五年级数学社团计划及资料.doc

五年级“数学乐园”社团活动计划一、指导思想通过社团活动，使学生进一步体验数学的运用价值，进一步激发学生学习数学的兴趣，认识数学的价值，培养学生良好的习惯，发展学生的个性，提高学生的综合素质，促进学生的全面发展，展示学生的数学才华。二、活动目的1通过社团活动，进一步激发学生学习数学的兴趣。2通过数学史的介绍，增强学生数学文化的积淀，培养学生数学的思维方式。3通过专题培训，拓展学生的数学知识、开拓学生的思路、发展学生的思维。4通过课内与课外相结合、课本与课外读物相结合的方式，使学生能更好地理解课本知识，提高解决实际的能力。5通过开展竞赛等活动，进一步增强学生的竞争力。三、活动原则1、主体性原则：学生是活动的主体，应充分开放活动空间，正确处理学生的自主探究与教师的有效指导间的关系。2、课内拓展与课外延伸相结合原则：社团活动，是课堂教学的拓展与延伸，它将跨跃时间界限，丰富学生的数学感知、拓宽学生的视野、发展学生的思维。3、主题性原则：社团活动的主题鲜明，符合学生的生活和学习实际。4、合作性原则：根据学生差异合理分组，分工合作，共同参与，共同成长。四、活动安排本学期的社团活动内容具体安排如下：活动一： 开团活动动员，数学故事爱国勤学的陈景润。活动二： 数学故事聪明的高斯，速算法介绍。活动三： 数学故事欧拉的故事，介绍几何图形中的相关知识。活动四： 数学故事阿基米德的故事，介绍几何图形中的相关知识。活动五： 口算比赛。活动六： 数学报读报辅导。活动七： 数学故事韩信分油，介绍等量变换。活动八： 课本思考题解题经验交流。活动九： 数学学习方法介绍。活动十： 制作数学手抄报。活动十一：如何撰写数学小论文。活动十二：数学思想方法介绍画图法。活动十三：数学思想方法介绍假设法。活动十四：数学思想方法介绍替换法。活动十五：数学思想方法介绍枚举法。活动十六：社团活动总结、表彰先进。附：活动资料：资料一：心系祖国、勤俭节约的数学家陈景润陈景润是国际知名的大数学家，深受人们的敬重。但他并没有产生骄傲自满情绪，而是把功劳都归于祖国和人民。为了维护祖国的利益，他不惜牺牲个人的名利。1977年的一天，陈景润收到一封国外来信，是国际数学家联合会主席写给他的，邀请他出席国际数学家大会。这次大会有3000人参加，参加的都是世界上著名的数学家。大会共指定了10位数学家作学术报告，陈景润就是其中之一。这对一位数学家而言，是极大的荣誉，对提高陈景润在国际上的知名度大有好处。陈景润没有擅作主张，而是立即向研究所党支部作了汇报，请求党的指示。党支部把这一情况又上报到科学院。科学院的党组织对这个问题比较慎重，因为当时中国在国际数学家联合会的席位，一直被台湾占据着。院领导回答道：“你是数学家，党组织尊重你个人的意见，你可以自己给他回信。”陈景润经过慎重考虑，最后决定放弃这次难得的机会。他在答复国际数学家联合会主席的信中写到：“第一，我们国家历来是重视跟世界各国发展学术交流与友好关系的，我个人非常感谢国际数学家联合会主席的邀请。第二，世界上只有一个中国，唯一能代表中国广大人民利益的是中华人民共和国，台湾是中华人民共和国不可分割的一部分。因为目前台湾占据着国际数学家联合会我国的席位，所以我不能出席。第三，如果中国只有一个代表的话，我是可以考虑参加这次会议的。”为了维护祖国母亲的尊严，陈景润牺牲了个人的利益。1979年，陈景润应美国普林斯顿高级研究所的邀请，去美国作短期的研究访问工作。普林斯顿研究所的条件非常好，陈景润为了充分利用这样好的条件，挤出一切可以节省的时间，拼命工作，连中午饭也不回住处去吃。有时候外出参加会议，旅馆里比较嘈杂，他便躲进卫生间里，继续进行研究工作。正因为他的刻苦努力，在美国短短的五个月里，除了开会、讲学之外，他完成了论文算术级数中的最小素数，一下子把最小素数从原来的80推进到16。这一研究成果，也是当时世界上最先进的。在美国这样物质比较发达的国度，陈景润依旧保持着在国内时的节俭作风。他每个月从研究所可获得2000美金的报酬，可以说是比较丰厚的了。每天中午，他从不去研究所的餐厅就餐，那里比较讲究，他完全可以享受一下的，但他都是吃自己带去的干粮和水果。他是如此的节俭，以至于在美国生活五个月，除去房租、水电花去1800美元外，伙食费等仅花了700美元。等他回时， 共节余了7500美元。这笔钱在当时不是个小数目，他完全可以像其他人一样，从国外买回些高档家电。但他把这笔钱全部上交给国家。他是怎么想的呢? 用他自己的话说：“我们的国家还不富裕，我不能只想着自己享乐。”陈景润就是这样一个非常谦虚、正直的人，尽管他已功成名就，然而他没有骄傲自满，他说：“在科学的道路上我只是翻过了一个小山包，真正的高峰还没有有攀上去，还要继续努力。”资料二：无畏的数学探索者高斯1796年的一天，德国哥廷根大学，一个19岁的青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的数学题。正常情况下，青年总是在两个小时内完成这项特殊作业。 像往常一样，前两道题目在两个小时内顺利地完成了。第三道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。青年没有在意，像做前两道题一样开始做起来。然而，做着做着，青年感到越来越吃力。 困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去解这道题。当窗口露出一丝曙光时，青年长舒了一口气，他终于做出了这道难题。 作业交给导师后，导师当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这真是你自己做出来的？你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案？阿基米德没有解出来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！你真是天才！我最近正在研究这道难题，昨天给你布置题目时，不小心把写有这个题目的小纸条夹在了给你的题目里。” 多年以后，这个青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我不可能在一个晚上解决它。” 这个青年就是数学王子高斯。 资料三：勤学善问的欧拉欧拉是数学史上著名的数学家，不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生。 事情是因为星星而引起的。 当时，小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没有回答过。其实，天上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天有有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到一在天幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？ 他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中，这可是个严重的问题。 在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考。小欧拉没有与教会、与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家。但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了。他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。 回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。在帮爸爸放羊的过程中，欧拉用所学的数学知识解决了他爸爸有时都无法解决的问题，他爸爸感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。资料四：阿基米德的故事阿基米德的父亲是一位天文学家和数学家，他从小受到良好的教育，特别喜爱数学。有一次，国王请他去测定金匠刚刚为其做好的王冠是纯金的还是掺有银子的混合物，并且告诫他不得毁坏王冠。起初，阿基米德茫然不知所措。有一天，他在洗澡的时候仍然在思考这样的问题。当他泡在一满盆洗澡水里时，水从洗澡盆里溢了出来，他猛然省悟：溢出水量的体积等于他身体浸入水中的那部分体积，那么，如果把王冠浸入水中 ，根据水面上升的情况算出王冠的体积与等重量金子的体积相等，就说明王冠是纯金的；假如掺有银子的话，王冠的体积就会大一些。他兴奋地从浴盆中跃出，全身赤条条地奔向皇宫，大喊着：我找到了！找到了！他为此而发明了浮力原理。除此之外，他还发现了著名的杠杆原理。伴随着这一发明，还产生了一句众所周知的名言：只要给我一个支点，我就能撬动地球。 在阿基米德的老年岁月里，他的祖国与罗马发生战争，当他住的城市遭劫掠时，阿基米德还专心地研究他在沙地上画的几何图形，罗马士兵冲进了他的房屋，阿基米德镇静地说：“别动我的沙盘。”凶残的罗马士兵刺倒了这位75岁的老人，伟大的科学家扑倒在鲜血染红了的几何图形上 阿基米德死后，人们整理出版了阿基米德遗著全集，以永远缅怀这位科学巨匠的伟大业绩。资料五：韩信分油韩信是中国古代一位有名的大元帅，辅助刘邦打败楚霸王项羽，奠定了汉朝的基业。民间流传着一些以韩信为主角的有关聪明人的故事，下面就是其中的一个。据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁。这两个人有一只容量10斤（1斤=500千克）的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油。要把这10斤油平分，每人5斤。但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去。应该怎样分呢？韩信骑在马上，了解情况以后，说：“葫芦归罐罐归篓，二人分油回家走。”说完了，打马就走。两个人按照韩信的办法倒来倒去，果然把油平均分成两半，每人5斤，高高兴兴，各自回家。究竟是怎样倒来倒去的呢？三种容器各自装油斤数的变化过程，可从下面的表中看出。韩信所说的“葫芦归罐”，是指把葫芦里的油往罐里倒；“罐归篓”是指把罐里的油往篓里倒。通常分油要把油从大容器往小容器里倒，现在却把小容器里的油往大容器里“归”。往油葫芦里倒油，只能得到3斤的油量；把葫芦里的油往罐里“归”，“归”到第三次，葫芦里就出现2斤的油量。再把满满一罐油“归”到篓里，腾出空来，把葫芦里的2斤油“归”到空罐里；最后再倒一葫芦3斤油，“归”到罐里，就完成分油任务了。资料六：有趣的悖论 会场上人声鼎沸，笑声轰鸣。主持者振臂高呼：“都不要讲话！”懊，他忘掉了自己也在讲。 新刷的黑板上醒目地写着四个大宇：“不准涂画。”咳，那这四个字又是什么呢？ 类似的事例，在日常生活中并不少见。细细思量一番，就会觉得其中有些自相矛盾。会场主持人不要大家讲话，自己却在大声讲。新黑板上的留言，显然是告诫人们不要在黑板上乱涂，但好心的留言人自己却违背了这一告诫，在黑板上留下了四个显赫大字。 又如，在某个古老国家的一个偏僻小村庄里，只有一位男性理发师，这位理发师只给本村自己不刮胡子的男子刮胡子；而该村还有一条不成文的规定，即每一位自己不刮胡子的男子，都必须由这位理发师来刮胡子。请问：理发师本人的胡子该由谁来刮？或者说，理发师能给自己刮胡子吗？ 假定理发师的胡子可以由自己刮，那么，因为他“只给自己不刮胡子的男子刮胡子”，所以，他便不能给自己刮胡子。如果假定理发师不能给自己刮胡子，那么，因为小村庄里“每一位自己不刮胡子的男子，都必须由理发师刮胡子”，所以，他就必须给自己刮胡子。这样，无论怎样的假设，都将出现矛盾。以上三例这样自相矛盾的奇谈怪论被称为“悖论”。一门学科如果出现悖论，表明该学科的基础还不够严谨，这时它就会给学术界以危机感并吹响“攻坚”的冲锋号。资料七：数学史上的一起“冤案”人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛冯塔纳（NiccoloFontana）。冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia），也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世。当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作大法中，但并未提到冯塔纳的名字。随着大法在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺公式”。卡尔丹诺剽窃他人的学术成果，并且据为已有，这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页。这个结果，对于付出艰辛劳动的冯塔纳当然是不公平的。但是，冯塔纳坚持不公开他的研究成果，也不能算是正确的做法，起码对于人类科学发展而言，是一种不负责任的态度。资料八：神算少年杨辉在南宋度宗年间，古城钱塘（今杭州）有一位少年，聪明好学，尤其喜爱数学。但由于当时数学书籍很少，这个少年只能零碎地收集一些民间流传着的算题，反复研究，从中增长知识。 一天，这个少年无意中听说100多里的郊外有位老秀才，不仅精通算学，而且还珍藏了许多九章算术、孙子算经等古代数学名著，非常高兴，急忙赶去。 老秀才问明来意后，望了望这位少年，不屑地说：小子不去读圣书，要学什么算学？！但少年仍苦苦哀求，不肯走。老秀才无奈，心想，我先出一道题让他回去做，他做不出来，也就不会再来烦我了。于是说：好吧，听着！直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几何？（用现在的话来说就是：长方形面积等于864平方步，已知它的宽比长少12步，问长和宽的和是多少步？）你回去慢慢算吧，什么时候算出来，什么时候再来.说完便往椅子上一靠，闭目养起神来，心里却暗暗发笑：小子一定犯难了，这道题老朽才刚刚理出点头绪，即使他懂得算学，那一年半载也是算不出来的。谁料，正当老秀才闭目思量时，少年说话了：老先生，学生算出来了，长阔共60步。什么？！老秀才一听，惊奇地从椅子上跳起来，一把夺过少年演算出来的草稿纸瞪大了眼睛看起来：啊，这小子是从哪里学来的？居然用这么简单的方法就算出来了。妙哉！老朽不如。老秀才转过脸来，对少年夸奖道：神算，神算，怠慢了，请问高姓大名？学生杨辉，字谦光。少年恭敬地回答。 后来的事，同学们都能想象出来了，在老秀才的指导下，杨辉通读了许多古典数学文献，数学知识得到全面、系统地发展。经过不懈的努力，杨辉终于成了我国古代杰出的数学家，并享有数学宋元第三杰之誉。资料九：五年级上学期口算竞赛试题 姓名 成绩_0.70.3= 0.650.25= 2.251.75= 1.637= 3.61.8=20.51.5= 3.62.8= 3.81.4= 16.37= 130.25=10.04= 0.391.5= 40.05= 7.11.7= 9.22=104.3= 0.40.5= 0.640.52= 3.86.2= 1.23.6=100.1= 0.455.5= 0.620.38= 480140= 10.35=6.70.03= 8.64= 0.40.19= 4.50.55= 5018= 7.290= 24.88= 0.2320= 5.60.8= 87.5=9.810= 0.248= 0.240.08= 40.5= 0.050.4=2.587.42= 0.641.5= 0.12516= 2.057.95= 3.2103=4599= 0.250.16= 0.250.34= 92.37= 5.60.7= 0.362.37= 3.54= 92.04= 4.4101= 50.05=0.010.1= 0.50.55= 0.362.37= 82.52= 5.32.8=0.30.3= 106.47= 1794998= 0.641.5= 45090= 25080= 7515= 700380= 600320=968= 3636= 99101= 36090= 156=185= 445= 245= 912= 553=24080= 57030= 1353= 1863= 36024=20045= 9099= 1523= 4799= 45201=252158=（ ）万（ ）万 196158=（ ）万（ ）万144310=（ ）万（ ）万 892158=（ ）万（ ）万107448=（ ）万（ ）万 995158=（ ）万（ ）万17.68.22.8= 9.55（4.552.8）= 7.80.254= 17.352.83.27.35= 8.080.87.2=4.30.980.7= 3.61.986.02= 7.54.96.5= 8.45（4.452.9）= 2.711.67.298.4= 8.274.90.1= 10.44（4.455.44）= 15.26.215.25.2=5.26.285.23.72= 1.71.799= 125 6.20.8= 5.51.45.52.6= 1.7998.399= 7.3432.743= 1.8（205）= 17.68.22.8=990.340.34= 0.250.125408= （2.50.25）0.4= 1.62.81.62.2= 0.5280.522= 125 6.20.80= 4.321.56 0.44= 45585955415=18.630.430.57= 3.1993.19= 42.742.799=资料十： 替换法例1 一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？解：这是古代的民间趣题，叫“鸡兔同笼”问题见图151（1）、（2）、（3）先画10个头：每个头下画上两条腿：数一数，共有20条腿，比题中给出的腿数少26-20=6条腿给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔边添腿边数，凑够26条腿每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添6条腿就变出来3只兔这样就得出答案，笼中有3只兔和7只鸡例2 一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个问自行车几辆，三轮车几辆？解：发挥想像力和创造力，你可以画一个简图代表车身，见图152（1）、（2）、（3）先画10个车身：在每个车身下配上两个轮子，它就成了自行车：数一数共20个车轮，比题中给出的轮子数少26-20=6个轮子，在自行车下面添轮子，每添一个轮子，这个自行车就成了三轮车边添边凑数，凑出26个轮子出来最后数一数，共有6辆三轮车，4辆自行车注意，用这种画图凑数法解题，很直观，也比较快，为了使解题速度更快，可以把三个步骤合起来，就能得出答案例3 一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿问蛐蛐几只，蜘蛛几只？解：此题要想个更简单的办法，见图153（1）、（2）先画10个头，在每个头下写上数字“ 6”，代表6只腿，即先假设10只都是蛐蛐，则如：数一数，算一算，610=60，即共有60条腿，比题中给出的腿数少68-60=8条腿，所以就要在下面再添腿，每在一个头下添2条腿（写个“ 2”），它就变成了一只蜘蛛，共添上8条腿，就使总腿数凑够68条腿了最后数一数，共有4只蜘蛛，6只蛐蛐解这道题时，我们用数字代表腿数，使我们省去了画“腿”的麻烦其实，也可以完全省去画图，我们只要把解题想法和算式摘出来就行了！第一步，先把10只全部看成是蛐蛐，那么一共就有：610=60条腿第二步，算一算少了多少条腿？少了68-60=8条腿第三步，把一个蛐蛐给它添上2条腿，使它变成了蜘蛛，可以变成几只蜘蛛呢？82=4只（蜘蛛），第四步，再算出蛐蛐的只数出来：10-4=6只（蛐蛐）这样一来，我们就不必借助于画图的直观形象，也可以解这类题目了如果能这样，我们的思维能力就又提高一步了！特别重要的是，我们这样就可以不用“凑数”的尝试方法了例4 笼中有兔又有鸡，数数腿36，数数脑袋11，问几只兔子几只鸡？解：方法 1：先用画图凑数法解，见图 154（1）、（2）、（3）先画11个头：再在头下填腿：数一数，共有211=22条腿还少36-22=14条腿，每添2条腿，就使一只鸡变成兔数一数，共变出了7只兔：142=7最后数一数，笼中共有7只兔，4只鸡方法2：把11只全部看成鸡，共有211=22条腿比题中给出的腿数少了36-22=14条腿给一只鸡添2条腿使它变成一只兔，共变成：142=7只（兔）再算出鸡数为：11-7=4只（鸡）例5 今有五分的和一角的两种汽车票，共10张，总钱数是七角五分问每种各几张？解：方法1：分步列式法：若10张全是5分的，钱数应为：510=50分，即5角比题中给的钱数少：75-50=25分每给一张5分车票加5分，它就变成了1张1角车票了，共变出：255=5张（1角车票）5分车票有10-5=5张（5分车票）方法2：用画图凑数法见图155（1）、（2）先都画成5分的：算一算共510=50分（即5角）比题中给的钱数少75分-50=25分给有些5分车票加钱，使它变成1角的，凑出总钱数与题目相符合最后数一数，可知1角的车票5张，5分的车票5张资料十一：假设法在鸡兔同笼问题中，我们已经学习了如何运用假设法来解题，下面我们进一步探讨用假设法解答的其他问题。例1：水果店卖出83千克苹果和65千克梨，一共卖得582.6元，每千克苹果的售价比每千克梨贵0.6元。每千克苹果和每千克梨的售价各是多少元？解：假设每千克苹果的售价降低0.6元，这样卖得的钱就减少0.683=49.8（元），这时苹果和梨售价相同，即卖出的苹果和梨一共8365=148（千克），共售得582.649.8=532.8（元），每千克的售价是532.8148=3.6（元），这是每千克梨的售价。每千克苹果的售价是3.60.6=4.2（元）。答：每千克苹果的售价是4.2元，每千克梨的售价是3.6元。例2：第一车间和第二车间做同一种零件，第一车间每人做60个，第二车间每人做70个，一共做了8440个这种零件。已知第一车间比第二车间多28人，两个车间一共有多少人？解：假设第一车间减少28人，这样两个车间的人数同样多，第一车间减少28人，做的零件就减少2860=1680（个），两车间一共做的零件就是84401680=6760（个）。第一车间和第二车间各1人一共可以做零件的个数是6070=130（个）。那么，第一车间和第二车间各有6760130=52（人），加上假设第一车间减少的28人，两个车间一共有52228=132（人）。答：两个车间一共有132人。例3：甲村与乙村间要开挖一条长580米的水渠，甲村比乙村每天可以多挖2米，于是乙村先开工5天，然后甲村再动工与乙村一起挖，从开始到完成共用了35天，那么乙村每天挖多少米？解：在35天中，甲村共开工30天，假设甲村每天少挖2米，这样就少挖2米，这样就少挖230=60（米），挖的米数为58060=520（米），而甲村和乙村每天挖的米数相同，甲村和乙村开挖的天数相当于乙村开挖3530=65（天），乙村每天挖的米数是52065=8（米）。答：乙村每天挖8米。例4：小李和小张做同一种零件，小李每小时做的比小张少3个，小李做了9小时，小张做了7小时，小李做零件的总数比小张多3个。小李做了多少个零件？解：假设小李只做了7小时，一共比小张少做零件37=21（个），实际小李做了9小时，多做了97=2（小时），这2小时不仅补足比小张少的21个，还比小张多了3个，小李每小时做零件（213）2=12（个），一共做零件129=108（个）。答：小李做了108个零件。例5：在操场活动的男、女生一共有48人，后来，操场上的男生人数增加一倍半，女生增加了15人，这时在操场上活动的男、女生人数同样多，这时在操场活动的男、女生有多少人？解：一倍半就是1.5倍，男生人数增加1.5倍，是原来男生人数11.5=2.5倍，女生增加15人后与男生人数同样多，就是女生增加15人后，是原来男生人数的2.5倍，假设只是女生增加15人，而男生没有增加，这时操场上就共有4815=63（人），这个人数是原有男生人数的12.5=3.5倍，原有男生633.5=18（人），这时在操场活动的男、女生一共有182.52=90（人）。答：这时在操场活动的男、女生一共有90人。*例6：如右图，从A到B，步行走粗线道ADB需要35分钟，坐车行细线道ACDEB需要22.5分钟，DEB车行驶的距离是D至B步行距离的3倍，ACD车行驶的距离是A至D步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至D步行，再从DEB坐车共需要多少分钟？解：假设ACD车行驶的距离也是A至D步行距离的3倍，那么ACDEB车行驶的距离是ADB的3倍，这样，车行驶用的时间是3536=17.5（分），比实际需要的22.5分钟少了：22.517.5=5（分），这是因为ACD车行驶的距离是A至D步行距离的5倍。所以，A至D步行的时间为5（53）6=15（分）；DEB坐车需要的时间为（3515）36=10（分）；先从A至D步行，再从DEB坐车共需要的时间是1510=25（分）。答：共需要25分钟。应用练习1南方果店运进苹果和雪梨一共1626千克，每箱苹果有18千克，每箱雪梨有24千克，苹果比雪梨多11箱，运进的苹果和雪梨各是多少箱？2每支水笔的价钱比每支圆珠笔贵6.9元，陈老师买了6支水笔和30支圆珠笔，买水笔付的钱比圆珠笔少1.8元，每支水笔和每支圆珠笔的价钱各是多少元？3甲数与乙数的和是73，甲数的4倍与乙数的6倍的和是388，甲数是多少？乙数是多少？4运输队要运2000件玻璃器皿，按合同规定，完好无损运到的每件付运输费1.2元，如有损坏，每件没有运输费外，还要赔偿6.7元，最后运输队得到2005元，运输中损坏了多少件玻璃器皿？5蓄水池能贮水28吨，它装有甲、乙两条注水管，甲管每小时比乙管多注水0.9吨，当水池没有水时，两管同时打开5小时后关上乙管，再过3小时注满水池。甲管每小时注水多少吨？6甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发记8分，脱靶一发扣3分，两人各打了10发，共得116分，其中甲比乙多22分，甲、乙各中了多少发？7某次考试共有20题。计分标准是：做对第K（K是题号）题得K分，做错第K题倒扣K分，其中K=1、2、20，小明做了所有的题，共得100分，他最多做错了多少题？8某次考试有52人参加，共考5道题，每题做错的人数统计如下：课后练习1一次数学竞赛共20题，规定：做对1题给5分，做错1题不给分外还倒扣3分，不做的题不给分。小华在这次竞赛中全部题都做了，总分是84分。他做错了几道题？2报刊门市部的一种画报卖出了32本，一种期刊卖出了49本，一共售得365.4元，每本画报的价钱比每本期刊高1.8元，每本画报多少元？3有每张6角和每张8角的邮票共68元，其中6角的邮票比8角的邮票多20张，这两种邮票各有多少张？4小陈和小方要做同样多的一种零件，两人同时开始做，3小时后，小陈做的比小方少12个，小方做8小时完成，比小陈早2小时完成任务，小陈每小时做多少个？5甲数比乙数多8，甲数的5倍与乙数的7倍一共是952，甲数是多少？乙数是多少？资料十二：用替换法解题试一试：如果 +=12 =+ ，那么= ( ) = ( )在上题中，算式+=12的未知量有2个，无法直接计算，因为=+, 我们可以把替换成与它相等的+,所以：+=+=12 =123=4 =+=4+4=8象上面这种题目，我们在算式里把其中一个未知量替换成与它相等的另一个未知量，使算式里只有一个未知量，这种方法我们就叫做替换法。【例一】李老师买了2枝钢笔和7枝圆珠笔共24元，已知2枝钢笔的价钱等于5枝钢笔的价钱，钢笔和圆珠的单价各是多少元？由题可知： 2枝钢笔 + 7枝圆珠笔 = 24元2枝钢笔的价钱 = 5枝圆珠笔的价钱 我们可以把2枝钢笔替换成5枝圆珠笔。那么就变成5枝圆珠笔和7枝圆珠笔共24元。 由此可求每枝圆珠笔的单价： 24（5+7）=2412=2（元）再求钢笔的单价：方法一： 由2枝钢笔的价钱 = 5枝圆珠笔的价钱 2枝钢笔的价钱 = 5 2 每枝钢笔的价钱: 522=5(元) 方法二： （24-72）2=5（元）试一试1. 小红用70元买了2盒巧克力和4包饼干，2盒巧克力的售价刚好是3包饼干的售价。巧克力和饼干的单价各是多少？ 2. 有大米20袋，面粉50袋，共重900千克，已知10袋大米的重量和20袋面粉的重量相等，那么一袋大米重多少千克？资料十三：倒推法的妙用 在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？分析 这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：（8）107456.如何求出中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56414.14是除以7后得到的，除以7之前是14798.98是加10后得到的，加10以前是98-1088.88是减8以后得到的，减8以前是88896.这样倒推使问题得解.解：（8）107456 （8）107564答：于昆这次数学考试成绩是96分.通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：从结果出发，逐步向前一步一步推理.在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.列式时注意运算顺序，正确使用括号.例2 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？分析 马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少716，而把十位上的7看成1，使差增加701060.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.解：111（7010）（71）57答：正确的答案是57.例3 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？分析 倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48316（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16610（只）.同理，第二棵树上原有鸟166814（只）.第一棵树上原落鸟16824（只），使问题得解.解：现在三棵树上各有鸟多少只？48316（只）第一棵树上原有鸟只数. 16824（只）第二棵树上原有鸟只数.166814（只）第三棵树上原有鸟只数.16610（只）答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.例4 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？分析 依题意，画图进行分析. 解：列综合算式：（11）2121222（个）答：篮子里原有梨22个.例5 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？分析 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油1521416（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.解：甲乙两桶油共剩多少千克？152-1416（千克）乙桶油剩多少千克？16（31）4（千克）甲桶油剩多少千克？4312（千克）用倒推法画图如下：从甲桶卖出油多少千克？ 15-114（千克）从乙桶卖出油多少千克？ 15510（千克）答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.例6 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？分析 解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的