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文档简介
曲边梯形面积与定积分,教学目标,1.知识与技能:了解求简单曲边梯形(轴上方)的面积的一般求法(即“分割以直代曲作和逼近”),在“以直代曲”方案比较中建构出定积分的概念,初步理解定积分的几何意义,能利用定积分求曲边梯形的面积.,2.过程与方法:在问题解决(求曲边梯形)的过程中,体会“以直代曲”的方法和极限的思想;在方案比较中建构数学知识;初步体会数学的思维过程,学会猜想、比较、验证.,3.情感态度与价值观:培养学生主动探求知识、合作交流的意识,培养借助信息技术探究数学问题的意识,感受数学思维的全过程,改善数学学习信念.,一、情境创设已知某物体做变速直线运动,设经过ts后的运动速度为v(t)(单位:m/s),v(t)的图象如图1中曲线所示,试求内物体运动的总路程.,由物理学知识可知,s即对应曲线下方的“曲边梯形”的面积.因此,问题即转化为求如何求一曲边梯形的面积,如果说图(2)中“曲边梯形”面积可分解为三个梯形的面积,那么图(3)中“曲边梯形”面积又该如何求呢?,求直线和曲线所围成的图形(曲边三角形)的面积s,.,二、操作探究,活动1方案提出,几何画板演示,基本思想:,1、分割,等分成,个小区间(思考:为什么要等分区间?):,,,,,,,活动2、方案落实(以左端点对应的函数值为矩形的边长为例),把区间,,,,每个区间的长度为,.过各区间端点作,轴的垂线,从而得到,个小曲边梯形,它们的面积分别记作,,,,,.即,2、以直代曲,上的小曲边梯形,以区间左端点,对应的函数值,为一边的长,以,为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积,即,.,对区间,3、作和,因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值,所以,个小矩形的面积之和,就是所求曲边三角形面积,的近似值,其中,.,4、逼近,(亦即,)时,,.,由,当分割无限变细,即,,从而,.,活动3方案比较,三种方案,即分别以矩形ABCD、矩形ABEF、梯形ABDE来近似代替相应曲边梯形的面积.,具体方案中虽然面积会有差异即,,但当,时,其和式均无限趋近于同一结果,即均能用来求曲边梯形的,所对应的函数值,作为小矩形一边的长.和式,近似表示曲边梯形面积.,面积(一方面通过电脑操作让学生感受,同时借助公式简单推导从而强化认识).从而可将“以直代曲”的方案加以拓展,即可以取小区间内任意一点,三、概念揭示,对于一般函数,,可以采用上述方法求相应曲边梯形的面积.,等分成,,个小区间,每个小区间长度为,以直代曲:在每个小区间上任取一点,依次为,,,;,分割:将区间,求和:,;,逼近:,(亦即,)时,,.,1、概念:称该常数S为函数,在区间,上的定积分,记为,,其中,称为被积函数,,为积分区间,,称为积分下限,,为积分上限.,非负时,,即为,轴上方的曲边梯形的面积,2、定积分的几何意义,当,四、初步应用,例1、试用定积分表示下列曲边梯形的面积,并借助于信息技术求出相应结果.,(1)、计算直线x=-4,x=2,y=0,和曲线,(1)、曲边梯形面积为,(2)
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