福建省2019届高三数学上学期第一次月考试题理.pdf

第页1 福建省莆田市第二十四中学福建省莆田市第二十四中学 20192019 届高三上学期第一次月考届高三上学期第一次月考 理科数学理科数学试题试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合0, 0| 2 aaxxxA，3 , 2 , 1 , 0B，若BA有 3 个真子集，则a的取值范围是 A2 , 1 (B)2 , 1 C2 , 0(D2 , 1 () 1 , 0( 2下列函数中，在区间（0，）上为增函数的是 Ay=B 2 ) 1( xyC x y 2D) 1(log 5 . 0 xy 3如图，,E F G H是平面四边形ABCD各边中点，若在平面四边形ABCD中任取一点，则该点取自阴 影部分的概率是 A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 5 8 4如图，已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，则以下四个命题中错误 的是 A直线 11 AC与 1 AD为异面直线 B 11 AC平面 1 ACD C 1 BDAC D三棱锥 1 DADC的体积为 8 3 5在边长为 2 的等边三角形ABC中，若 1 3 AEAC，则BE BC A2B 8 3 C 10 3 D4 6已知函数 ( )cos(2) 3 f xx 命题:p( )f x的图象关于点 (,0) 12 对称；命题:q( )f x在区间 ,0 6 上为减函数，则 Apq为真命题B()pq为假命题 Cpq为真命题D()pq为假命题 7已知为第二象限角， 3 sincos 3 ，则cos2 A 5 3 B 5 9 C 5 3 D 5 9 8函数2)(,log)( 2 2 xxgxxf，则)()(xgxf的图象只可能是 第页2 ABCD 9已知( 3,0)A ，(0, 4)B，点C在圆 22 ()1xmy上运动，若ABC的面积的最小值为 5 2 ，则实数m 的值为 A 1 2 或 11 2 B 11 2 或 1 2 C 1 2 或 11 2 D 11 2 或 1 2 10在两直角边分别为,a b，斜边为c的直角三角形中，若1c ，abmab，则实数m的取值范围是 A( 2 , 2 2B2 2 ,2 3C2 2 ,)D2 3 ,) 11已知某几何体的三视图如图所示，其正视图是腰长为2的等腰直角三角形， 则该几何体外接球的表面积为 A 188 23 B8 C 52 5 D 96 23 12已知函数 20183 ( )e x f xmxm(0)m ，当 12 1xx时，对于任意的实数，都有不等式 22 12 ()(sin)()(cos)f xff xf成立，则实数 1 x的取值范围是 A1,B1,2C1,2D(1,) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13设 ) 4 tan(, 4 1 ) 4 tan(, 3 2 )tan(则 14已知函数 ) 10( ,1 )01( , 1 )( 2 xx xx xf，则 1 1 )(dxxf 15设 9210 01210 1 (2)(41) b xxaa xa xa x xx ，则 1012 0 210 222 aaa a 16已知双曲线 22 22 :10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，P是右支上的一点，Q是 2 PF的 延长线上一点，且 12 QFQF，若 1 3 sin 5 PFQ，则的离心率的取值范围是_ 三三、解答题解答题：共共 7070 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1717 题第题第 2121 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答考题，每个试题考生都必须作答. . 第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17 （12 分） 已知正项数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，且 2 (1)32 () nnn tSaatR 第页3 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足 1 1b ， 11nnn bba ，求数列 1 27 n bn 的前n项和 n T 18 （12 分） 在四棱锥PABCD中，,2ABCD CDAB （1）设AC与BD相交于点M， (0)ANmAPm， 且MN平面PCD，求实数m的值； （2）若,60 ,2,ABADDPBADPBAD且PDAD, 求二面角BPCD的正弦值 19 （12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知( 2 2 ,0),(2 2 ,0)MN， 若直线mMN于点D， 点C是直线m上 的一动点，H是线段CD的中点，且8NH MC，点H的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； （2）过点( 4,0)A 作直线l交E于点P，交y轴于点Q，过O作直线ll ， l 交E于点R试判断 2 | | | AQAP OR 是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由 第页4 20 （12 分） 近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展某汽车交易市场对 2017 年成交的二手 车的交易前的使用时间（以下简称“使用时间” ）进行统计，得到如图 1 所示的频率分布直方图在图 1 对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率 图 1图 2 （1）若在该交易市场随机选取 3 辆 2017 年成交的二手车，求恰有 2 辆使用年限在(8,16的概率； （2）根据该汽车交易市场往年的数据，得到图 2 所示的散点图，其中x(单位：年)表示二手车的使用 时间，y(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格 由散点图判断，可采用ea bxy 作为该交易市场二手车平均交易价格y关于其使用年限x的回归方 程，相关数据如下表(表中ln ii Yy， 10 1 1 10 i i YY )： x y Y 10 1 ii i x y 10 1 ii i xY 10 2 1 i i x 5.58.71.9301.479.75385 试选用表中数据，求出y关于x的回归方程； 该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择 甲：对每辆二手车统一收取成交价格的5%的佣金； 乙：对使用 8 年以内(含 8 年)的二手车收取成交价格的4%的佣金，对使用时间 8 年以上(不含 8 年) 的二手车收取成交价格的10%的佣金 假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表 1，并用各时间组的 区间中点值代表该组的各个值判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金 附注： 对于一组数据 1122 , nn u vu vu v，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别 为 1 2 2 1 , n ii i n i i u vnuv vu unu ； 参考数据： 2.951.750.550.651.85 e19.1,e5.75,e1.73,e0.52,e0.16 第页5 21 （12 分） 已知函数 2 (4)e () x f xxmx m R. （1）当2x 时， 0f x 恒成立，求实数m的取值范围； （2）证明：当0,1a时，函数 2 2 e (2) 2 x axa g xx x 有最小值，设 g x最小值为 h a，求函 数 h a的值域. （二（二）选考题选考题：本题满分本题满分 1010 分分请考生在请考生在（2222） 、 （2323）两题中任选一题作答两题中任选一题作答如果多做如果多做，则则 按所做第一题计分按所做第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 011cos12 2 . （1）求圆C的直角坐标方程； （2）设)0 , 1 (P，直线l的参数方程是 sin cos1 ty tx （t为参数） ，已知l与圆C交于BA,两点，且 | 4 3 |PBPA ，求l的普通方程. 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数|2| 1|)(xmxxf. （1）2m时，求不等式5)(xf的解集； （2）若函数)(xf的图象恒在直线xy 的图象的上方（无公共点） ，求实数m的取值范围. 第页6 理科数学参考答案理科数学参考答案 一选择题： 题号123456789101112 答案B BA AB BD DB BC CC CC CD DC CA AD D 二填空题： 1314 5 14 4 2 15516(1,2) 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解： （1）因为 1 1a ，且 2 (1)32 nnn tSaa， 所以 2 111 (1)32tSaa，所以5t .2 2 分分 所以 2 632 nnn Saa， 当2n 时，有 2 111 632 nnn Saa ， 、两式作差得 22 11 633 nnnnn aaaaa ， .3 3 分分 所以 11 ()(3)0 nnnn aaaa ， 因为0 n a ，所以 1 3 nn aa ，又因为 1 1a ，所以32 n an.6 6 分分 （2）因为 11nnn bba ， 1 1b ，所以 1nnn bba ，(2,)nn N， 所以当2n 时， 112211 ()()() nnnnn bbbbbbbb ， 121nn aaab 2 3 2 nn .8 8 分分 又 1 1b 也适合上式，所以 2 3 () 2 n nn bn N.9 9 分分 所以 1 27 n bn 2 111 373(2)nnnn n 111 () 62nn ，.1010 分分 所以 n T 111111 (1) 63242nn 1311 () 6212nn ， 2 35 12(1)(2) nn nn .1212 分分 18解： （1）因为/ /ABCD,所以 11 , 23 AMABAM MCCDAC 即.2 2 分分 因为/MNPCD平面，MN 平面PAC，平面PAC平面PCDPC， 所以/MN PC. 4 4 分分 第页7 所以 1 3 ANAM APAC ，即 1 3 m=.5 5 分分 （2）因为,60ABADBAD,可知ABD为等边三角形， 所以BDADPD，又2BPAD， 故 222 BPPDDB，所有PDDB 由已知,PDAD ADBDD，所以PD 平面ABCD， 如图，以D为坐标原点，DA DP,的方向为, x y轴的正方向建 立空间直角坐标系， 设1AB ， 则1,2ABADDPCD， 所以)3, 0 , 1(),0 , 1 , 0(), 2 3 , 0 , 2 1 (CPB，则 13 ( , 1,),( 1, 1, 3) 22 PBPC ， 设平面PBC的一个法向量为 1111 ( ,)x y zn，则有 1 1 0, 0, PB PC n n 即 111 111 230, 30. xyz xyz 设 1 1x ，则 11 2,3yz，所以 1 (1,2, 3)n，8 8 分分 设平面PCD的一个法向量为 2222 (,)xyzn，由已知可得 2 2 0, 0, DC DP n n 即 22 2 30, 0. xz y 令 2 1z ，则 2 3x ，所以 2 ( 3,0,1)n1010 分分 所以 12 12 12 13023 16 cos, 42 22 nn n n nn ，1111 分分 设二面角BPCD的平面角为，则 4 10 ) 4 6 (1sin 2 1212 分分 19解： （1）设( , )H x y，由题意得( ,2 )C xy (0)y ， 所以(2 2, ) ,(2 2,2 )NHxyMCxy，2 分 所以 22 828NH MCxy，化简得 22 1 168 xy ， 所以所求点H的轨迹E的方程为 22 1 168 xy (0)y 5 分 （2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为(4)yk x(0)k ， 令0 x ，得4yk，即(0,4 )Qk 第页8 由 22 (4), 1, 168 yk x xy 解得 2 22 488 , 1212 PP kk xy kk ，即 2 22 488 (,) 1212 kk P kk ，8 分 因为ll ，所以 l 的方程为ykx， 由 22 , 1, 168 ykx xy 解得 2 22 22 1616 , 1212 RR k xy kk ，10 分 所以 2 |4 1AQk， 2 2 8 1 | 12 k AP k ， 2 2 2 16(1) | 12 k OR k ， 所以 2 | | | AQAP OR 212 分 20解： （1）由频率分布直方图知，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在(8,12 的频率为0.07 40.28 ，使用时间在12,16的频率为0.03 40.12 所以在该汽车交易市场 2017 年成交的二手车随机选取 1 辆，其使用时间在8,16的概 率为0.280.120.4，.2 2 分分 所以所求的概率为 22 30.4 1 0.40.288PC.3 3 分分 （2）由ea bxy 得ln yabx，则Y关于x的线性回归方程为Yabx.4 4 分分 由于 1010 11 10102 2 22 11 10 79.75 10 5.5 1.9 0.3 385 10 5.5 10 iiii ii ii ii xxYYxYx Y b xxxx 1.90.35.53.55aYx 则Y关于x的线性回归方程为3.550.3Yx，6 6 分分 所以y关于x的回归方程为 3.55 0.3 e x y 7 7 分分 根据频率分布直方图和中的回归方程，对成交的二手汽车可预测： 使用时间在0 4，的频率为0.05 40.2 ， 对应的成交价格的预测值为 3.55 0.3 22.95 ee19.1 ； 使用时间在4 8 ，的频率为0.09 40.36 ， 对应的成交价格预测值为 3.55 0.3 61.75 ee5.75 ； 使用时间在8 12，的频率为0.07 40.28 ， 对应的成交价格的预测值为 3.55 0.3 100.55 ee1.73 ； 第页9 使用时间在12 16，的频率为0.03 40.12 ， 对应的成交价格的预测值为 3.55 0.3 140.65 ee0.52 ； 使用时间在16 20，的频率为0.01 40.04 ， 对应的成交价格的预测值为 3.55 0.3 181.85 ee0.16 9 9 分分 若采用甲方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为 0.2 19.10.36 5.750.28 1.730.12 0.520.04 0.165% 0.321660.32万元； 若采用乙方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为 0.2 19.10.36 5.754%0.28 1.730.12 0.520.04 0.1610% 0.290920.29万元11 分 因为0.320.29，所以采用甲方案能获得更多佣金12 分 21解： （1）因为 2 (4)e0 x f xmxx 对2,x 恒成立， 等价于 2 4 ex x x m 对2,x 恒成立，1 分 设 22 4 (1) 4 ee xx x x x x 得 2 22 22 2 44 1ee0 xx x x xxx ，3 分 故 x在2,上单调递增， 当2x 时，由上知 21x ，所以1m ,即1m ， 所以实数m的取值范围为1,；6 分 （2）对 2 2 e (2) 2 x axa g xx x 求导得 2 3 2 3 (4)e (4)e ,(2) 22 x x x xa xax x gxx xx ， 7 分 记 2 4 ex x F x x a ，(2)x ， 由（1）知( )F x在区间2,内单调递增，又(2)10,(4)0FaFa ， 所以存在唯一正实数 0 (2,4x ，使得 0 2 0 0 0 4 ()e0 x x F x x a ， 当 0 (2,)xx时，( )0F x ，( )0g x ，函数( )g x在区间 0 (2,)x单调递减； 0 (,)xx时，( )0F x ，( )0g x ，函数( )g x在区间 0 (,)x 单调递增； 第页10 所以 g x在2,内有最小值 0 2 0 0 2 0 e 2 x axa g x x ，9 分 由题设即 0 2 0 2 0 e 2 x axa h a x 又因为 0 2 0 0 4 ex x a x 所以 0 2 0 0 1 exh ag x x 10 分 根据（1）知， x在2,内单调递增， 0 2 0 0 e1,0 4 x x a x ， 所以 0 24x令 2 1 e(24) x u xx x ，