=,(3)按每次取1件,取后不放回共取3次抽取方式,计算,P(A)=,P(B)=,第一章随机事件与概率,例5从0-9中任意选出3个不同的数字,试求下列事件的概率:(1)A1表示”三个数字中不含0与5”;(2)A2表示”三个数字中不含0或5”.,解:P(A1)=,P(A2)=或,P(A2)=,第一章随机事件与概率,1.3.3概率的公理化定义,概率的统计定义和古典定义归纳出概率具有如下基本性质,(1)非负性,(2)规范性,(3)有限可加性,第一章随机事件与概率,定义1.4(概率的公理化定义)设E是随机试验,用来表示E中任意随机事件A发生可能性大小的实数称为该事件的概率,记为P(A)，并规定它满足如下三条公理化条件：,(1)非负性,(2)规范性,(3)可列可加性,第一章随机事件与概率,1.4条件概率与乘法公式目录索引,1.4.1条件概率1.4.2乘法法则1.4.3全概率公式和贝叶斯公式,第一章随机事件与概率,1.4.1条件概率,对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件A已经发生，要求另一事件B发生的概率。,例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。,若B记为“一男一女”，则P(B)=1/2；,但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.,有一个男孩一个女孩的家庭,第一章随机事件与概率,若记A为至少有一男孩，则上述概率为,条件概率的计算公式规定如下：,条件概率也是概率,显然满足概率公理化定义.,我们将“已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率”称为事件B在给定条件A发生的条件下事件B再发生的条件概率，简称B对A的条件概率,记为P(B|A)。,第一章随机事件与概率,解依题意P(A)=70%,例1市场上供应的灯泡中,甲厂的产品占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂的合格率是80%,若用事件A,分别表示”甲乙两厂的产品”,B表示”产品的合格品”,试写出有关事件的概率和条件概率.,第一章随机事件与概率,解,例2全年级100名学生中,有男生(以事件A表示)80人,女生20人.来自北京的(以事件B表示)有20人,其中男生12人,女生8.免修英语的(用事件C表示)40人中有32名男生,8名女生.,P(B|A)=,P(AB)=,P(C|A)=,P(A|B)=,P(B)=,P(C)=,P(AC)=,80/100=0.8,20/100=0.2,12/80=0.15,12/20=0.6,12/100=0.12,40/100=0.4,32/80=0.6,32/100=0.32,P(A)=,第一章随机事件与概率,1.4.2乘法法则,由条件概率的定义：,即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B),若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).,若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A),推广到三个事件：,P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1),一般,与次序无关。,乘法公式,第一章随机事件与概率,解依题意P(A)=70%,例3甲厂的产品(A)占70%,乙厂生产的产品()占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂的合格率是80%,B表示产品为合格品.求,则,第一章随机事件与概率,例4设袋子中有a个白球t个红球,每次从袋子中任取一球,观察颜色后放回,并且加入与其颜色相同的b个球,同样的方法连续再取四次球,求第一二次取到白球第三四次取到红球的概率.,解以Ai(i=1,2,3,4)表示”第i次取到的是白球”,则分别表示第三四次取到的是红球,所求概率为,第一章随机事件与概率,例5设10个考签中有4个难签.3人参加抽签(不放回),甲先,乙次,丙最后.求(1)甲抽到难签;(2)甲,乙都抽到难签;(3)甲没抽到难签而乙抽到难签;(4)甲乙丙都抽到难签的概率.,解设事件A,B,C分别表示甲,乙,丙”抽到难签”,则,第一章随机事件与概率,1.4.3全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥,乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0,贝叶斯公式,全概率公式,第一章随机事件与概率,例6市场上供应的灯泡中,甲厂产品(A)占70%,乙厂()占30%,甲、乙厂的产品合格率分别为95%和80%,B表示产品为合格品,求总合格率P(B).,则,解由于为两互斥事件之和,依题意有P(A)=70%,此合格品是甲厂生产的概率为,第一章随机事件与概率,全概率公式可看成“由原因推结果”,第一章随机事件与概率,由概率的可加性及乘法公式,有,这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.,定理1.2(全概率公式)如果事件A1,A2,构成一个完备事件组,并且都具有正概率,即P(Ai)0(i=1,2,),则对任意一事件B,有,利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和,第一章随机事件与概率,全概率公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,第一章随机事件与概率,例7袋中有a个白球b个黑球,不还原摸球两次,问第二次摸出白球的概率为多少？,解,分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，,由全概率公式,第一章随机事件与概率,定理1.3(贝叶斯Bayes公式)若A1,A2,构成一个完备事件组,并且都具有正概率,则对任意一事件B,有,全概率公式,条件概率,乘法公式,该公式于1763年由Bayes给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因Am的概率.,贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”,第一章随机事件与概率,Bayes公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章随机事件与概率,例8袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球,求掷出3点的概率解：设：B=取出的球全是白球,则由Bayes公式,得,第一章随机事件与概率,例9某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的.根据以往的记录有以下的数据.,元件制造厂次品率提供晶体管的份额10.020.1520.010.8030.030.05,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.（1）在仓库中随机的取一只晶体管,求它是次品的概率.（2）在仓库中随机的取一只晶体管,若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大.,解:设A表示“取到的是一只次品”,Bi(i=1,2,3)表示“取到的产品是由第i家工厂提供的”,第一章随机事件与概率,元件制造厂次品率提供晶体管的份额10.020.1520.010.8030.030.05,全概率公式,贝叶斯公式,第一章随机事件与概率,元件制造厂10.020.1520.010.8030.030.05,B1,B2,B3,A,第一章随机事件与概率,例10对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为75%.已知某天早上第一件产品是合格品,试求机器调整得良好的概率是多少？,机器调整得良好产品合格机器发生某一故障,解：,第一章随机事件与概率,1.5独立试验概型目录索引,1.5.1事件的独立性1.5.2独立试验概型,1.5.1事件的独立性,第一章随机事件与概率,定义1.6若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立，或称A、B相互独立.,一、两个事件的独立性,性质1事件A与事件B独立且P(B)0,则P(A|B)=P(A).,性质2若事件A与B独立,则下列各对事件也相互独立:,二、多个事件的独立性,定义1.7对于三个事件A,B,C,若下列四个等式同时成立,则称它们相互独立.1)P(AB)=P(A)P(B)2)P(BC)=P(B)P(C)3)P(AC)=P(A)P(C)4)P(ABC)=P(A)P(B)P(C),P(AB)=P(B)P(A|B),三个事件相互独立必保证两两独立.但两两独立不一定保证相互独立.,第一章随机事件与概率,注意,在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立不能推出第四个等式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立,第一章随机事件与概率,例1证明设事件A与B满足：,若事件A与B相互独立，则AB；,证明:,若AB=，则事件A与B不相互独立,由于AB=，所以,但是，由题设,这表明，事件A与B不相互独立,此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。,第一章随机事件与概率,例2袋中装有4个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色现从袋中任意取出一球，令：A=取出的球涂有红色B=取出的球涂有白色C=取出的球涂有黑色则：,由此可见,但是,这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的,第一章随机事件与概率,例3有一均匀正八面体,其中第1、2、3、4面染成红色，第1、2、3、5面染成白色，第1、6、7、8面染成黑色，现在我们以A,B,C分别表示“掷一次正八面体出现红、白、黑颜色”，则,由此可见,但是,第一章随机事件与概率,定义1.8,说明,在上面的公式中，,第一章随机事件与概率,对独立事件，许多概率计算可得到简化.,第一章随机事件与概率,例4三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,将三人编号为1，2，3，,所求概率为,记Ai=第i个人破译出密码i=1,2,3,解,“三个臭皮匠，顶个诸葛亮.”,第一章随机事件与概率,一.独立随机试验,二.n次相互独立试验,1.5.2独立试验概型,第一章随机事件与概率,n重贝努力(Bernoulli)试验,若独立重复地进行n次Bernoulli试验，这里“重复”是指每次试验中事件A发生的概率（即每次试验中“成功”的概率）不变，则称该试验为n重Bernoulli试验,贝努力定理设一次试验中事件A发生的概率为p(0p1),则n重贝努力试验中,事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)表示,则,第一章随机事件与概率,例5三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标的概率分别为0.3，0.6，0.8若有一门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.9试求目标被摧毁的概率解：设：B=目标被摧毁,由全概率公式，得,而,第一章随机事件与概率,所以,第一章随机事件与概率,例6将一枚硬币掷5次，可看作是一5重贝努力试验,第二章随机变量及其分布,第2章随机变量及其分布,2.1随机变量2.2离散型随机变量2.3随机变量的分布函数2.4连续型随机变量2.5随机变量函数的分布,第二章随机变量及其分布,2.1随机变量目录索引,2.1.1随机变量的概念和例2.1.2随机变量的数学定义,第二章随机变量及其分布,1、随机变量的例首先列举一些随机变量的例下面所列举的随机变量，都是实际应用中常见的，具有典型性，并且和一些重要的概率分布相联系，这些概率分布一般都是实际中常用的概率分布,一、随机变量的概念和例,(1)只有有限个或可数个可能值的随机变量,1)、vnn次独立重复试验成功的次数，是一随机变量，有0,1,2,n等n+1个可能值,2)、vn(t)在长为t的时间段上出现在给定区域的质点数，其可能值为一切自然数：0,1,2,n,第二章随机变量及其分布,3)、N连续进行某项试验直到成功为止，所需试验的次数，其可能值为一切正整数：1,2,n,(2)、连续取值的随机变量,4)、T相继出现的两个随机质点之间的时间间隔（称做等待时间），其值域为(0，),5)、X随机测量的结果或误差，其值域可能是某个有限区间（a,b），也不妨认为是整条直线（数轴）对于测量，一般可以假设X=+e.,只有有限个或可数个可能值的随机变量称做离散型随机变量（例如，1）,2）,3）；连续型随机变量是连续取值的随机变量（例如，4），5）,第二章随机变量及其分布,二、随机变量的数学定义,定义2.1设随机试验E的样本空间为=,如果对于每一个,都有一个实数X()与之对应,这样就得到一个定义在上的单值实函数X=X(),称X为随机变量.通常用大写英文字母X,Y,Z或希腊字母,等表示.,第二章随机变量及其分布,2.2离散型随机变量目录索引,2.2.1概率分布2.2.2常见分布,第二章随机变量及其分布,2.2.1概率分布,定义2.2设随机变量X的所有可能取值有限个或可列个,记为xi,i=1,2,.且它取各个可能值有确定的概率,即事件X=xi=pi,i=1,2,为离散型随机变量X的概率分布(或概率函数).,概率分布有如下性质:(1)pi0;(2)pi=1.,例2.2.1在5件产品中有2件为次品,从中任取2件,用X描述取出的2件产品中次品的个数,求出X的概率分布.,解X的可能取值为0,1,2,且,因此X的概率分布表为,X012,P0.30.60.1,第二章随机变量及其分布,例2.2.2一辆车从A地到B地经过4个路口,假设各路口的红绿灯相互独立,用X描述该车第一次遇到红灯时已通过的路口数,求X的概率分布.,解X的可能取值为0,1,2,3,4,且,因此,X的概率分布表为,X01234,P1/21/41/81/161/16,则称X服从参数为p的01分布,又称为两点分布或贝努力分布,记为XB(1,p).,第二章随机变量及其分布,2.2.2常见分布,1.01分布,若随机变量X的概率分布为,X01,P1-pp,即p(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1,0p1,例2.2.3一批产品的次品率为5%,从中任取一件,用X表示取出的一件产品中次品的个数,写出X的概率分布.,X01,P95%5%,解X的概率分布为,第二章随机变量及其分布,若随机变量X的概率分布为,则称X服从参数为n和p的二项分布,记为XB(n,p).,2.二项分布,例2.2.4从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,各交通岗红灯点亮的时间占2/5.设X为途中遇到红灯的次数,求至多遇到1次红灯的概率.,解所求概率即P(X1)而X服从二项分布B(3,2/5)，即有故PX1,第二章随机变量及其分布,例2.2.5某大学的校网球队与该校某系网球队举行对抗赛.一般地,校队的实力比系队强,每个校队队员获胜的概率为0.55,每个系队队员获胜概率为0.45.现就校和系对抗赛的比赛方式,提出了三种方案供选择:(1)双方各出3人;(2)双方各出5人;(3)双方各出7人.三种方案中均以赛中获胜人数多的一方为胜.问就系对而言,哪一种方案较为有利?,解设系队获胜队员人数为X,系队队员获胜概率为0.45,一般可以认为队员间比赛的胜负结果是相互独立的,则X服从二项分布.因此,系队获胜的概率分别为,第一种方案对系队最有利,即对校队最不利.,第二章随机变量及其分布,若随机变量X的概率分布为,3.超几何分布,则称X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M).,第二章随机变量及其分布,超几何分布的概率背景,一批产品有N件，其中有M件次品，其余N-M件为正品现从中取出n件令：X：取出n件产品中的次品数则X的分布律为,此时,随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布.,一般地,若N10n,不放回抽样就可以近似按由放回来处理,超几何分布就可用二项分布来近似,即,Poisson分布的概率值满足:,超几何分布的极限分布为二项分布.,第二章随机变量及其分布,定理2.1(二项定理)若当N时,M/Np(n,k不变),则,若随机变量X的概率分布为,则称随机变量X服从参数为的Poisson分布记为XP().,4.泊松(Poisson)分布,第二章随机变量及其分布,Poisson分布的应用,Poisson分布是概率论中重要的分布之一自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的,第二章随机变量及其分布,例2.2.6设随机变量X服从参数为的Poisson分布，且已知,解：随机变量X的分布律为,由已知,得,由此得方程,得解,所以，,上月无存货的情况下.,第二章随机变量及其分布,例2.2.7一家商场销售一型号的电视机,又该商场过去的销售记录知道,此批号电视机每月的销售数可以用参数为=10的泊松分布来描述.为了以95%以上的把握保证不脱销,问商场在月底至少应进该型号电视机多少台?,解：设X表示商场每月销售该型号电视机的台数,且月底的进货为t台,则当Xt时就不会脱销,因而按题意要求为,又因为XP(10),所以上式也可以表示为,由于,所以,满足条件的最小的t为15,第二章随机变量及其分布,定理2.2(Poisson定理),证明：,第二章随机变量及其分布,对于固定的k，有,所以，,第二章随机变量及其分布,Poisson定理的应用,由Poisson定理，可知,第二章随机变量及其分布,若随机变量X的概率分布为,5.几何分布,则称X服从参数为p的几何分布,记为XG(p).,在Bernoulli试验中，,试验进行到A首次出现为止,几何分布的概率背景,第二章随机变量及其分布,例2.2.8设生三胞胎的概率为10-4,求在10000次生育中恰有2次生三胞胎的概率.解：设在10000次生育中生三胞胎的次数为X,则XB(10000,10-4),故所求概率为,显然,直接计算是繁琐的,故用泊松分布求近似值.因n=10000很大,p=0.0001很小,=np=1,故,第二章随机变量及其分布,例2.2.9对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射击进行到击中目标时为止，令：X：所需射击次数试求随机变量X的分布律，并求至少进行2次射击才能击中目标的概率解：,由独立性，得X的分布律为：,第二章随机变量及其分布,2.3随机变量的分布函数目录索引,2.3.1分布函数2.3.2离散型随机变量的分布函数,因此只考虑Xx的情况.,第二章随机变量及其分布,由于随机试验结果的不确定性,描述随机试验结果的随机变量X的取值就具有随机性.对随机变量X而言,Xx,X=x,Xx,aXb等都表示随机事件.实际上,以上结果都可以用Xx的事件来表示.,定义2.3设X是一个随机变量，x是任意实数，函数,第二章随机变量及其分布,称为X的分布函数,x,P(Xx)=P(X=x)=P(aXb)=P(aXb)=P(aXb)=P(aXb)=,对于任意实数x,F(x)就是随机变量X落在区间(-,x上的概率.,F(x-0),F(x)-F(x-0),F(b)-F(a),F(b)-F(a-0),F(b-0)-F(a),F(b-0)-F(a-0),设X为随机变量,且分布函数为F(x),则,F(x-0)表示F(x)在x点的左极限.,第二章随机变量及其分布,有定义2.3可知,分布函数F(x)具有如下性质:0F(x)1,x;F(+)=F(x)是单调不减函数,即对于任意x1,x2R,当x1x2时,F(x1)F(x2).F(x)至少是右连续函数,即若x0是F(x)的间断点,则有,第二章随机变量及其分布,例2.3.1设随机变量X的概率分布为,2.3.2离散型随机变量的分布函数,P0.20.30.5,X-101,求:(1)X的分布函数;(2)P(x1/2),P(-1/4x2/3).,第二章随机变量及其分布,2.4连续型随机变量目录索引,2.4.1概率密度函数2.4.2连续型随机变量的分布函数2.4.3常见分布,第二章随机变量及其分布,2.4.1概率密度函数,定义对于随机变量X，如果存在非负可积函数，使对任意a,b(ab)都有PaXb,则称X为连续型随机变量；并称f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数，简称概率密度，或密度函数。若连续型随机变量的概率分布是用某个概率密度函数f(x)给出,则称随机变量X服从分布f(x),记为Xf(x).,第二章随机变量及其分布,概率密度函数的性质,性质1f(x)0性质2性质3连续型随机变量X取任一指定值a(aR)的概率为零,即P(X=a)=0.性质4性质5对连续型随机变量X和任意a,b(ab)有PaXb=PaXb=PaXb=F(b)-F(a)性质6设F(x)是X的分布函数,则在X的概率密度函数f(x)的连续点处有f(x)=F(x),第二章随机变量及其分布,例2.4.1设连续型随机变量X的概率密度函数为,求:常数c;P(0.3X0.6);P(0.3X1.6).,第二章随机变量及其分布,2.4.2连续型随机变量的分布函数,例2.4.2设连续型随机变量X的概率密度函数为,求:X的分布函数.,第二章随机变量及其分布,例2.4.3设随机变量X的分布函数为,求:(1)随机变量X落在区间(-a/2,a/2)内的概率.(2)随机变量X的概率密度函数f(x).,第二章随机变量及其分布,例2.4.4设随机变量X的概率密度函数为,求:(1)常数A;(2)P(0X0(或恒有g(x)0(或恒有g(x)0时,当x0时,显然FX(x)=0,故可得X的概率密度函数为,例2.5.6(对数正态分布)如果Y=lnXN,2,随机变量X称为服从参数为,2的对数正态分布,试求对数正态分布的概率密度函数.,解由于Y=lnXN,2,等价地有,第三章多维随机变量及其分布,3.1多维随机变量及其分布3.2随机变量的独立性3.3二维随机变量的函数分布,第三章多维随机变量及其分布,第三章多维随机变量及其分布,3.1多维随机变量及其分布目录索引,3.1.1多位随机变量及其分布函数3.1.2二维离散型随机变量及其分布3.1.3二维连续性随机变量及其分布,第三章多维随机变量及其分布,3.1.1多位随机变量及其分布函数,定义3.1设E是一个随机试验，它的样本空间是=，设X=X()和Y=Y()是定义在上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。,X(),Y(),第三章多维随机变量及其分布,注意事项,定义3.2一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,，Xn)为n维随机变量或随机向量.,第三章多维随机变量及其分布,二维随机变量的例子,第三章多维随机变量及其分布,第三章多维随机变量及其分布,定义3.3,第三章多维随机变量及其分布,y,o,(x,y),(X,Y),二元分布函数的几何意义,第三章多维随机变量及其分布,分布函数具有以下的基本性质：,1)F(x,y)是变量x,y的不减函数，即对于任意固定的y,当x1x2时，对于任意固定的x,当y1y2时，,对于任意固定的Y,对于任意固定的X,且,F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续.,4),第三章多维随机变量及其分布,分布函数具有以下的基本性质：,如果二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)已知,则它们的两个分量X与Y的分布函数即可求得,因为FX(x)=P(Xx)=P(Xx,Y0,则称f(x,y)/fX(y)为在条件X=x下关于Y的条件密度函数,记作fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(y).,第三章多维随机变量及其分布,3.2随机变量的独立性目录索引,3.2.1随机变量的独立性3.2.2随机变量函数的独立性,第三章多维随机变量及其分布,3.2.1随机变量的独立性,定义3.10设X1,X2,Xn是n个随机变量,若对任意的n个实数x1,x2,xn所组成的n个事件“X1x1”,“X2x2”,“Xnxn”相互独立,即有P(X1x1,X2x2,Xnxn)=P(X1x1)P(X2x2)P(Xnxn)或F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn)则称这n个随机变量X1,X2,Xn相互独立,否则称X1,X2,Xn不相互独立.其中F(x1,x2,xn)为(X1,X2,Xn)的联合分布函数,FX1(x1),FX2(x2),FXn(xn)分别是X1,X2,Xn的边际分布函数.,第三章多维随机变量及其分布,特别地,F(x,y),FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的联合分布函数及边际分布函数.若对于所有的