2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线 2.2.1 抛物线及其标准方程课件 北师大版选修1 -1.ppt

2抛物线,2.1抛物线及其标准方程,1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.(2)点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.(3)图形展示:,名师点拨抛物线的定义可归纳为“一动三定”:一个动点,设为点M;一个定点F(即抛物线的焦点);一条定直线(即抛物线的准线);一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于常数1).,【做一做1】平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹是()A.抛物线B.直线C.抛物线或直线D.不存在答案:C,2.抛物线的标准方程y2=2px(p0)叫作抛物线的标准方程.这条抛物线的焦点在x轴正半轴上,焦点坐标是,它的准线方程是.,特别提醒1.“p”的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值恒大于0.2.只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才是标准方程.,【做一做2】(1)抛物线y2=8px(p0),F是焦点,则p表示()A.F到准线的距离D.F到y轴的距离(2)抛物线y2=4x的焦点坐标为.(3)若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为.,解析:(1)化为标准形式y2=2(4p)x(p0),则4p就是焦点F到准线的距离,所以p表示焦点F到准线的距离的.(2)因为y2=4x,所以2p=4,即p=2,所以焦点坐标为(1,0).(3)由题意可知-=-7,故p=14,且焦点在x轴正半轴上,所以抛物线的标准方程为y2=28x.答案:(1)B(2)(1,0)(3)y2=28x,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)平面内与定点(1,0)和直线y=x-1距离相等的点的轨迹是抛物线.()(2)抛物线与二次函数的图像是完全相同的.()(3)抛物线y2=-8x的焦点坐标是(-2,0).()(4)若抛物线的方程是x=4y2,则其中的焦参数p=2.()答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】(1)过点A(1,0),且与直线l:x=-1相切的圆的圆心的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线(2)设点A是抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),点M是线段AB的中点,若|AB|=6,则M到直线x=-1的距离为.分析(1)判断到一定点与到一定直线距离相等的点的轨迹是否是抛物线,要看定点与定直线的位置关系.(2)利用抛物线的定义求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析:(1)如图,设动圆的圆心为M,由题意,M到直线l的距离等于圆的半径|MA|,由抛物线的定义知,点M的轨迹是以A(1,0)为焦点,以直线l为准线的抛物线.(2)B(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,直线l:x=-1是抛物线的准线,过A作AAl于A,则|AA|=|AB|=6.则M到直线x=-1的距离为答案:(1)D(2)4反思感悟应用定义解决的两类问题:(1)判断动点的轨迹的类型;(2)利用抛物线的定义,将到焦点的距离与到准线的距离进行相互转化.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是()A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x解析:点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,点P到F(4,0)的距离等于它到定直线x=-4的距离.点P的轨迹方程为y2=16x.答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程:(2)以x轴为对称轴,焦点在直线3x-4y-12=0上.分析对于(1),需要确定p的值,因为点在第四象限,所以抛物线的标准方程可设为y2=2px(p0);对于(2),因为标准方程的焦点在x轴上,所以求出直线3x-4y-12=0与x轴的交点(4,0),即可求出.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求抛物线标准方程的常用方法(1)直接法:建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,写出对应方程,化简方程可得;(2)待定系数法:根据已知条件设出抛物线的标准方程,再根据题干中的条件,求出参数p;(3)定义法:直接根据定义求p,最后写出标准方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l,交抛物线于A,B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是.,答案:y2=3x,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】设点P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若点B的坐标为(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.分析(1)中将点P到直线x=-1的距离转化为到焦点的距离;(2)中将点P到点F的距离转化为点P到准线的距离.这是解答本题的关键.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)如图所示,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程是x=-1,由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF,AF与抛物线的交点即为点P,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)如图所示,把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=2.因为22,所以点B在抛物线内部,过点B作BQ垂直于准线,垂足为Q,交抛物线于点P1,连接P1F.此时,由抛物线的定义知,|P1Q|=|P1F|.所以|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.反思感悟解关于抛物线的最值、定值问题时,首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化,其次是注意平面几何知识的应用,例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为(),解析:点Q(2,-1)在抛物线内部,如图所示.由抛物线的定义知,抛物线上的点P到点F的距离等于点P到准线x=-1的距离,过Q点作x=-1的垂线,与抛物线交于K,则K为所求,当y=-1时,x=,答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因没有理解方程中p值的几何意义而导致失误【典例】从抛物线y2=8x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PF|=5,F为抛物线的焦点,则MPF的面积为.易错分析易误认为p=8,导致p的值求错,而致使最后结果错误.解析:抛物线为y2=8x,2p=8,p=4.准线方程为x=-2.设P(x0,y0),由抛物线定义得|PF|=|PM|=x0+2=5,纠错心得1.正确掌握抛物线的标准方程,认清p的几何意义.2.理解抛物线的定义,合理进行到焦点与到准线的距离的转化.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知点P到F(4,0)的距离和到直线x=-5的距离相等,求点P的轨迹方程.整理得y2=18x+9,即y2=18x+9为所求轨迹方程.,12345,1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是()A.直线B.抛物线C.圆D.椭圆解析:定点(1,1)在直线x+2y=3上,轨迹为直线.答案:A,12345,2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析:如图所示,抛物线的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2,PE垂直于准线且垂足为E,由抛物线的定义知,|PF|=|PE|=4+2=6.答案:B,12345,3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于5,则抛物线的标准方程和m的值分别为和.,12345,12345,4.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p0)的准线相切,则p=.解析:由x2+y2-