余弦定理导学案

1 / 22 余弦定理导学案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 余弦定理导学案 高二年级数学组 知能目标解读 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用 . 2.了解余弦定理的几种变形公式及形式 . 3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决 “ 已知三边求三角形的三角 ” 及 “ 已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角 ” 等问题 . 4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实 际问题 . 重点难点点拨 重点：余弦定理的证明及其应用 . 难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理 . 学习方法指导 一、余弦定理 1.余弦定理：在 ABc 中， A ， B ， c 的对边分别为 a，b ， c ， 那 么 有 如 下 结 论 ：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc.2 / 22 即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 .这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律 .也是解三角形的重要工具 . 注意： （ 1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一 . （ 2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛 . 2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论 .掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理 . cosA=， cosB=， cosc=. 由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两 边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角 .从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例 . 3 / 22 教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用 .另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明 . 证明：方法 1：（解析法）如图所示，以 A 为原点， ABc的边 AB所在直线为 x 轴，建立直角坐标系 . 则 A（ 0,0） ,c(bcosA,bsinA),B(c,0), 由两点间的距离公式得 Bc2=（ bcosA-c） 2+(bsinA-0)2, 即 a2=b2+c2-2bccosA. 同理可证 b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosc. 方法 2：（几何法）如图 .当 ABc 为锐角三角形时，过 c 作cD AB于 D，则 cD=bsinA, AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA. 在 Rt BcD中， Bc2=cD2+BD2,即 a2=b2sin2A+(c-bcosA)2. 所以 a2=b2+c2-2bccosA. 同理可证 b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc. 如图，当 ABc为钝角三角形时，过 c 作 cD垂直于 AB的延长线，垂足为 D， 4 / 22 则 AD=bcosA,cD=bsinA. BD=AD-AB=bcosA-c. 在 Rt BcD中 ,Bc2=cD2+BD2,即 a2=b2sin2A+（ bcosA-c） 2.所以 a2=b2+c2-2bccosA. 同理可证： b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosc. 余弦定理主要适用以下两种题型 : （ 1 （ 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解 . 在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件 . 知能自主梳理 1.余弦定理 （ 1 三角形任何一边的平方等于 减去 的积的 . （ 2）公式表达 : a2= ; 5 / 22 b2= ; c2= . (3)变形 : cosA= ; cosB= ; cosc= . 2. 应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其 解三角形，另一类是已知 解三角形 . 答案 1.(1)其他两边的平方 和 这两边与它们夹角的余弦 两倍 (2)b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosc (3) 2.夹角 思路方法技巧 命题方向 已知三边解三角形 例 1 在 ABc中，已知 a=7,b=3,c=5，求最大角和 sinc. 分析 在三角形中，大边对大角，所以 a 边所对角最大 . 解析 a c b, A 为最大角 , 由余弦定理得， cosA= 又 0 A 180 , A=120， 6 / 22 sinA=sin120 =. 由正 sinc=. 最大角 A 为 120， sinc=. 说明 （ 1）求 sinc cosc=， c 为锐角 . sinc= . (2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理 . 变式应用 1 在 ABc中，已知 (b+c)： (c+a)： (a+b)=4： 5： 6，求 ABc的最大内角 . 解析 设 b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k 0). 则 a+b+c=,解得 a=,b=,c= a 是最大边，即角 A 是 ABc的最大角 . 由余弦定理，得 cosA=-, 0 A 180 , A=120，即最大角为 120 . 命题方向 已知两边及一角解三角形 例 2 ABc中，已知 b=3,c=3, B=30 ,解三角形 . 分析 已知两边和其中一边的对角 . 求另外的两角和另一边 . 7 / 22 解答本题可先由正弦定理求出角 c,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长 a 的方程，求出边 a,再由正弦定理求角 A，角 c. 解析 解法一：由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB, 得 32=a2+(3)2-2a 3 cos30 , a2-9a+18=0,得 a=3或 6. 当 a=3时， A=30 , c=120 . 当 a=6时，由正弦定理 sinA=1. A=90 , c=60 . 解法二：由 bcsin30 =3 =知本题有两解 . 由正弦定理 sinc=, c=60或 120 当 c=60时， A=90 , 由勾股定理 a=6. 当 c=120时， A=30， ABc a=3. 说明 （ 1）利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长 . (2)直接用正弦定理，先求角再求边 . 用方法（ 2）时要注意解的情况，用方法（ 1）就避免了取舍8 / 22 解的麻烦 . 变式应用 2 在 ABc中， a、 b、 c 分别是 A、 B、 c 的对边，且 cosA=,若 a=4,b+c=6,且 bc,求 b、 c的值 . 解析 cosA= =, 又 b+c=6,a=4, bc=8, b=2 c=4 b=4 c=2 又 bc, b=2,c=4. 命题方向 判断三角形的形状 例 3 ABc 中，已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, 且2cosAsinB=sinc，确定 ABc的形状 . 分析 由于已知条件等式中既含有边的关系，又含有角的关系，因此在判断三角形的形状时，可考虑将边统一成角或将角统一成边 .解析 解法一：利用角的关系来判断 . A+B+c=180 , sinc=sin(A+B). 9 / 22 又 2cosAsinB=sinc, 2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB, sin(A-B)=0. A 与 B 均为 ABc 的内角， A=B. 又 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, (a+b)2-c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab, 根据余弦定理，上式可化为 2abcosc+2ab=3ab, 解得 cosc=, c=60 . 故 ABc为等边三角形 . 解法二：利用边的关系来确定 . 由正弦定理，得 =. 由 2cosAsinB=sinc, cosA=. 又 cosA=, =, 即 c2=b2+c2-a2, a=b. 又 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, (a+b)2-c2=3ab, 4b2-c2=3b2, b=c, a=b=c. 因此 ABc为等边三角形 . 说明 判断三角形的形状主要有两种思路：其一是利用正、余弦定理将已知条件转化为边的关系，通过代数变换（一般是因式分解）得到边的关系，最终判断出该三角形10 / 22 的形状；其二是利用正、余弦定理将已知条件转化为角的关系，通过三角恒等变换得到角的关系，最终判断该三角形的形状 .在实际应用中应针对 具体的题目，灵活选用解决问题的方法 . 变式应用 3 ABc中， AB 5,Bc=6,Ac=8,则 ABc的形状是 ( ) A.锐角三角形 B. c.钝角三角形 D. 答案 c 解析 利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于 0、等于 0 还是小于 0，即可对其形状作出判断 .cosB=-0,所以 B 为钝角，即 ABc是钝角三角形 . 探索延拓创新 命题方向 利用余弦定理确定范围问题 例 4 设 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边，求实数 a的取值范围 . 分析 一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件 .若是在锐角或钝角三角形中，三边的制约条件还要更强 .若 ABc 为锐角三角形，则有 a2 b2+c2,b2 a2+c2,c2 a2+b2;若 ABc为钝角三角形，最大边为 a,则一定有 a2 b2+c2,这些都是可以从余弦定理中直接推导的 .11 / 22 解析 2a+1,a,2a-1 是三角形的三边 , 2a+1 0 a 0 2a-1 0， 解得 a ,此时 2a+1最大 . 要使 2a+1,a,2a-1 表示三角形的三边，还需 a+(2a-1)2a+1,解得 a 2. 设最长边 2a+1所对的角为 ,则 cos = 0, 解得 a 8, a 的取值范围是 2 a 8. 说明 本题易忽视构成三角形的条件 a 2,而直接应用余弦定理求解，从而使 a 的范围扩大 . 变式应用 4. 已知锐角三角形三边长分别为 2， 3， x，求 x 的取值范围 . 解析 由三角形三边的关系有 3-2 x 3+2，即 1 x 5. 又三角形为锐角三角形，由余弦定理可知任一边的平方小于另两边平方和 . x2 22+32 即 32 x2+22 x2 13 12 / 22 x2 5 5 x2 13 即 x 0 解得 x x 的取值范围为（，） . 课堂巩固训练 1.在 ABc中，若 abc,且 c2a2+b2,则 ABc为（ A.直角三角形 B. c.钝角三角形 D. 答案 B 解析 abc,且 c2a2+b2, c 为锐角 .又 c 为最大角 .故选 B. 2. ABc的内角 A、 B、 c 的对边分别为 a， b， c，若 a， b，c 满足 b2=ac，且 c=2a,则 cosB=（ A. B. c. D. 答案 B 解析 由 b2=ac，又 c=2a，由余弦定理，得 cosB=. 13 / 22 3. （ XX 四 川 理 ， 6 ） 在 ABc 中， sin2A sin2B+sin2c-sinBsinc,则 A 的取值范围是 ( ) A.(0, B. , ) c.(0, D. , ) 答案 c 解析 本题主要考查正余弦定理， sin2Asin2B+sin2c-sinBsinc, 由正弦定理得： a2 b2+c2-bc，即 b2+c2-a2 bc，由余弦定理得： cosA= =， 0bc, 最大角为 =，若 A 为锐角，则 A=60 cBA, A+B+c180，这显然不可能， A 为钝角 . cosA=-, 14 / 22 设 c=x,则 b=x+2,a=x+4. =-， x=3，故三边长为 3， 5， 7. 6.在 ABc 中，已知 b2-bc-2c2=0,且 a=,cosA=,求 ABc 的面积 . 解析 b2-bc-2c2=0, ()2-2=0, 解得 =2,即 b=2c.由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=6,与 b=2c 联立解得 b=4,c=2. cosA=, sinA=, S ABc=bcsinA=. 15 / 22 课后强化作业 1.在 ABc中， b=5,c=5,A=30 ,则 a 等于（ 答案 A 解析 由余弦定理，得 2bccosA=b2+c2-a2, 2 5 5 cos30 52（ 5） 2-a2, a2=25, a=5. 2.在 ABc中，已知 a2=b2+c2+bc,则角 A 为（ A. B. c. D.或 答案 c 解析 a2=b2+c2+bc, cosA=, 又 0A , A=. 3.在 ABc 中，若 a=+1,b=-1,c=,则 ABc 的最大角的度数为（ 答案 c 解析 显然 +1 -1, cosc=- , c=120 . 4. ABc的三内角 A、 B、 c 所对边长分别为 a， b， c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若 p q,则 c 的大小为 ( ) 16 / 22 A. B. c. D. 答案 B 解析 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a)且 p q， (a+c)(c-a)-b(b-a)=0 即 a2+b2-c2=ab, cosc=. c=. 5.在 ABc中，已知 2a2=c2+(b+c)2,则 A 的值为（ ） 答案 D 解析 由已知得 2a2=c2+2b2+c2+2bc, a2=b2+c2+bc, b2+c2-a2 -bc, 又 b2+c2-a2=2bccosA, 2bccosA=-bc, cosA=-, A=135 . 6.（ XX重庆理， 6）若 ABc的内角 A、 B、 c 所对的边 a、 b、 c 满足 (a+b)2-c2=4，且 c=60，则 ab的值为 ( )A. D. 17 / 22 答案 A 解析 本题主要考查余弦定理的应用 . 在 ABc中， c=60 , a2+b2-c2=2abcosc=ab, (a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4, ab=,选 A. 7.在 ABc 中，三边长 AB=7,Bc=5,Ac=6,则 等于( ) B.-14 c.-18 D.-19 答案 D 解析 在 ABc中 AB=7,Bc=5,Ac=6, 则 cosB=. 又 = cos( -B) =- cosB 7 5 =-19. 8.在 ABc 中，若 ABc 的面积 S=(a2+b2-c2)，则 c 为（ A. B. c. D. 答案 A 解析 由 S=(a2+b2-c2),得 absinc= 2abcosc, tanc=1, c=. 9.在 ABc 中， b=,c=2,A=45 ,那么 a 的长为 .18 / 22 答案 解析 由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bcosA=+8-2 2=+8-=,所以 a=. 10.在 ABc中， AB=3,Bc=,Ac=4,则边 Ac上的高为 .答案 解析 如图， cosA=， sinA=. .BD=ABsinA=. 11.在 ABc中，已知 Bc=8,Ac=5,三角形面积为 12，则 cos2c=. 答案 解析 由题意得 S ABc=AcBcsinc=12, 即 5 8 sinc=12,则 sinc=. cos2c=1-2sin2c=1-2（） 2=. 12.在 ABc中， B=60 ,b2=ac,则三角形的形状为 .答案 解析 由余弦定理得 b2=a2+c2-ac, b2=ac, a2+c2-2ac=0, (a-c)2=0, 19 / 22 a=c. 又 B=60 , A=c=60 . 故 ABc为等边三角形 . 13.在 ABc中， A+c=2B,a+c=8,ac=15,求 b. 解析 解法一：在 ABc中，由 A+c=2B， A+B+c=180，知 B=60 . 由 a+c=8,ac=15,则 a、 c 是方程 x2-8x+15=0 的两根 . 解得 a=5,c=3或 a=3,c=5. 由余弦定理，得 b2=a2+c2-2accosB=9+25-2 3 5 19. b=. 解法二：在 ABc中， A+c=2B,A+B+c=180 B=60 . 由 余 弦 定 理 ， 得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=82-2 15-2 15 19. b . 14.(XX大纲文， 18) ABc的内角 A、 B、 c 的对边分别为 a、 b、 c， asinA+csinc-asinc=bsinB. (1)求 B （ 2）若 A=75 ,b=2,求 a,c. 20 / 22 分 析 利 用 三 角 形 正 弦 定 理 ， 将 已 知 条 件asinA+csinc-asinc=bsinB 中的角转化为边，再利用余弦定理即可求得 B 角，然后再利用正弦定理求得 a， c 的值 . 解析（ 1） asinA+csinc-asinc=bsinB a2+c2-ac=b2 a2+c2-b2=ac cosB= B=45