2019年春八年级数学下册 第1章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质课件 北师大版.ppt

1.1等腰三角形,第一章三角形的证明,第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质,学习目标,1.回顾全等三角形的判定和性质;2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用其解决基本的几何问题.(重点),导入新课,情境引入,问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?,斜拉桥梁,埃及金字塔,体育观看台架,问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?,七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.,思考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？,问题3在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？,1.两点确定一条直线；,2.两点之间线段最短；,3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；,4.同位角相等，两直线平行；,5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；,6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；,7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；,8.三边分别相等的两个三角形全等.,定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.,问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？,弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键,证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论；(2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知和求证；(4)分析证明思路,写出证明过程.,讲授新课,已知：如图,A=D,B=E,BC=EF.求证：ABCDEF.,证明：A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180），C=180(A+B)，F=180(D+E).A=D,B=E（已知），C=F（等量代换）.BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）.,总结归纳,定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.,根据全等三角形的定义，我们可以得到：,全等三角形的对应边相等，对应角相等.,问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?,推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的高互相重合(三线合一).,问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?,定理:等腰三角形的两个底角相等.,问题引入,等腰三角形的两个底角相等.,A,B,C,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C.,思考：如何构造两个全等的三角形？,定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.,如何证明两个角相等呢？,可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证,议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？,已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.,D,证明：,作底边的中线AD，则BD=CD.,AB=AC(已知)，,BD=CD(已作)，,AD=AD(公共边)，,BADCAD(SSS).,B=C(全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一：作底边上的中线,还有其他的证法吗？,已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.,D,证明：,作顶角的平分线AD，则BAD=CAD.,AB=AC(已知),BAD=CAD(已作),AD=AD(公共边),BADCAD(SAS).,B=C(全等三角形的对应角相等).,方法二：作顶角的平分线,在BAD和CAD中,想一想：由BADCAD，除了可以得到B=C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？,解：BADCAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD.又ADB+ADC=180，ADB=ADC=90，即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线.,D,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等边对等角).,证明后的结论,以后可以直接运用.,总结归纳,推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.,AB=AC,1=2(已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）.,AB=AC,BD=CD(已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）.,AB=AC,ADBC(已知)，BD=CD,1=2（等腰三角形三线合一）.,综上可得：如图,在ABC中,例1如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.,典例精析,分析：（1）找出图中所有相等的角；,（2）指出图中有几个等腰三角形？,A=ABD,C=BDC=ABC；,ABC,ABD,BCD.,（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？,BDC=A+ABD=2A=2ABD,ABC=BDC=2A,C=BDC=2A.,（4）设A=x,请把ABC的内角和用含x的式子表示出来.,A+ABC+C=180，x+2x+2x=180,解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得x=36，在ABC中，A=36，ABC=C=72.,例2如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC.(1)若ADAE，求证：BDCE；(2)若BDCE，F为DE的中点，如图，求证：AFBC.,解析：(1)过A作AGBC于G，根据等腰三角形的性质得出BGCG，DGEG即可证明；(2)先证BFCF，再根据等腰三角形的性质证明,图,图,A,B,D,G,E,C,A,B,D,E,C,F,证明：(1)如图，过A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；(2)BDCE，F为DE的中点，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，AFBC.,图,图,A,B,D,G,E,C,A,B,D,E,C,F,当堂练习,1.如图，已知ABAE，BADCAE，要使ABCAED，还需添加一个条件，这个条件可以是_,CD（答案不唯一）,2.(1)等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_；(2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为_；(3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_.,75,30,72,72或36,108,30,30,结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.,顶角+2底角=180顶角=1802底角底角=（180顶角）2,0顶角1800底角