概率统计简明教程

概率统计简明教程,工程数学,第一章,随机事件,一、随机现象,二、随机试验,1.1样本空间和随机事件,三、样本空间样本点,四、随机事件的概念,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,2.随机现象,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,1.确定性现象,一、随机现象,随机现象的特征,条件不能完全决定结果,二、随机试验,1.可以在相同的条件下重复地进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,定义在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,三、样本空间样本点,定义1.1对于随机试验E，它的每一个可能结果称为样本点，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。所有样本点构成的集合称为E的样本空间或必然事件，用或S表示.,我们规定不含任何元素的空集为不可能事件，用表示。,四、随机事件的概念,随机事件随机试验E的样本空间的子集(或某些样本点的子集），称为E的随机事件,简称事件.,1.2事件关系和运算,一、随机事件间的关系,二、事件间的运算规律,1.包含关系,若事件A出现,必然导致B出现,则称事件,B包含事件A,记作,B,一、随机事件间的关系,2.事件的和(并),A,推广,3.事件的交(积),A,B,AB,和事件与积事件的运算性质,4.事件的互不相容(互斥),若事件A、B满足则称事件A与B互不相容.,图示A与B互斥,说明当AB=时,可将AB记为“直和”形式A+B.任意事件A与不可能事件为互斥.,5.事件的差,事件“A出现而B不出现”，称为事件A与B的差.记作A-B.,图示A与B的差,B,A,若事件A、B满足则称A与B为互逆(或对立)事件.A的逆记作,6.事件的互逆（对立）,图示A与B的对立.,B,对立事件与互斥事件的区别,B,A、B对立,A、B互斥,互斥,对立,二、事件间的运算规律,概率论与集合论之间的对应关系,第二章,事件的概率,二、概率的性质,一、概率的概念,2.1概率的概念,统计定义,一、概率的概念,1.定义：,称在随机试验中，事件A发生地可能性大小为事件A的概率，记为,2.统计定义：,事件的概率定义为频率的稳定值.,二、概率的性质(统计定义的性质),（1）对任一事件A,有,概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即无法根据此定义计算某事件的概率。,二、古典概型的计算,一、古典概型的概念,2.2古典概型,一、古典概型的概念,若随机试验满足以下特征：,(1)试验的可能结果只有有限个；,则称此试验为古典概型.,(2)各个结果的出现是等可能的.,二、古典概型中事件概率的计算公式,设随机试验E为古典概型，其样本空间及事件A分别为：=1，2，nA=i1，i2，ik则随机事件A的概率为：,一、几何概型的定义,2.3几何概型,二、几何概型事件概率的计算,一、几何概型的定义,若随机试验满足以下特征：,(1)试验的可能结果有无限多个；,(2)各个结果的出现是等可能的.,则称此试验为几何概型.,定义当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为,说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.,二、几何概型事件概率的计算,一、概率的公理化定义,2.4概率的公理化定义,二、概率的性质,概率的可列可加性,一、概率的公理化定义,二、概率的性质,第三章,条件概率与事件的独立性,一、条件概率的定义,3.1条件概率,二、条件概率的性质,三、乘法定理,一、条件概率的定义,二、条件概率的性质,三、乘法定理,3.2全概率公式,3.3贝叶斯公式,一、事件独立性的定义,二、独立事件的性质,3.4事件的独立性,一、事件独立性的定义,(一)两个事件的独立性,（二）n个事件的独立性,设A1，A2，An为n个事件，若对于任意k(1kn),及1i1i2ikn,事件A与B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.,注：,2独立与互斥的关系,这是两个不同的概念.,两事件相互独立,两事件互斥,1,二、独立事件的性质,(1),必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.,(2)若事件A与B相互独立,则以下三对事件,也相互独立.,3.5伯努利试验与二项概率,一、伯努利概型的定义,二、二项概率公式,1.定义(独立试验序列),若试验序列由某个随机试验的多种重复所组成，且各种试验的结果相互独立，称这样的试验序列为独立重复试验.,一、伯努利概型的定义,则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为伯努利概型.,若n次重复试验具有下列特点：,2.n重伯努利(Bernoulli)试验,1)每次试验的可能结果只有两个A或,2)各次试验的结果相互独立，,(在各次试验中p是常数，保持不变）,二、二项概率公式,定理,如果在伯努利试验中，事件A出现的概率为p(0p1),则在n次试验中，A恰好出现k次的概率为：,第四章,随机变量及其分布,一、随机变量,4.1随机变量及分布函数,二、随机变量的分布函数,随机变量通常用大写字母X,Y,Z,或希腊字母,.等表示.,一、随机变量的概念,二、分布函数的概念,1.定义,2.分布函数的性质,(单调不减性),一、离散型随机变量的分布律,4.2离散型随机变量,二、常用离散型分布,一、离散型随机变量的分布律,或,二、常用离散型分布,设随机变量只可能取0与1两个值,它的分布律为,2.两点分布,1.退化分布,若随机变量取常数值C的概率为1,即,则称服从退化分布.,3.二项分布,若分布律为：,称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记:,其中q1p,4.泊松分布(Poisson),泊松定理,一、概率密度函数及其性质,4.3连续型随机变量,二、常用连续型分布,一、概率密度函数及其性质,1.定义,2.性质,1.设为连续型随机变量，是不可能事件,则有,若为离散型随机变量,注意,连续型,离散型,二、常见连续型随机变量的分布,1.均匀分布,2.指数分布,3.正态分布(或高斯分布),正态概率密度函数的几何特征,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,一般正态分布与标准正态分布的关系,第五章,二维随机变量及其分布,一、二维随机变量定义,5.1二维随机变量及分布函数,二、二维随机变量的分布函数,一、二维随机变量定义,二、二维随机变量的分布函数,(1)分布函数的定义,(2)分布函数的性质,且有,一、二维随机变量定义,5.2二维离散型随机变量,二、二维随机变量的分布律,若二维随机变量所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称为二维离散型随机变量.,一、二维随机变量定义,二.二维离散型随机变量的分布律,5.3二维连续型随机变量,一、二维随机变量的密度函数,二、常用二维连续型分布,一、二维连续型随机变量的密度,1.定义,2.性质,二、二维随机变量的密度函数,1.均匀分布,定义设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量具有概率密度,则称在G上服从均匀分布.,2.二维正态分布,若二维随机变量具有概率密度,5.4边缘分布,一、边缘分布函数,二、边缘分布律,三、边缘密度函数,一、边缘分布函数,二、边缘分布律,三、边缘密度函数,5.5随机变量的独立性,二、二维离散型随机变量的独立,三、二维连续型随机变量的独立性,一、独立性的定义,一、独立性的定义,二、二维离散型随机变量的独立,三、二维连续型随机变量的独立性,若的联合密度处处连续，相互独立的充分必要条件是,第五章,随机变量的函数及其分布,6.1一维随机变量的函数及其分布,一、X为离散型随机变量,二、X为连续型随机变量,设r.v.的分布律为,由已知函数f(x)是实变量x的单值函数，则当只取有限个或可列个值可求出r.v.的所有可能取值,则的概率分布为:,一、X为离散型随机变量,6.2二维随机变量的函数及其分布,一、（X，Y）为离散型随机变量,二、（X，Y）为连续型随机变量,设二维离散随机变量,由已知函数f(x，y)是实变量x与y的单值函数，则仍然是一个离散型的随机变量，当取有限对或可列对值可求出r.v.的所有可能取值则的概率分布为:,一、（X，Y）为离散型随机变量,第五章,随机变量的数字特征,一、数学期望的定义,二、随机变量函数的数学期望,三、数学期望的性质,7.1数学期望,一、数学期望定义,1）离散型,设离散型随机变量X的分布律为：,若级数绝对收敛，则称随机变量X的数学期望存在，记作EX，,且,数学期望也称为均值。,2）连续型,设连续型随机变量X的概率密度为，,若积分绝对收敛，则称积分的值为X的数学期望。,记为,二、随机变量函数的数学期望,定理1：,设Y=g(X),g(x)是连续函数，,(2)若X的概率密度为f(x)，,（1）若X的分布率为,定理2：,若(X,Y)是二维随机变量，,(1)若(X,Y)的分布律为,(2)若(X,Y)的概率密度为f(x,y)，且,g(x,y)是二元连续函数，,1.设C为常数，则有E(C)=C,2.设C为常数，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X),3.设为任意两个随机变量，都有,三、数学期望的性质,4.设X,Y为相互独立的随机变量，则有,1.离散型,2.连续型,3.Y=g(X),4.Y=g(X,Y),小结,一、方差的定义,二、方差的性质,7.2方差与标准差,三、常见概率分布的方差,四、矩的概念,1.方差的定义(定义3.3),一、随机变量方差的定义,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,2.随机变量方差的计算,(1)利用定义计算,(2)利用公式计算,(1)设C是常数,则有,(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有,二、方差的性质,(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则,三、常见概率分布的方差,1.两点分布,2.二项分布,3.泊松分布,4.均匀分布,5.指数分布,6.正态分布,分布名称,参数,数学期望,方差,四、矩的概念,定义3.4,定义3.5,一、协方差,二、相关系数,7.3协方差与相关系数,一、协方差,1.定义若EX-E(X)Y-E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X,Y)或Cov(X,Y),即,Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y),2.协方差的计算,离散型随机向量,其中PX=xi,Y=yj=piji,j=1,2,3,.,连续型随机向量,3.协方差计算公式,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y),（1）若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0,注,（2）D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),4.协方差的性质,（1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X),（2）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b为常数,（3）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),（4）当X与Y相互独立时，有Cov(X,Y)=0,二、相关系数,1.定义对于随机变量X和Y,若D(X),D(Y),则称,为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）。,当XY=0时,称X与Y不相关。,（1）|XY|1；,（2）|XY|=1当且仅当PY=aX+b=1,其中a,b为常数。,相关系数XY刻划了随机变量X和Y的线性相关程度。,.性质,一、切比雪夫不等式,二、大数定律,7.4切比雪夫不等式及大数律,一、切比雪夫不等式,切比雪夫不等式,二、大数定律,定义5.1若存在常数a,使对于任何,一、依概率收敛,则称随机变量序列n依概率收敛于a,定理1（伯努利