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课下能力提升(九)二项式系数的性质及应用一、填空题1已知的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为_2若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为_3若展开式中只有第6项的系数最大，则n_.4已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8_5若CC(nN*)且(3x)na0a1xa2x2anxn，则a0a1a2(1)nan_二、解答题6二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和7求(1x)8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项8求证：32n28n9能被64整除答案1解析：由题设，得CC2C，即n29n80，解得n8或n1(不合题意，舍去)，则的展开式的通项为Tr1Cx8r，令r14，得r3，则第四项为T4Cx57x5.答案：7x52解析：令x1，2n64n6.由Tr1C36rx(1)rx(1)rC36rx3r，令3r0r3. 所以常数项为C332027540.答案：5403解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n10.答案：104解析：(1x)102(1x)10其通项公式为：Tr1C210r(1)r(1x)r，a8是r8时，第9项的系数所以a8C22(1)8180.答案：1805解析：由CC，得3n1n6(无整数解，舍去)或3n123(n6)，解得n4，问题即转化为求(3x)4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3x)4中令x1，即得a0a1a2(1)nan3(1)4256.答案：2566解：设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，得a0a1a2a9(23)91.(3)由(2)知a0a1a2a91，令x1，y1，得a0a1a2a959，将两式相加，得a0a2a4a6a8，此即为所有奇数项系数之和7解：(1)因为(1x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大该项为T5C(x)470x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4C(x)356x3，T6C(x)556x5.8证明：32n28n99n18n9(18)n18n9CC8C82C83C8nC8n18n91(n1)8C82C83C8n8n18n9C
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