工程力学课件之杆类构件的应力分析与强度计算

,工程力学,第七章杆类构件的应力分析与强度计算,2019年11月19日,第七章杆类构件的应力分析与强度计算,思考：AB杆、AB杆材料相同，AB杆截面面积大于AB杆，挂相同重物，哪根杆危险？,若,哪根杆危险？,7-1应力的概念,.应力的概念：构件截面上的内力分布集度，称为应力。,受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积A上分布内力的平均集度即平均应力，其方向和大小一般而言，随所取A的大小而不同。,第二章轴向拉伸和压缩,该截面上M点处分布内力的集度为，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。,第二章轴向拉伸和压缩,正应力：,切应力：,应力特点：,1.应力是矢量；2.同一横截面上，不同点处的应力一般不同；3.过同一点，不同方位截面上的应力一般不同。,应力量纲：力长度-2,应力单位：国际单位：,工程制单位：Kgf/mm2，kgf/cm2。,一、横截面上的正应力,7-2轴向拉伸与压缩时杆的应力强度条件,1.变形现象,(1)横向线ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线;,(2)ab和cd分别平行移至ab和cd,且伸长量相等.,结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同.,2.平面假设：变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，且仍垂直于轴线.,3.推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s都相等。,4.等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式。,第二章轴向拉伸和压缩,注意：,1.上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。,2.即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。,3.圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。,第二章轴向拉伸和压缩,二、斜截面上的应力,1、斜截面上的应力,以表示斜截面k-k上的应力，于是有,沿截面法线方向的正应力,沿截面切线方向的剪应力,将应力p分解为两个分量：,p,（1）角,2.符号的规定,（3）切应力对研究对象任一点取矩.,p,(1)当=00时，,(2)=450时，,(3)=-450时，,(4)=900时，,讨论：,例7-1已知一等截面直杆，横截面A=500mm2，所受轴向力作用如图所示，F1=10KN，F2=20KN，F3=20KN。试求直杆各段的正应力。,解：作轴力图,应力计算：,式中，负号表示为压应力；正号表示为为拉应力。,三、强度条件：杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力,强度条件的应用,(2)设计截面,(1)强度校核,(3)确定许可荷载,例7-2一空心圆截面杆,外径,内径,承受,作用，材料的许用应力,，试校,轴向载荷,核杆的强度。,解：杆件横截面上的正应力为:,因为,所以满足强度校核。,解：（1）分析受力，受力图如图所示。,解得：,（2）计算各杆的许可载荷。,对BC杆，根据强度条件,解得：,所以，该结构的两杆都要满足强度条件的许可载荷应取：,对AC杆，根据强度条件：,解得：,1、试验条件,一、实验方法,(1)常温:室内温度(2)静载:以缓慢平稳的方式加载(3)标准试件：采用国家标准统一规定的试件,7-3材料的力学性能,材料的力学性能是指材料在外力作用下表现出的变形和破坏方面的特性，需要由实验来测定。,2.试验设备(1)万能材料试验机(2)游标卡尺,二、拉伸试验,先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为标距l,l=10d或l=5d,1、低碳钢拉伸时的力学性质,(1)拉伸试件,(2)拉伸图(F-l曲线),拉伸图与试样的尺寸有关。为了消除试样尺寸的影响，把拉力F除以试样的原始面积A，得正应力；同时把l除以标距的原始长度l,得到应变。,表示F和l关系的曲线，称为拉伸图,(3)应力应变图表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图,(a)弹性阶段,试样的变形完全弹性的.此阶段内的直线段材料满足胡克定律。,b点是弹性阶段的最高点.,(b)屈服阶段,当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服。,c点为屈服低限,(c)强化阶段,过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力。这种现象称为材料的强化。,e点是强化阶段的最高点,(d)局部变形阶段,过e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象.一直到试样被拉断.,注意：,1.低碳钢的ss，sb都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是名义应力。,2.超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得，因而是名义应变(工程应变)。,第二章轴向拉伸和压缩,试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由l变为l1，横截面积原为A，断口处的最小横截面积为A1.,截面收缩率,延伸率,5%的材料，称作塑性材料,1,max，又有2,max=80MPa，故该轴满足强度条件。,67,现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面ef(如图)上的应力。,斜截面上的应力,第三章扭转,68,分离体上作用力的平衡方程为,利用t=t，经整理得,第三章扭转,69,由此可知：,(1)单元体的四个侧面(a=0和a=90)上切应力的绝对值最大；,(2)a=-45和a=+45截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；,，如图所示。,第三章扭转,70,第三章扭转,低碳钢扭转试验开始,低碳钢扭转试验结束,71,低碳钢扭转破坏断口,第三章扭转,72,铸铁扭转破坏断口,第三章扭转,73,思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？,第三章扭转,对于剪切强度低于拉伸强度的材料（例如低碳钢），破坏是从杆的最外层沿横截面发生剪断产生的，而对于拉伸强度低于剪切强度的材料（如铸铁），其破坏是由杆的最外层沿与轴线约成45o倾角的螺旋形曲面发生拉断而产生的。,（a）,（b）,梁横截面弯曲应力,7-6梁的弯曲应力强度条件,一、纯弯曲,梁的横截面上既有弯矩，又有剪力，称为横力弯曲（剪切弯曲）。,梁的横截面上剪力为零，而弯矩为常量，这种情况称为纯弯曲。,1、实验观测（纯弯曲）,纵向线：成圆弧线,上方纵向线缩短，下方伸长,横向线：保持直线，与横线正交,单向受力假设,平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交,二、梁在纯弯曲时的正应力,1、变形几何关系,横截面间绕中性轴相对转动,中性轴截面纵向对称轴,中性层,中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。,中性轴：横截面与中性层的交线。,纵向线bb变形后的长度为:,bb变形前的长度等于中性层,纵向线bb的应变为,即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面高度呈线性分布。,中性层长度不变,所以:,2、物理关系,因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有:,即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离y成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。,y偏离中性轴的坐标值，r中性层的曲率半径。,3、静力学关系,对横截面上的内力系，有:,根据静力平衡条件，,z轴通过形心,即：中性轴通过形心。,因为y轴是对称轴，上式自然满足。,EIz梁的抗弯刚度,将上式代入,在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断应力的正负号，即以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力为压应力，此时,M和y可以直接代入绝对值。,在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。,令:,式中Wz称为扭弯截面系数，其单位为m3。,高为h宽为b的矩形截面，则：,直径为d的实心圆截面，则：,外径为D,内径是d的空心圆截面，则：,横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。,虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明,工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力。,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,三、梁在横力弯曲时的正应力,四、梁的正应力强度条件,对于脆性材料，它们的许用拉应力低于许用压应力，则应按许用拉应力与许用压应力分别进行强度计算。,例7-7钢制等截面简支梁受均布载荷q作用，梁的横截面为h=2b的矩形,求梁的截面尺寸。,已知材料的许用应力,解：作弯矩图,危险截面在梁的中点，其值为,强度计算：,例7-8T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉许用应力为t=30MPa,抗压许用应力为c=160MPa。已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4,y1=52mm,校核梁的强度。,F2=4kN,B截面,C截面,解:,此梁满足强度条件。,例7-9图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为形，材料的拉伸和压缩许用应力之比。求水平翼板的合理宽度b。,解:,7-7提高构件强度的措施,弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力强度为：,要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩Mmax和提高抗弯截面系数Wz。,一、合理配置梁的支座和载荷,1、合理安排梁的支座,若将支座向中间移动0.2l,最大的弯矩为原来的1/5,2、合理布置载荷,当集中载荷位置不受限制时，可尽量地靠近支座，这时梁的最大弯矩将比载荷作用在梁中间位置小得多。,尽量分散载荷:将载荷分解成几个大小相等，方向相同的集中载荷或均布载荷，梁内的弯矩也将显著减小。,3.加配重,二、选择合理的截面形状,根据强度条件可知，要想提高梁的强度,Wz越大越好，但是，另一方面，截面面积A越小，越经济，越轻巧，因而合理的截面形状应该是用Wz/A的比值来衡量截面形状的合理性和经济