2019高考数学复习第九章平面解析几何9.3椭圆及其性质练习文.docx

9.3椭圆及其性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1.椭圆的定义及其标准方程1.掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义进行解题2.掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程2017天津,20;2016天津,19;2015广东,8;2014大纲全国,15选择题、填空题、解答题2.椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何性质(如图形、范围、对称性等),并会熟练运用2.理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率2017课标全国,12;2017浙江,2;2016课标全国,5;2016课标全国,12;2015课标,5选择题、填空题、解答题3.直线与椭圆的位置关系1.掌握直线和椭圆位置关系的判断方法2.理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆位置关系解答相应问题2017北京,19;2016课标全国,21;2016四川,20;2015北京,20;2014陕西,20选择题、填空题、解答题分析解读从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b22.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0e0),则直线FP的斜率为1m.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直线FP的斜率为34.(ii)由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-13c7(舍去),或x=c.因此可得点Pc,3c2,进而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=3c234=9c8,所以FQN的面积为12|FQ|QN|=27c232,同理FPM的面积等于75c232,由四边形PQNM的面积为3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.五年高考考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆x225+y2m2=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9答案B2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为43,则C的方程为()A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1答案A3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:x29+y24=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案124.(2016天津,19,14分)设椭圆x2a2+y23=1(a3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.解析(1)设F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3.由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由BFHF,得=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k.设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化简得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.所以,直线l的斜率为-64或64.5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=|PF1|,且3443,试确定椭圆离心率e的取值范围.解析(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c=3,从而b=a2-c2=1.故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.(2)如图,连接QF1,由PF1PQ,|PQ|=|PF1|,得|QF1|=|PF1|2+|PQ|2=1+位2|PF1|.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.于是(1+1+位2)|PF1|=4a,解得|PF1|=,故|PF2|=2a-|PF1|=.由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,从而+=4c2,两边除以4a2,得+=e2.若记t=1+1+位2,则上式变成e2=4+(t-2)2t2=81t-142+12.由3443,并注意到t=1+1+位2关于的单调性,得3t4,即141t13.进而12e259,即22b0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=|MQ|.(i)求的值;(ii)若|PM|sinBQP=759,求椭圆的方程.解析(1)设F(-c,0).由已知离心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c.又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).(i)由(1)可得椭圆的方程为x25c2+y24c2=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.因为BQBP,所以直线BQ的方程为y=-12x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40c21.又因为=|PM|MQ|,及xM=0,可得=|xM-xP|xQ-xM|=|xP|xQ|=78.(ii)由(i)有|PM|MQ|=78,所以|PM|PM|+|MQ|=77+8=715,即|PQ|=157|PM|.又因为|PM|sinBQP=759,所以|BP|=|PQ|sinBQP=157|PM|sinBQP=553.又因为yP=2xP+2c=-43c,所以|BP|=0+5c32+2c+4c32=553c,因此553c=553,得c=1.所以,椭圆方程为x25+y24=1.7.(2014天津,18,13分)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=32|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则c2a2=12.所以椭圆的离心率e=22.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.又因为点P在椭圆上,故x022c2+y02c2=1.由和可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-43c,代入得y0=c3,即点P的坐标为-4c3,c3.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,进而圆的半径r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得|kx1-y1|k2+1=r,即k-2c3-2c3k2+1=53c,整理得k2-8k+1=0,解得k=415.所以直线l的斜率为4+15或4-15.教师用书专用(810)8.(2013广东,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是()A.x23+y24=1B.x24+y23=1C.x24+y22=1D.x24+y23=1答案D9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(-2,0),离心率为63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.解析(1)由已知可得,ca=63,c=2,所以a=6.又由a2=b2+c2,解得b=2,所以椭圆C的标准方程是x26+y22=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=m-0-3-(-2)=-m.当m0时,直线PQ的斜率kPQ=1m,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得x=my-2,x26+y22=1,消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式=16m2+8(m2+3)0,所以y1+y2=4mm2+3,y1y2=-2m2+3,x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以x1+x2=-12m2+3=-3,y1+y2=4mm2+3=m,解得m=1.此时,S四边形OPTQ=2SOPQ=212|OF|y1-y2|=2=23.10.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+3交于A,B两点.若PAB的面积为2,求C的标准方程.解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00),则切线斜率为-x0y0,切线方程为y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=124x04y0=8x0y0,由x02+y02=42x0y0知当且仅当x0=y0=2时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(2,2).(2)设C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知2a2+2b2=1,并由x2a2+y2b2=1,y=x+3得b2x2+43x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此x1+x2=-43b2,x1x2=6-2b2b2,由y1=x1+3,y2=x2+3,得|AB|=2|x1-x2|=248-24b2+8b4b2.由点P到直线l的距离为32及SPAB=1232|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,从而所求C的方程为x26+y23=1.考点二椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5分)椭圆x29+y24=1的离心率是()A.133B.53C.23D.59答案B2.(2017课标全国,12,5分)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)答案A3.(2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案B4.(2016课标全国,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案A5.(2015课标,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.12答案B6.(2015浙江,15,4分)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.答案227.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MNAB.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,又kOM=510,从而b2a=510.进而a=5b,c=a2-b2=2b.故e=ca=255.(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为a2,-b2,可得=a6,5b6.又=(-a,b),从而有=-16a2+56b2=16(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以=0,故MNAB.8.(2014课标,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据c=a2-b2及题设知Mc,b2a,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12或ca=-2(舍去).故C的离心率为12.(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a,由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为()A.36B.13C.12D.33答案D10.(2013辽宁,11,5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,则C的离心率为()A.35B.57C.45D.67答案B11.(2013四川,9,5分)从椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且ABOP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是()A.24B.12C.22D.32答案C12.(2014江西,14,5分)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若ADF1B,则椭圆C的离心率等于.答案3313.(2013福建,15,4分)椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.答案3-114.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意得c=5,e=ca=53,a=3,b=a2-c2=2,椭圆C的标准方程为x29+y24=1.(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)y=kx+y0-kx0,由y=kx+y0-kx0,x29+y24=1消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,=18k(y0-kx0)2-4(4+9k2)9(y0-kx0)2-4=0,整理得(9-x02)k2+2x0y0k-y02+4=0,k1k2=4-y029-x02(x03),由已知得k1k2=-1,4-y029-x02=-1,x02+y02=13,即此时点P的轨迹方程为x02+y02=13.当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程x02+y02=13.综上所述,所求P点的轨迹方程为x02+y02=13.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:BDE与BDN的面积之比为45.解析(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m2,且n0.直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m).直线BN的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE与BDN的面积之比为45.2.(2016课标全国,21,12分)已知A是椭圆E:x24+y23=1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:3k0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此AMN的面积SAMN=212127127=14449.(4分)(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k0)代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,故|AM|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.由题设,直线AN的方程为y=-1k(x+2),故同理可得|AN|=12k1+k23k2+4.(7分)由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f (t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)内单调递增.又f(3)=153-260,因此f(t)在(0,+)内有唯一的零点,且零点k在(3,2)内,所以3kb0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P3,12在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.解析(1)由已知得,a=2b.又椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)过点P3,12,故34b2+14b2=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是x24+y2=1.(2)证明:设直线l的方程为y=12x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,方程的判别式为=4(2-m2),由0,即2-m20,解得-2mb0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为26.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.(1)求C2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.解析(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.又C1与C2的公共弦的长为26,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以94a2+6b2=1.联立,得a2=9,b2=8.故C2的方程为y29+x28=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由y=kx+1,x28+y29=1得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-16k9+8k2,x3x4=-649+8k2.将,代入,得16(k2+1)=162k2(9+8k2)2+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=169,解得k=64,即直线l的斜率为64.6.(2014陕西,20,13分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(0,3),离心率为12,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:y=-12x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足|AB|CD|=534,求直线l的方程.解析(1)由题设知b=3,ca=12,b2=a2-c2,解得a=2,b=3,c=1,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,圆心到直线l的距离d=2|m|5,由d1得|m|b0)的焦距为4,且过点P(2,3).(1)求椭圆C的方程;(2)设Q(x0,y0)(x0y00)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,22),连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.解析(1)因为焦距为4,所以a2-b2=4.又因为椭圆C过点P(2,3),所以2a2+3b2=1,故a2=8,b2=4,从而椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)由题意,得E点坐标为(x0,0),设D(xD,0),则=(x0,-22),=(xD,-22),再由ADAE知,=0,即x0xD+8=0.由于x0y00,故xD=-8x0.因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G8x0,0.故直线QG的斜率kQG=y0x0-8x0=x0y0x02-8.又因Q(x0,y0)在椭圆C上,所以x02+2y02=8.从而kQG=-x02y0.故直线QG的方程为y=-x02y0x-8x0.将代入椭圆C的方程,得(x02+2y02)x2-16x0x+64-16y02=0.再将代入,化简得x2-2x0x+x02=0.解得x=x0,所以y=y0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.8.(2013陕西,20,13分)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.解析(1)设M到直线l的距离为d,根据题意得,d=2|MN|.由此得|4-x|=2(x-1)2+y2,化简得x24+y23=1,所以动点M的轨迹方程为x24+y23=1.(2)解法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+3代入x24+y23=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,其中,=(24k)2-424(3+4k2)=96(2k2-3)0,由根与系数的关系得x1+x2=-24k3+4k2,x1x2=243+4k2.又因A是PB的中点,故x2=2x1,将代入,得x1=-8k3+4k2,x12=123+4k2,可得-8k3+4k22=123+4k2,且k232,解得k=-32或k=32,所以直线m的斜率为-32或32.解法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).A是PB的中点,x1=x22,y1=3+y22.又x124+y123=1,x224+y223=1,联立,解得x2=2,y2=0或x2=-2,y2=0,即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),所以直线m的斜率为-32或32.9.(2013重庆,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=22,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A两点,|AA|=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P,过P,P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求PPQ的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.解析(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则(-c)2a2+22b2=1.从而e2+4b2=1.由e=22得b2=41-e2=8,从而a2=b21-e2=16.故该椭圆的标准方程为x216+y28=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x02+81-x216=12(x-2x0)2-x02+8(x-4,4).设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-x02.由对称性知P(x1,-y1),故|PP|=|2y1|,所以S=12|2y1|x1-x0|=12281-x1216|x0|=2(4-x02)x02=2-(x02-2)2+4.当x0=2时,PPQ的面积S取到最大值22.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(2,0),半径|QP|=8-x02=6,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+2)2+y2=6,(x-2)2+y2=6.10.(2013山东,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为22.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C上满足AOB的面积为64的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设=t,求实数t的值.解析(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题意知a2=b2+c2,ca=22,2b=2.解得a=2,b=1.因此椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)(i)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意知-2m0或0m0,所以t=2或t=233.(ii)当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y=kx+h.将其代入椭圆的方程x22+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).由判别式0可得1+2k2h2,此时x1+x2=-4kh1+2k2,x1x2=2h2-21+2k2,y1+y2=k(x1+x2)+2h=2h1+2k2,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=221+k21+2k2-h21+2k2.因为点O到直线AB的距离d=|h|1+k2,所以SAOB=12|AB|d=12221+k21+2k2-h21+2k2|h|1+k2=21+2k2-h21+2k2|h|.又SAOB=64,所以21+2k2-h21+2k2|h|=64.令n=1+2k2,代入整理得3n2-16h2n+16h4=0,解得n=4h2或n=43h2,即1+2k2=4h2或1+2k2=43h2.又=t=12t(+)=12t(x1+x2 ,y1+y2)=-2kht1+2k2,ht1+2k2,因为P为椭圆C上一点,所以t212-2kh1+2k22+h1+2k22=1,即h21+2k2t2=1.将代入得t2=4或t2=43,又知t0,故t=2或t=233,经检验,适合题意.综合(i)(ii),得t=2或t=233.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2018宁夏银川一中月考,5)过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.x220+y24=1B.x225+y24=1C.y220+x24=1D.x24+y225=1答案C2.(2018广东惠州二调,10)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|PF1|的值为()A.514B.59C.49D.513答案D3.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为()A.22+y22=1B.x22+y2=1C.x24+y22=1D.y24+x22=1答案C4.(2017河南三市联考,5)“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A5.(2017甘肃兰州联考,6)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为()A.x236+y29=1B.x29+y236=1C.x24+y29=1D.x29+y24=1答案A6.(2016河南八市重点中学联考,14)在平面直角坐标系中,已知ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,则sinA+sinCsinB=.答案54考点二椭圆的几何性质7.(2018黑龙江哈六中12月模拟,9)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,若F关于直线3x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为()A.12B.3-12C.32D.3-1答案D8.(2018河南百校联盟12月联考,5)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)与直线x=b在第一象限交于点P,若直线OP的倾斜角为30,则椭圆C的离心率为()A.13B.33C.63D.23答案B9.(2017黑龙江哈六中模拟,13)椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为.答案14考点三直线与椭圆的位置关系10.(2018河南开封调研,10)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一条弦所在直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是()A.12B.22C.32D.55答案C11.(2016天津和平调研考试,13)过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为.答案5312.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点1,32,离心率为12.(1)求椭圆E的方程;(2)设点A、F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆于C,D两点,求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点).解析(1)由题设得:1a2+94b2=1,ca=12,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1.椭圆方程为x24+y23=1.(2)设直线CD的方程为x=ky+1,与椭圆方程x24+y23=1联立得(3k2+4)y2+6ky-9=0.设C(x1,y1),D(x2,y2),y1+y2=- 6k3k2+4,y1y2=-93k2+4,S四边形OCAD=SOCA+SODA=122|y1|+122|y2|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=12k2+13k2+4=12t3t2+1=123t+1t,其中t=k2+1,t1.t1,f(t)=3t+1t单调递增,3t+1t4,S四边形OCAD3(当且仅当k=0时取等号).故四边形OCAD的面积的最大值为3.B组20162018年模拟提升题组(满分:75分时间:60分钟)一、选择题(每小题5分,