2019版中考数学总复习第三章变量与函数3.4二次函数（讲解部分）检测.pdf

年中考 年模拟 二次函数 考点清单 考点一 二次函数的解析式 概念：一般地，形如 （， 为常数）的 函数叫做二次函数灵活运用待定系数法求函数解析式，并注意 自变量的实际意义和取值范围 二次函数的表达形式除了一般式之外，还有顶点式 （） ，交点式 （ ）（），其中 和 是抛物线 与 轴交点的横坐标 考点二 二次函数的图象和性质 二次函数的图象与性质 函数（） 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线 顶点坐标 ， () 最值 当 时， 有最 小 值 当 时， 有最 大 值 增 减 性 在对称 轴左侧 随 的增大而 减小 随 的增大而 增大 在对称 轴右侧 随 的增大而 增大 随 的增大而 减小 系数 、 的作用 决定抛物线开口方 向及大小 ，抛物线开口 向上 ，抛物线开口 向下 、 决定抛物线对称轴 的位置(对称轴方 程为 ) ，对称轴为 轴 ，对称轴在 轴 左侧 ，对称轴在 轴 右侧 决定抛物线与 轴 交点的位置 ，抛物线过 原点 ，抛物线与 轴交于正半轴 ，抛物线与 轴交于负半轴 续表 决定抛物线与 轴 的交点个数 时，与 轴有唯一交点 （顶点） 时，与 轴有两个不同 交点 时，与 轴没有交点 特殊关系 当 时， 当 时， 当 ，即 时， 当 ，即 时， 考点三 二次函数与一元二次方程及不等式的联系 二次函数 （）中，当 时， 的取值就是 一元二次方程 （）的解，即 （） 的图象与 轴交点的横坐标就是一元二次方程 （ ）的根 （）当 时，抛物线 （）与 轴有两 个交点，方程 （）有两个 不相等 的实数根 （）当 时，抛物线 （）与 轴有一 个交点，方程 （）有 两个相等 的实数根 （）当 时，抛物线 （）与 轴无交 点，方程 （） 没有 实数根 考点四 二次函数的综合应用 实际问题 主要考查利润最大化，方案最优化，面积最大等问题 一般步骤： （）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； （）确定自变量取值范围； （）分析所得函数的性质； （）解决提出的问题 综合性问题 二次函数的综合题型涉及的知识点一般较多，有抛物线与 坐标轴的交点坐标求法，几何图形的面积，三角形全等、相似、平 行四边形、圆等，还有与一次函数联立解题等，综合性较强，有一 定难度这样的题型一般用到数形结合、分类讨论及函数与方程 思想 第三章 变量与函数 方法一 利用抛物线的平移规律解题的方法 抛物线 （）通过配方可化为 （） （）的形式，抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原 则，具体如下： （）上下平移：抛物线 （） 向上平移 （）个 单位，所得抛物线的解析式为 （） ；抛物线 （ ） 向下平移 （）个单位，所得抛物线的解析式为 （ ） （）左右平移：抛物线 （） 向左平移 （）个单 位，所得抛物线的解析式为 （） ；抛物线 （ ） 向右平移 （）个单位，所得的抛物线的解析式为 （） 例 （ 甘肃兰州， 分）将抛物线 向右平 移 个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ） （） （） 解析 将抛物线 向右平移 个单位长度，得到 新抛物线的表达式为 （） 答案 思路分析 因为抛物线向右平移 个单位长度，所以自 变量加上 方法规律 抛物线的平移规律记为“上加下减常数项，左 加右减自变量” 变式训练 （ 泰安， 分）将抛物线 （） 向左平移 个单位，再向下平移 个单位，那么得到的抛物线的 表达式为 答案 （） 解析 由题意知，抛物线的顶点坐标为（，），则平移后的顶 点坐标为（，），所以得到的抛物线的表达式为 （） 方法二 二次函数的图象及性质的应用 二次函数 （）中 、 的符号与二次函数 （）的图象有着非常密切的关系我们可以根据 抛物线确定 、 的符号，也可以根据 的符号确定开口方向， 根据公式确定抛物线的顶点和对称轴 例 （ 烟台， 分）二次函数 （） 的图象如图所示，对称轴是直线 下列结论：； ；其中正确的是（ ） 解析 抛物线开口向上，所以 ，抛物线的对称轴为 ，所以 ，所以 所以正确 抛物线与 轴有两个交点，所以 ，所以 所以正确 由题图知，当 时，又抛物线与 轴交于 负半轴，所以 ，所以 所以正确 由抛物线的对称性知当 时， 又 ，所以 所以 所以错误 综上，正确的是，故选 答案 变式训练 （ 潍坊， 分）已知二次函数 的图象如图所示，顶点为（，），下列结论：； ；其中正确结论的个数是（ ） 答案 解析 抛物线的开口向上，对称轴在 轴左侧，故 ， 抛物线与 轴的交点在点（，）的上方，故 ，由此可 得 ，故错误把抛物线向下平移两个单位可得抛物线 ，此时抛物线 与 轴有两个交点，故 ，故错误当 时，抛物线的解析式为 （） ，与 轴的交点坐标恰为（，），根据越大，开口越小，可 知要使抛物线与 轴交点在点（，）的上方，则 ，故正确 因为抛物线的对称轴为直线 ，且 时，所以由抛物 线的对称性可知， 时，即 ， 故正确，选 方法三 二次函数与一元二次方程的联系 函数与方程，函数与不等式可以互相转化，灵活运用 例 （ 江苏南京， 分）已知函数 （） （ 为常数） （）该函数的图象与 轴公共点的个数是（ ） 或 （）求证：无论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 （） 的图象上； （）当 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值 范围 解析 （）（ 分） （） （）， 该函数的图象与 轴公共点的个数是 或 （）证明：（） () （） ， 所以该函数的图象的顶点坐标为 ，（） () 把 代入 （） ，得 () （） 因此，无论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 （ ） 的图象上（ 分） （）由（）知，该函数的图象的顶点纵坐标为（） ，设 年中考 年模拟 （） ，由二次函数的性质可知， 当 时， 有最小值 ； 当 时， 随 的增大而减小； 当 时， 随 的增大而增大 又当 时，（） ；当 时，（） 因此，当 时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值 范围是，（ 分） 变式训练 （ 湖北荆州， 分）若函数 （） 的图象与 轴有且只有一个交点，则 的值为 答案 ， 或 解析 当 时，函数 （），其图 象与 轴的交点为 ， ()；当 时，则由题意得 （） （） ，解得 或，故答案为 ， 或 评析 分 和 两种情况进行解答 方法四 用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所 表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面此 类问题一般先运用“总利润总售价总成本”或“总利润每件 商品所获利润销售数量”，建立利润与价格之间的二次函数关 系式，再求出这个函数关系式的顶点坐标，从而得到最大利润 例 （ 滨州， 分） 如图，一小球沿与地面成一 定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑 空气阻力，小球的飞行高度 （单位：）与飞行时间 （单位：）之 间具有函数关系 ，请根据要求解答下列问题： （）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 时，飞行的时 间是多少？ （）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？ 最大高度是 多少？ 解析 （）当 时， ，化简得 ，解得 或 ，即飞行的时间是 或者 （）飞出和落地的瞬间，高度都为 ，故 ，所以当 时，解得 或 ，所以从飞出到落地所用时间是 （）（） ， 当 时， 取得最大 值，此时， 所以在飞行过程中，小球飞行高度第 时最大，最大高度 是 思路分析 （）小球飞行高度为 ，即 中 的值为 ，解方程求出 的值，即为飞行时间 （）小球飞出时和落地时的高度为 ，据此可以得出 ，求出 的值，再求差即可 （）求小球飞行高度何时最大？ 最大高度是多少？ 即求 为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？ 变式训练 （ 青岛， 分）如图，需在一面墙上绘制 几个相同的抛物线型图案按照图中的直角坐标系，最左边的抛 物线可以用 （）表示已知抛物线上 ， 两点到地 面的距离均为 ，到墙边 的距离分别为 ， （）求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的 距离； （）若该墙的长度为 ，则最多可以连续绘制几个这样 的抛物线型图案？ 解析 （）由题意可知， ， ()， ， ()， 代入 得： ， ， 解得 ， （） 答：该抛物线的函数关系式是 ，图案最高点到地 面的距离是 （ 分） （）当 时， ， ， （个） 答：最多可以连续绘制 个抛物线型图案（ 分） 方法五 与二次函数有关的综合性题目 二次函数综合题，主要考查待定系数法求二次函数解析式、 抛物线与直线交点坐标、锐角三角函数、点的存在、相似三角形 的判定与性质、分类讨论思想等 例 （ 潍坊， 分）如图 ，抛物线 与 轴交于点 和点 （，），与 轴交于点 ， ()，抛物线 的顶点为 ， 轴于点 将抛物线 平移后得到顶点为 且对称轴为直线 的抛物线 （）求抛物线 的解析式； （）如图 ，在直线 上是否存在点 ，使 是等腰三角 形？ 若存在，请求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由； （）点 为抛物线 上一动点，过点 作 轴的平行线交 抛物线 于点 ，点 关于直线 的对称点为 若以 ， 为 顶点的三角形与 全等，求直线 的解析式 解析 （）由题意知， ， ， 解得 ， ， （ 分） 所以抛物线 的解析式为 （ 分） 因为抛物线 平移后得到抛物线 ，且顶点为 （，）， 所以抛物线 的解析式为 （） ， 即 （ 分） 第三章 变量与函数 （） 在直线 上存在点 ，使 是等腰三角形理由 如下： 抛物线 的对称轴 为 ，设 （，）， 易得 （，），又 ， ()， 过点 作 轴于 ，则 () ， （） ， ， 当 时， 即 ， 解得 或 ；（ 分） 当 时，得 ，无解；（ 分） 当 时，即 ，解得 （ 分） 综上可知，在抛物线 的对称轴 上存在点 ，使 是 等 腰 三 角 形， 此 时 点 的 坐 标 为 ， ， ， ， ， () （ 分） （）设 ， ()， 则 ， ()， 因为 ， 关于 对称， 所以 ， ()， （ 分） 当点 在直线 的左侧时， () ， ， 又因为以 ， 构成的三角形与 全等， 所以当 且 时， 可求得 ， ()，即点 与点 重合， 所以 ， ()， 设 的解析式为 （）， 则有 ， ， 解得 ， ， 即 的解析式为 ，（ 分） 当 且 时，无解；（ 分） 当点 在直线 的右侧时， () ， ， 同理可得 ， ()， ， ()， 的解析式为 （ 分） 综上所述， 的解析式为 或 （ 分） 思路分析 （）将 、 两点坐标代入抛物线 求出 的 值，根据平移后函数的顶点坐标求出 的解析式；（）设 （，）， 利用勾股定理分别表示出 、，根据等腰三角形两边相 等，分三种情况进行讨论求解即可；（）若两个三角形全等，则两 组直角边对应相等，利用 和 关于直线 对称的条件分类讨 论解答 一题多解 （）由题意得 （，），故 ， ， 若以 、 为顶点的三角形与 全等，则 ， 或 ， （）若 ，由对称轴为 ，得 点横坐标为 或 ， 当 时， 或 ，此时 () ，满 足题意，此时 ， ()， ， ()，直线 的解析式为 当 时， 或 ，此时 () ， 满足题意，此时 ， ()， ， ()，直线 的解析式为 （）若 ，由对称轴为 ，得 点横坐标为 或 ， 当 时， 或 ，此时 () ，故此时不满足题意 当 时， 或 ，此时 () ，故此时也不满足题意 综上所述，满足题意的直线 的解析式为 或 方法总结 二次函数解析式的确定：一般用待定系数 法，设出适当的解析式（一般式、顶点式或交点式），根据条件，得 年中考 年模拟 到关于待定系数的方程（组），解方程（组）求出待定系数的值， 从而得到函数的解析式 探究等腰三角形的存在性问题时，（）先假设结论成立 （）找点当所给的定长没有说明是腰还是底边时，要分情况讨 论：当定长为腰，找已知直线或抛物线上满足条件的点时，以 定长为半径画弧，若所画的弧与坐标轴或抛物线有交点且交点 不是定长的另一端点时，交点即为符合条件的点；当定长为底 边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分 线与坐标轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在用以上方 法能找出所有符合条件的点（）计算：在求点的坐标时，可以用 相似的知识点求解，也可以用设出的点的坐标，表示出三边的平 方，利用三边中的任意两边相等来求解，有时也利用直角三角形 的性质求解 探究全等三角形的存在性问题时，往往没有明确指出对应 顶点，这时要根据全等三角形的对应关系分情况讨论，在分类 时，先要找出分类的标准，看两个全等三角形是否有对应相等的 边或角 解后反思 运动型问题一般是图形在运动中产生函数关 系问题或探究几何图形的变化规律问题，这类问题可细分为点 动型、线动型、形动型解答这类问题时，要求对几何元素的运动 过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于 借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，变中求不变，动 中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的 问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发 现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决 问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径 变式训练 （ 东营， 分）如图，抛物线 （） （）（）与 轴交于 ， 两点，抛物线上另有一点 在 轴 下方，且使 （）求线段 的长度； （）设直线 与 轴交于点 ，点 是 的中点时，求直 线 和抛物线的解析式； （）在（）的条件下，直线 下方抛物线上是否存在一点 ，使得四边形 面积最大？ 若存在，请求出点 的