2025年浙江省高中自主招生考试数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年浙江省高中提前自主招生数学试卷一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．关于x，y的方程组有无数组解，则（

）A．， B．，C．， D．，2．若，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定3．如果a，b，c，d是正数，且满足a+b+c+d=2，+=4，那么+的值为（）A．1 B． C．0 D．44．如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（

）A． B． C． D．5．当三个非负实数x，y，z满足关系式与时，的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．86．已知2024个数，每个数只能取或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小正值为（

）A． B． C．44 D．467．设四位数满足，则这样的四位数的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本题有7个小题，每小题6分，共42分）8．如图，在中，D、分别是、的中点，已知，，．则的面积为．9．我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数、令表示不超过的最大整数，例如，，，令，那么．10．如图，四边形是菱形，，，为对角线上任意一点，则的最小值为．11．已知，则的最小值为．12．团体购买公园门票，票价如下表：购票人数1~5051~100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积．13．已知，则的值为．14．在的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数之和的最大值是．11213140122233421322334315243444三、解答题（本大题共3题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．如图，三个等腰直角三角形，，的直角顶点分别为D，P，E，且它们直角边长度均不相等，不平行，求证：P是的中点．16．如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点停止运动，点也停止运动.连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点D，与轴交于点，连接，设点运动的时间为.（1）求的度数及点的坐标（用表示）.（2）当为何值时，为等腰三角形？（3）探索周长是否随时间的变化而变化.若变化，说明理由；若不变，试求出这个定值.17．已知，且，作二次方程．(1)若方程有实数根，求证：；(2)当方程有实数根，时，求正整数，，的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意可得，然后问题可求解．【详解】解：由可得，∵关于x，y的方程组有无数组解，∴，∴；故选B．2．A【分析】借助因式分解，换元，逆用幂的乘方，用作差法比较大小即可．【详解】解：设，则，，则，，故，，，故，故，故选：A．【点睛】本题考查了作差法的应用、因式分解的应用，换元，逆用幂的乘方，作差法是是比较代数式大小常用的方法，要求学生掌握．3．D【分析】根据a+b+c+d=2，，将所求式子变形便可求出．【详解】∵a+b+c+d=2，，∴==﹣1+﹣1+﹣1+﹣1=2×（）﹣4=2×4﹣4=8﹣4=4，故选：D．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．4．C【分析】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形，，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形∴∴，∴∵∴∴故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，和勾股定理，正确的作出辅助线是本题的关键．5．C【分析】本题考查函数最值问题，涉及三元一次方程组，一元一次不等式组，非负数等知识点．解题的关键是用表示出和．根据关系式与求出和与的关系式，又因，，均为非负实数，求出的取值范围，于是可以求出的最大值．【详解】解：∵，解得：，∴，又∵，，均为非负实数，∴，解得：，当时，有最大值为：．∴的最大值为．故选：C．6．D【分析】本题主要考查数字的变化规律，记，将转化为，设，，，中有个，个，则，求出，结合为正整数，当时，有最小正值，即可解答．【详解】解：记，∴，∵，每个数只能取或两个值之一，∴，∴，设，，，中有个，个，∴，∴，由题意可得两两之积都是整数，∴是整数，是偶数，要使为最小正值，∴，即，∵为正整数，∴当时，有最小正值，∴，故选：D．7．B【分析】本题主要考查了代数式表示四位数，根据题意可知是两位数，且a，b，c，d是小于5的自然数，再分情况讨论得出符合题意的结果.【详解】解：根据题意可知a，b，c，d是小于10的自然数，∵，∴是两位数，且a，b，c，d是小于5的自然数，当，时，则，此时这个四位数是2110；当，时，则，此时这个四位数是1210；当，时，则，此时这个四位数是2111；当，时，则，此时这个四位数是1211；当时，找不到符合题意的数；当时，找不到符合题意的数；当时，则，不符合题意.所以符合题意的数可能是2110或1210或2111或1211故选：B.8．【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组．设，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出，，解方程组可求得、，再利用三角形面积公式结合三角形中线的性质即可求解．【详解】解：设，，，在中，，在中，，即，解得：，∴，，∴，∴，∵点是的中点，∴，故答案为：．9．【分析】本题考查了求函数值，先求出，，当时，，即，代入计算即可得解．【详解】解：，当时，，即，当时，，即，当时，，即，∴，故答案为：．10．【分析】过点M作于点E，判定是等边三角形，过点C作于点G，根据轴对称原理，垂线段最短原理，特殊角的三角函数解答即可．．【详解】解：过点M作于点E，连接，∵四边形是菱形，，，∴，，是等边三角形，∴；过点C作于点G，∴；∵，，∴，∴，∵四边形是菱形，∴点A，点C关于直线对称，∴，∴，∵，∴当M，C，E三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，得当时，取得最小值，故当点E与点G重合时，取得最小值，此时，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，轴对称原理，垂线段最短原理，特殊角的三角函数，熟练掌握菱形性质，特殊角的三角函数是解题的关键．11．【分析】根据绝对值的意义得出最小值为，的最小值为，根据题意可得当时，取得最小值，取最大值，进而代入代数式，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵要使的最小，∴取最小值，取最大值，∴当时，最小值为，最小为当时，的最小值为，最大为∴的最小值为故答案为：．12．【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键；先判断，且，为正整数，再分，，再建立方程组解题即可．【详解】解：∵，∴两个部门的人数和超过人，∴，且，为正整数，当时，∴，∴①，∵，当两部门的人都小于人时，不是整数，不符合题意；∴，，∴②，联立①②可得：，不符合题意，当时，∴，∴③，∵，当，，∴④，联立③④可得：，∴，当，时，∴，此时不符合题意，舍去，当时，则，∴⑤，联立③⑤可得：，不符合题意，舍去，综上：，故答案为：．13．【分析】本题考查了解无理方程，算术平方根的非负性，由题意得出，再将两边平方求解即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵，，，∴，∴将方程两边同时平方可得：，即，∴，∴，两边同时平方可得：，∴，∴，解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）或，故答案为：．14．112【分析】本题主要考查了选数求和．熟练掌握选数规则，分类讨论求和，是解题的关键．根据选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数求和有8种情况，分别计算比较即得．【详解】解：选中4个数分以下8种情况：图1：，图2：，图3：，图4：，图5：，图6：，图7：，图8：，∴4个数和的最大值为112．故答案为：112．15．见解析【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，是解决本题的关键．延长交于点F，连接，根据等腰直角三角形性质，得，，，得，得，得，得，，得，得，得，得，得，得，得P是的中点．【详解】证明：如图，延长交于点F，连接，∵等腰直角三角形中，，∴，∵等腰直角三角形中，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵等腰直角三角形中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴点P在上，∴P是的中点．16．（1）（2）当为4秒或秒时，为等腰三角形（3）周长是定值，该定值为8【分析】（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．（3）由（2）已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题．【详解】（1）如图①.由题可得，.四边形是正方形，，.，..，，.在和中，.，.，，.，.点坐标为.（2）①若，则..，.点与点重合.点与点重合.与条件“轴”矛盾，这种情况应舍去.②若，则...在和中，≌.，..点与点重合（）.点与点重合（）.点，.此时.③若，在和中，..，..，.延长到点，使得，连接，如图②所示.在和中，.，.，，...在和中，，解得，当为4秒或秒时，为等腰三角形.（3），.周长是定值，该定值为8.【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角