多元函数积分概念与性质.ppt

将一元函数积分学中的“分割、近似、求和、取极限”思想推广，运用到多元函数情形。,第1节多元数量函数积分的概念和性质,1.曲顶柱体的体积曲顶柱体：以XOY平面上的闭区域D为底，以D的边界曲线为准线，母线平行于Z轴的柱面为侧面，并以z=f(x,y)为顶的空间立体.,一.两个实例：,如何求此曲顶柱体的体积V？微元法思想.,分割：把D任意分成n个小区域(同时用表示第i个小区域的面积），分别以的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，则原曲顶柱体分成了n个小的曲顶柱体。,近似：任取，则以为底的小曲顶柱体体积:,求和：,取极限：区域中任意两点距离的最大值称为该区域的直径，记,则：,设有一物体对应于空间曲面,(x,y,z)为密度函数(连续），现要求该物体的质量m。,2.质量：,分割：把任意分成n小块，表示第i小块曲面的面积。,近似：任取，则第i小块曲面的质量,取极限：,求和：,二.数量函数积分的概念,定义1,二重积分；,三重积分：,其中称为积分域，f称为被积函数，f(M)d称为被积式或积分微元。,几种具体的类型：,第一型曲线积分,（对弧长的曲线积分）：,第一型曲面积分,（对面积的曲面积分）：,L称为积分路径。,数量函数积分的几何意义：,当时，=以D为底,以为顶的曲顶柱体的体积；,数量函数积分的物理应用之一：,三.积分存在的条件和性质.,必要条件:f在上可积，则f在上有界。,1.线性性质：,2.可加性,3.积分不等式若则,5.中值定理,特别地，有,若则,第2节二重积分的计算,一.直角坐标系中二重积分的计算：,任取，过x轴作平行于yoz坐标面的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，设其面积为，则,而该体积也可用定积分的方法求得:,X-型区域：任一平行y轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。,上面假定，但实际上上公式对一般的也成立。对各种不同类型的积分区域D，二重积分化为二次积分的情况总结如下：,Y-型区域：任一平行x轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。,例1计算,解,解法一先对y后对x积分,例2,法二先对x后对y积分,解由于的原函数不能用初等函数表示，故不能先对y积分,例3计算,注意：在例2中，法1比法2简便，在例3中，由于被积函数中含有，只能先对x积分.因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。,例4作出积分域，并改变积分次序：,解原积分=,解原积分=,解原积分=,解原积分,例5求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体的体积。,解,二.极坐标系下二重积分的计算,则得极坐标系下的二重积分计算公式:,作极坐标变换,若区域D可用极坐标的不等式,若区域D可用极坐标的不等式,若区域D可用极坐标的不等式,若区域D可用极坐标的不等式,于是,例6计算,例7计算反常积分,解设,而,从而,例8将下列二次积分化为极坐标形式下的二次积分：,解,积分区域：D:,在极坐标下，D：,于是,解,在极坐标下，将D分为二部分表示：,于是,解,在极坐标下，D分为二部分表示：,于是,解,例9求Bernoulli双纽线,围成的面积A.,解双纽线在极坐标下的方程为：,由的周期性得图形的对称性，而且当从增加到时，由零增加到，再减少到零，于是可得如图所示的双纽线图形。,（2）变换T：把uov平面上的区域一对一的变为D，,定理1设（1）,（3）(u,v),(u,v)在上具有一阶连续偏导数，且：,三.二重积分的换元法,例10计算,解,于是,例11求由曲线所围区域D的面积S。,于是,例12求椭圆围成区域的面积A。,作业,P93-97习题6.21(1)(b)2(3)3(2)4(