关于环上自由模与矩阵环的讨论.pdf

第 8 卷第 2期 2005年 4月 西安文理学院学报( 自然科学版) Journal of Xi an University of Arts 自由基; 矩阵环; 模同态 中图分类号: O151. 21 文献标识码: A 在线性代数中 ,“线性空间的基所含元素的个数是一个不变量” 是大家熟知的结果 . 环上的自由模 是域上线性空间的一种推广 ,因而线性空间的许多性质可以自然地推广到环上的自由模. 文 1 指出, 许多重要的环是有基元个数不变性 ,并且给出下面定理 . 定理 1 如果 R 是交换环 ,且 R( m)R( n),那么 m =n . 定理中的 R( m), R ( n)分别是秩为 m , n 的自由R-模 . 这说明交换环上自由模的基所含元素的个数 是自由模的一个不变量. 现在任意环 R 上进行讨论 ,即不假设环 R 具有交换性,得到下面的定理 . 定理 2 设 R 是任意环, 则自由模 R(m) R( n)当且仅当存在矩阵 A Mm , n( R) , B Mn , m( R) ,使 AB =Im, BA =In. 这里 Mm , n是环R 上m n 矩阵环, Mn , m是环R 上n m 矩阵环, Im是通常的 m 阶单位矩阵, In是n 阶单位矩阵 . 证明 设 u1, u2, , um 是 R( m)的自由基, v1, v2, , vn 是 R( n)的自由基 . 若 R( m)R( n),设 ui= n j =1 aijvj ( i =1, 2, , m) ,记 A =( aij) , A 是m n 矩阵 , vj= m k =1 bjkuk ( j = 1 ,2, , n) , 记 B = ( bij) , B 是 n m 矩阵 , aij, bjk R , 则 ui= n j =1 aij( m k =1 bjkuk) = m k =1 ( n j =1 aijbjk) uk,因为 u1, u2, , um 是自由基, 所以 n j =1 aijbjk=ik,( i =1 ,2, , m) ,即 AB = Im. 另一方面, 因为 vj= m k =1 bjk( n i =1 akivi)= n i =1 ( m k =1 bjkaki) vi, 而 v1, v2, , vn是自由基, 所以 m k =1 bjkaki=ji( j =1, 2, , n) ,即 BA = In. 反之 ,如果存在 A =( aij) Mm , n( R) , B =( bij) Mn , m( R) ,使 AB =Im, BA =In. 设 u1, u2, , um是 R( m)的自由基, 令 vj= m k =1 bjkuk( j =1 ,2, , n) ,则 v1, v2, , vn 是 R(n)的自由基. 事实上, 设 n j =1 xjvj=0, xj R ,则有 m k =1 n j =1 xjbjkuk=0, 由于 u1, u2, , um 是 R ( m)的自由基,所 以 n j =1 xjbjk=0,于是有 m k =1( n j =1 xjbjk) aks= n j =1 xj( m k =1 bjkaks)=0, ( s =1,2, , n) 因为 BA = In,所以 xj=0 ( j =1,2 , , n) , 故 v1, v2, , vn是 R( n)的自由基 . 令 : vj m k =1 bjkuk,则 是R( n)到 R( m)的 R-模同构 . 事实上, 是模同态 , 显然又对每个 ui R( m)有 = n j =1 aijvj R( n), aij R , 使得 ( )= ( n j =1 aijvj)= n j =1 aij ( vj)= n j =1 aij m k =1 bjkuk= m k =1( n j =1 aijbjk) uk= m k =1 ikuk=ui,故 是满射. 若有 j R ,使 ( n j =1 jvj)=0,即 n j =1 m k =1 jbjkuk=0, 由 u1, u2, , um 是自由基可得 n j =1 jbjk= 0,于是 n j =1 m k =1 jbjkaks=0 ,即 0 = n j =1 j( m k =1 bjkaks)= n j =1 jjs=j( j =1,2, , n) ,所以 n j =1 jvj=0, 即 是单射. 综上知, 是R-模同构,因此, R ( n) R ( m). 定理 3 设 EndRR( n),EndRR( n)是 R( n)的自同态环, u1, u2, , un与 v1, v2, , vn是 R( n)的两个基, 如果 关于基 u1, u2, , un的矩阵是 A , 则 关于基 v1, v2, , vn的矩阵是 PAP- 1, 其中 vi= n j =1 pijuj( i =1,2 , , n) , P =( pij) Mn( R) . 证明 设 ( ui)= n j =1 aijuj, vi= n j =1 pijuj, aij, pij R . 令 P =( pij) ,则 P 可逆 ,设 P- 1=( qij) 那么 ( vi)= ( n j =1 pijuj)= n j =1 pij ( uj)= n j =1 pij( n k =1 ajkuk)= n k =1( n j =1 pijajk) uk= n k =1 ( n j =1 pijajk) ( n l =1 qklvl)= n l =1 ( n k =1 ( n j =1 pijajk) qkl) vl, i =1, 2, , n 而PAP - 1 =( n k =1 ( n j =1 pijajk) qkl) 因此 关于基 v1, v2, , vn 的矩阵是 PAP - 1 . 进一步可证明 EndRR( n)Mn( R) . 设 R( n)是一个自由 R -模, u1, u2, , un 是 R( n)的一个基, EndRR( n), 令 ( ui)= n j =1 ajiuj, i =1 ,2, , n , A =( aij) . 则 A 是 EndRR( n)到 Mn( R) 的一个同构对应 . 事实上 ,对任意的 , EndRR ( n), 设 ( ui)= n j =1 ajiuj, ( ui)= n j =1 bjiuj, i =1,2, , n , A = ( aji) , B =( bji) ,那么 ( + ) ( ui)= ( ui)+ ( ui)= n j =1 ajiuj+ n j =1 bjiuj= 21 第 2 期于 萍,等 : 关于环上自由模与矩阵环的讨论 n j =1 ( aji+bji) uj, i =1,2, n ( ) ( ui)= ( ( ui) )= ( n j =1 bjiuj)= n j =1 bji ( uj)= n j =1 ( n k =1 akjuk) bji= n k =1 ( n j =1 akjbji) uk, i =1, 2, , n 所以 + A +B , AB , A是EndRR( n)到 Mn( R) 的一个同构对应,故EndRR( n)Mn( R) . 因此关于自由模 R( n)上自同态环 EndRR( n)的讨论可转化为对矩阵环 Mn( R) 的讨论 . 定理 4 若 R ( m), R( n)分别是秩为 m , n 的自由 R-模, 则 Hom( R( m), R( n) )是秩为 mn 的自由 R-模. 证明 易知 Hom( R( m), R( n)是一个自由 R-模 , 设 u1, u2, , um , v1, v2, , vn分别是 R( m), R( n)的基 ,取 ij Hom( R( m), R( n) ,使 ij( uk)=ikvj, i , k =1, 2, , m , j =1 ,2, , n . 任意 Hom( R( m), R( n) ,设 ( uk)= n j =1 bkjvj, k =1,2, , m 因为( m i =1 n j =1 bijij) ( uk)= m i =1 n j =1 bijij( uk)= n j =1 bkjvj 所以= m i =1 n j =1 bijij 又如果 m i =1 n j =1 aijij=0, aij R ,那么 ( m i =1 n j =1 aijij) ( uk)= m i =1 n j =1 aijij( uk)= n j =1 akjkj( uk)= n j =1 akjvj=0, k =1,2, , m 由于 v1, v2, , vn 是 R( n)的基,所以 akj=0, k =1,2, , m , j =1 ,2, , n . 故 ij, i =1 ,2, , m , j =1 ,2, , n是Hom( R( m), R( n) 的一个基. Hom( R( m), R( n)的秩是 mn . 定理 5 设 R 是交换环, u1, u2, , un 是自由 R-模 R( n)的一个基, 令 vi= n j =1 aijuj, i =1,2 , , n , A =( aij) Mn( R) , 则 v1, v2, , vn构成 R( n)的子模 K 的一个基当且仅当 det A 不是零 因子 . 证明 设 adj A =( bij) , H 是hi= n j =1 bijvj,( i =1, 2, , n) 所生成的 K 的子模. 由于( adj A) A =det AIn 所以hi= n j =1 bijvj= n j =1 bij( n k =1 ajkuk)=( det A) ui, i =1,2, , n 当 det A 不是零因子时 , H 是具有基( det A) ui( i =1,2, , n) 的自由模. 于是 ,有一个 R( n)到 H 的模同构 ,使 ( ui)=( det A) ui, i =1,2, , n . 另外, ( ui)=vi, ( vi)=( det A) ui, i =1, 2, , n . 分别是 R( n)到 K 以及K 到H 上的满同态 ,使得 = . 因为 是单射, 所以 也是单射. 从而 是 一个同构映射. 因此 , v1, v2, , vn构成R( n)的子模 K 的一个基 . 反之 ,如果 det A 是一个零因子 ,即存在 a R , a 0,使 a det A =0, 分两种情形讨论. ( 1) 如果 aA =( aaij)=0 ,那么 avi=0, i =1,2 , , n ,于是 av1+av2+avn=0, 即 v1, v2, , vn关于R 线性相关. ( 2) 如果 A 的所有r +1 阶子式都是 a 的零化子,而至少有一个 r( r 1) 阶子式不是 a 的零化子, 因为只要经过适当交换基 u1, , un 与 v1, v2, , vn 的次序,这个 r 阶子式总可以出现在矩阵A 的 左上角,所以不妨设这个 r 阶子式为 22西安文理学院学报( 自然科学版)第 8 卷 D = a11a12a1r a21a22a2r ar1ar2arr 令 B 是一个r +1 阶矩阵 . B = a11a12a1r1 a21a22a2r1 ar1ar2arr1 ar+ 1 ,1ar+ 1, 2ar+ 1 , r1 Ai是B的最后一列元素的代数余子式( i =1, 2, , r +1) ,那么 r+1 i =1 Aiaij( r j n)是 A 的r +1阶 子式 . 即 r+ 1 i =1 Aiaij=det a11a12a1ra1j ar1ar2arrarj ar+ 1 ,1ar+ 1, 2ar+ 1 , rar+ 1, j =0, ( 1 j r) 于是a r+ 1 i =1 Aiaij=0, 1 j n r+ 1 i =1 aAivi= r+ 1 i =1 aAi( n j =1 aijuj)= n j =1 ( a r+1 i =1 Aiaij) uj=0 由于 aAr+ 1=aD 0 ,所以 v1, v2, , vr+ 1关于 R 线性相关 ,从而 v1, v2, , vn关于R 线性相关 . 即当 det A 是零因子时 , v1, v2, , vn关于R 线性相关. 故 v1, v2, , vn 是 R( n)的子模 K 的一个基当且仅 当 det A 不是零因子 . 文 1 中还指出,可能发现存在不同的整数 m 和 n ,使 R( m)R(n). 即可能存在环 R , 使 R(m) R( n),但 m n . 同时还指出, 出现这种情况的环 R 的例子较难作出. 根据定理 1,要作这样的环 R , 其必要条件之一是 R 不可交换 ,又根据定理 2知 ,其必要条件之二是 R 有零因子,下面即给出具体的一个例子. 设 Z 是整数环,令 G =Z Z Z Z = i IZ 是可数个Z 的直和, 则 G 是自由模,其 自由基为 e1, e2, , en, . 设 R =End, G 是G 的自同态环, 取 f1, f2 R ,令 f1: e2nen,e2 n- 10; f2: e2 n0, e2n - 1en, 则 f1, f2是 R 的一个基 . 事实上,设 h1f1+h2f2=0 ,( h1, h2 R) ,则 0 =( h1f1+h2f2) ( e2n)=h1f1( e2n)+h2f2( e2n) =h1( en)+0 =h1en,所以 h1=0 . 0 =( h1f1+h2f2) ( e2n- 1)=h1f1( e2 n- 1)+h2f2( e2 n- 1)=0 +h2en=h2en 所以 h2=0,故 f1, f2线性无关 . 又对任意 r R ,令 g1: ene2n, g2: ene2n- 1, 则 g1, g2 R ,并且 ( g1f1+g2f2) ( e2 n)=g1f1( e2n)+g2f2( e2 n)=g1( en)+0 =e2n ( g1f1+g2f2) ( e2n-1)=g1f1( e2 n- 1)+g2f2( e2 n- 1)=0 +g2( en)=e2n- 1 即 g1f1+g2f2=1R( 单位同态) . 于是 r =r( g1f1+g2f2)=( rg1) f1+( rg2) f2,即证得 f1, f2是 R 的一个基 . 于是在 R 中有 1R是 R 的一元基, f1, f2是 R 的二元基,从而 R = f1 + f2 R R ,即 R( 1)R( 2 ). 23 第 2 期于 萍,等 : 关于环上自由模与矩阵环的讨论 或者 ,利用定理 2 , f1, f2, g1, g2取法同上 ,那么直接验证可得 g1f1+g2f2=1R, f1g1= f2g2=1R, f1g2=f2g1=0 于是可在 M1 ,2( R) 中取 A =( g1, g2) , 在 M2, 1( R) 中取 B = f1 f2 , 有 AB =( g1f1+g2f2)=( 1R)=I1 BA = f1g1f1g2 f2g1f2g2 = 1R0 01R =I2 根据定理 2, R( 1)R( 2), 并且由 R( 1)的基 1R可求得R( 2)的基为 B1R= f1 f2 , 即 f1, f2是 R( 2 )的基. 参 考 文 献 1 Jacobson N . 基础代数( 第 1 卷第 1 分册) M . 北京: 高等教育出版社, 1989. 2 Hungerford T W . 代数学 M . 长沙: 湖南出版社, 1986. 3 聂灵沼, 丁石孙. 代数学引论 M . 北京: 高等教育出版社, 1988. 4 张显, 曹重光. 保不变量的矩阵加群同态 M . 哈尔滨: 哈尔滨出版社, 2001. 责任编辑 马云彤 Discussion of Free Running Model on the Ring and Matrix Ring YU Ping ,WANG Ting ,XU Xun-lei ( Departmaent of Mathematics, Xi an University of Arts and Science, Xi an 710065, China) Abstract: Free running model on the ring is an expansion of linear vector space in fields.