2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第四章 图形的初步认识与三角形 第18讲 直角三角形与三角函数课件.ppt

第18讲直角三角形与三角函数,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一直角三角形的性质和判定1.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余.(2)在直角三角形中,30的角所对的直角边等于斜边的一半.(3)勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,2.直角三角形的判定(1)有两个锐角互余的三角形是直角三角形.(2)如果三角形的两直角边长为a,b,斜边长为c,且满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.温馨提示(1)勾股定理阐述的是直角三角形中三边之间的数量关系,即在直角三角形中,已知两边长度能够运用勾股定理求第三边的长度;(2)勾股定理逆定理的作用:可以判断一个三角形是不是直角三角形;证明两条线段垂直.,知识点二锐角三角函数1.锐角三角函数的定义如图,在RtABC中,C=90,A、B、C的对边分别为a、b、c,则A的正弦sinA=,A的余弦cosA=,A的正切tanA=.,温馨提示(1)sinA、cosA、tanA表示的是一个整体,是指两条线段的比,没有单位.(2)锐角三角函数的大小仅与角的大小有关,与该角所处的直角三角形的大小无关.,2.特殊角的三角函数值,温馨提示30、45、60角的正弦值的分母都是2,分子分别是1、,由此可知,随着角的度数的增大,正弦值逐渐增大;同理可得,随着角的度数的增大,余弦值逐渐减小.3.三角函数之间的关系(1)同角三角函数之间的关系:sin2+cos2=1,tan=.(2)互余两角的三角函数之间的关系:若A+B=90,则sinA=cosB,sinB=cosA.,知识点三解直角三角形1.解直角三角形的定义:由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.,2.直角三角形的边角关系在RtABC中,C=90,A、B、C的对边分别为a、b、c.(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;(2)两个锐角之间的关系:A+B=90;(3)边角之间的关系:sinA=,cosA=,tanA=,sinB=,cosB=,tanB=.温馨提示解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)、无斜用切(正切)、宁乘勿除、取原避中”.,知识点四解直角三角形的实际应用1.解直角三角形应用中常见的术语,2.解直角三角形在实际问题中应用的一般步骤(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数解直角三角形.,泰安考点聚焦,考点一直角三角形的性质和判定例1如图,在直角O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到AB处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是(B)A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分,解析连接OC、OC,如图,AOB=90,C为AB中点,OC=AB=AB=OC,当端点A沿直线AO向下滑动时,AB的中点C到O的距离始终为定长,滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧.故选B.,考点二锐角三角函数例2如图,在ABC中,C=90,AB=5,BC=3,则cosA的值是(D)A.B.C.D.,解析根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可,AB=5,BC=3,AC=4,cosA=.故选D.,变式2-1在ABC中,若角A,B满足+(1-tanB)2=0,则C的大小是(D)A.45B.60C.75D.105,解析由题意得,cosA=,tanB=1,则A=30,B=45,则C=180-30-45=105.故选D.,考点三解直角三角形例3(2016泰安)如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin680.9272,sin460.7193,sin220.3746,sin440.6947)(B)A.22.48海里B.41.68海里C.43.16海里D.55.63海里,解析过点P作PGMN于G.依题意可知MN=60海里,PMN=22,PNG=44.MPN=PMN,NP=MN=60海里.在RtPNG中,sinPNG=,PG=PNsinPNG=PNsin44600.694741.68(海里).此时轮船离灯塔的距离约为41.68海里,故选B.,变式3-1如图,轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10方向上,则C处与灯塔A的距离是(D)A.20海里B.40海里C.海里D.海里,解析如图,作AMBC于M.由题意得,DBC=20,DBA=50,BC=60=40海里,NCA=10,则ABC=DBA-DBC=50-20=30.BDCN,BCN=DBC=20,ACB=ACN+BCN=10+20=30,ACB=ABC=30,AB=AC,AMBC于M,CM=BC=20海里.在RtACM中,AMC=90,ACM=30,AC=(海里).故选D.,温馨提示根据例题和变式训练可以发现,一般解直角三角形类题目的处理,可以看做是“割补”思想的拓展,即把原图形通过“割补”,处理成有“公共边”的两个直角三角形,具体题目中,再根据公共边的“已知”或“未知”决定进行直接运算或者设未知数x.,一、选择题1.(2017浙江温州)如图,一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米,已知cos=,则小车上升的高度是(A)A.5米B.6米C.6.5米D.12米,随堂巩固训练,2.如图,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E,DE=1,则BC=(C)A.B.2C.3D.+2,3.(2018泰安)如图,M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是M上的任意一点,PAPB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为(C)A.3B.4C.6D.8,二、填空题4.(2018泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A处,若EA的延长线恰好过点C,则sinABE的值为.,解析由折叠知AB=AB=6,在RtABC中,根据勾股定理得AC=8,设AE=x,则AE=x,在RtDEC中,DE2+DC2=EC2,即(10-x)2+62=(8+x)2,解得x=2,即AE的长为2.在RtAEB中,求得sinABE=.,5.(2018滨州)在ABC中,C=90,若tanA=,则sinB=.解析如图所示:C=90,tanA=,设BC=x,则AC=2x,故AB=x,则sinB=.,三、解答题6.(2018德州)如图,两座建筑物的水平距离BC为60m.从C点测得A点的仰角为53,从A点测得D点的俯角为37,求两座建筑物的高度.参