2019版高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征课件 新人教B版必修2.ppt

1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入情境导学,知识探究,1.多面体的有关概念(1)多面体是由所围成的几何体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的,叫做多面体的棱,棱和棱的公共点叫做多面体的,连接叫做多面体的对角线.,若干个平面多边形,面,相邻的两个面的公共边,顶点,不在同一个面上的两个顶点的线段,(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则这样的多面体叫做.多面体至少有个面.多面体按照分别叫做四面体、五面体、六面体.(3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),叫做这个几何体的.2.棱柱棱柱的主要结构特征:有两个面;其余每相邻两个面的交线都.棱柱的叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两侧面的叫做棱柱的侧棱,叫做棱柱的高.棱柱按底面多边形边数分为等,侧棱与底面的棱柱叫做斜棱柱,侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,底面是的直棱柱叫做正棱柱;底面是的棱柱叫做平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体是长方体,的长方体是正方体.,凸多面体,4,围成它的面的个数,截面,互相平行,互相平行,两个互相平行的面,公共边,两底面之间的距离,三棱柱、四棱柱,不垂直,正多边形,平行四边形,棱长都相等,3.棱锥(1)棱锥的主要结构特征:有一个面是;其余各面都是有的三角形;棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面;叫做棱锥的顶点;相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;叫做棱锥的底面;叫做棱锥的高.(2)棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥等.如果棱锥的底面是,且它的顶点在过底面中心且与底面的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是;.叫做棱锥的斜高.,多边形,一个公共顶点,各侧面的公共顶点,多边形,顶点到底面的距离,正多边形,垂直,全等的等腰三角形,等腰三,角形底边上的高,4.棱台(1)棱锥被的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.分别叫做棱台的下底面、上底面;其他各面叫做棱台的侧面;叫做棱台的侧棱;两底面间的距离叫做棱台的高.,平行于底面,原棱锥,的底面与截面,相邻两侧面的公共边,(2)由截得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是,这些等腰梯形的高叫做棱台的.,正棱锥,全等的等腰梯形,斜高,【拓展延伸】1.棱柱的结构特征棱柱有两个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其余各面每相邻两面的公共边都互相平行.这两个特征保证了棱柱的底面全等,侧棱互相平行,二者缺一不可.若说有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱,则是错误的说法.如图,此几何体就不是棱柱.,2.棱锥的结构特征棱锥是多面体中较重要的一种,它有两个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余的各面是有一个公共顶点的三角形.二者缺一不可.因此要注意“有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥,如图,此多面体有一面是四边形,其余各面都是三角形,但它不是棱锥.一个棱锥至少有四个面,所以三棱锥也叫四面体.正棱锥是一种特殊棱锥,判断一棱锥是正棱锥必须满足下面两个条件:一是底面是正多边形,二是底面水平放置时,它的顶点与底面正多边形的中心都在铅垂线上.这也是掌握正棱锥定义的两个要点.,3.棱台棱台是用平行于棱锥底面的平面截得的,因此判断一个几何体是否为棱台,关键是看侧棱延长后能否交于一点.另外,棱台的上下底面是相似的多边形,因此就产生了一系列的比例问题,是考查的重点内容.,诠释:正棱锥具有如下性质:各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等.棱锥的高、斜高和斜足与底面中心的连线组成一个直角三角形;棱锥的高,侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形.,自我检测,1.下列命题中正确的是()(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱(C)一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱(D)棱柱的侧棱长有的都相等,有的不都相等,C,解析:根据棱柱的概念性质可知.,2.下列说法中正确的是()(A)由五个面围成的多面体只能是四棱锥(B)棱锥的高线可能在几何体之外(C)仅有一组对面平行的六面体是棱台(D)有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥,B,解析:对A,五面体也可能是三棱柱;对C,仅有一组对面平行的六面体也可能是四棱柱,对D,棱锥的定义中其余各面都有一个公共顶点;故B正确,选B.,类型一,多面体的概念,课堂探究素养提升,【例1】(1)命题“一个几何体有两个面平行,其余各面为四边形,则此几何体为棱柱”是否正确?(2)命题“一个几何体有两个面平行,其余各面为梯形,则此几何体为棱台”是否正确?,解:(1)不正确,其余各面为四边形,不能反映出夹在两平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行.(2)不正确,棱台是由平行于棱锥底面的平面所截,即如果是棱台,则各侧棱延长必交于一点,此命题不能反映出侧棱延长后交于一点.如图满足命题条件,但不是棱台.,方法技巧棱柱是多面体中最简单的一种,对棱柱的概念应正确理解,准确把握,它有两个本质特征:有两个面(底面)互相平行;其余各面(侧面)中每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.因此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形.但是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱.,变式训练1-1:下面四个几何体中,是棱台的为(),解析:棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得而成,故棱台具有(1)侧棱延长后交于一点.(2)有两个互相平行的底面.(3)侧面均为梯形.由以上分析可知选C.,类型二,棱柱、棱锥、棱台的概念及其结构特征,【例2】一个棱柱是正四棱柱的条件是()(A)底面是正方形,有两个侧面是矩形(B)底面是正方形,有两个侧面垂直于底面(C)底面是菱形,且有一个顶点处的两条棱互相垂直(D)底面是正方形,每个侧面都是全等的矩形,解析:对于A,满足了底面是正方形,但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧面也是矩形.对于B,垂直于底面的侧面中不是所有直线都垂直于底面,因此,不能保证侧棱垂直于底面.对于C,底面是菱形但不一定是正方形,同时侧棱也不一定和底面垂直.对于D,侧面全等且为矩形,保证了侧棱与底面垂直,底面是正方形,保证了底面是正多边形,因而符合正棱柱的定义和基本特征.故选D.,方法技巧判断正棱柱,要严格按照定义及它们的基本特征去分析,正棱柱的基本特征是:(1)底面是正多边形;(2)侧棱与底面垂直.,变式训练2-1:下列结论中正三棱锥的顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等;有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;底面是正三角形,其余各个面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥.正确结论的序号是.,解析:正三棱锥的顶点在底面的射影是底面的中心,也是三角形的外心,是各边中垂线的交点,满足到各顶点的距离相等,故正确.如图1在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,面AA1D1D,面BB1C1C为矩形,但不满足侧棱与底面垂直,故错误.,根据棱台的定义可知,棱台各侧棱的延长线交于一点,而不能保证各侧棱的延长线交于一点,故错误.如图2的三棱锥P-ABC中,ABC为正三角形,PA=PB=AB=BC=ACPC,此三棱锥满足中的条件,但显然不是正三棱锥,故错误.,答案:,类型三,棱柱、棱锥、棱台中的有关计算,【例3】如图,正四棱台AC的高是17cm,两底面的边长分别是4cm和16cm,求这个棱台的侧棱长和斜高.,方法技巧解决此类与正棱台有关的基本量(如侧棱、斜高、高等)计算,常有如下两种策略:(1)充分利用正棱台中的3个直角梯形化成平面图形处理,即:斜高、上下底的边心距以及上下底中心的连线组成的直角梯形.侧棱、两底面相应的外接圆半径和两底面中心连线组成的直角梯形.斜高、侧棱和上下两底面相应边的一半组成的直角梯形.(2)棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截而得到的,所以可以还台于锥来解决有关棱台的问题,即“补形”的思想.问题可转化为棱锥中的直角三角形处理.,变式训练3-1:已知一个正三棱锥的高为h,侧棱长为l,求这个正三棱锥的底面边长和斜高.,类型四,多面体的截面图与展开图,【例4】如图所示,正三棱锥S-ABC的侧棱长为1,ASB=30,M,N为棱SB和SC上的点,求AMN的周长的最小值.,思路点拨:将侧面展开化归为平面几何问题.将正三棱锥沿侧棱SA剪开,然后将其侧面展开在一个平面上,如图所示.连接AA,设AA交SB于M,交SC于N.显然AMN的周长l=AM+MN+NAAA,也就是说当AM、MN、NA(