浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时194.4简单的三角恒等变换课件.ppt

4.4简单的三角恒等变换,教材研读,一、半角公式(不要求记忆),二、简单的三角恒等变换,考点突破,考点一三角函数式的化简,考点二三角函数的求值,考点三三角变换的综合应用,一、半角公式(不要求记忆)1.用cos表示sin2,cos2,tan2.sin2=;cos2=;tan2=.,教材研读,2.用cos表示sin,cos,tan.sin=;cos=;tan=.,1.和、差公式的应用技巧(1)直接应用例:sin(+)=sin(+)+=sin(+)cos+cos(+)sin.(2)逆用例:cos20cos25-cos70cos65=cos20cos25-sin20sin25=cos45=.(3)拆分与组合的应用,二、简单的三角恒等变换,例:若cos=,cos(+)=-,且、都是锐角,求cos.利用=(+)-进行求解.,2.倍角与半角关系(1)把写成2,则,sin=2sincos,cos=cos2-sin2=1-2sin2=2cos2-1,tan=.(2)由上面式子得1+cos=2cos2,1-cos=2sin2,这两个式子从左到右,起升幂作用,从右到左起降幂作用.(3)将、的根号化掉,得=,=.,3.辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+)其中sin=,cos=,tan=,ab0.,4.几个常用结论(1)1+sin2=(sin+cos)2;(2)1-sin2=(sin-cos)2;(3)(sin+cos)2+(sin-cos)2=2.,1.化简的结果为(A)A.sin2B.cos2C.sinD.cos,解析4sin2tan=4cos2tan=4cossin=2sin=2cos2,=sin2.,2.若-2-,则的值是(D)A.sinB.cosC.-sinD.-cos,3.的结果为(B)A.tanB.tan2C.D.,4.(2018杭州高三模拟)函数f(x)=3sincos+4cos2(xR)的最大值等于(B)A.5B.C.D.2,5.已知cos(+)=,cos(-)=,则tantan的值为-.,三角函数式的化简典例1已知270360,则三角函数式的化简结果是(D)A.sinB.-sinC.cosD.-cos,考点突破,解析270360,=,由于135180,故cos0,所以化简结果为-cos.,方法指导三角函数式化简的“三看”原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式.(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.,1-1(2019绍兴一中月考)已知tan=,且-0,则=(A)A.-B.-C.-D.,解析=2sin,由tan=,得tan=tan=-,所以3sin=-cos,结合sin2+cos2=1求得sin=.又-0,所以sin=-,故=-.,1-2=tan.,解析原式=tan.,典例2(1)(2016课标全国理,9,5分)若cos=,则sin2=(D)A.B.C.-D.-(2)若cos=-,是第三象限的角,则=(A)A.-B.C.2D.-2,三角函数的求值命题方向一给值求值,解析(1)解法一:sin2=cos=cos=2cos2-1=2-1=-.故选D.解法二:cos=(cos+sin)=cos+sin=1+sin2=,sin2=-.故选D.(2)由题意得sin=-,=-,故选A.,方法技巧给值求值是指已知一个角的某个三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,基本方法是通过三角函数的变换,把求解目标用已知条件表达出来.,典例3求值:(1)sin220+cos280+sin20cos80;(2)tan20+4cos70.,命题方向二给角求值,解析(1)sin220+cos280+sin20cos80=(1-cos40)+(1+cos160)+sin20cos80=1-cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1-cos40+(cos120cos40-sin120sin40)+sin20(cos60cos20-sin60sin20)=1-cos40-cos40-sin40+sin40-sin220=1-cos40-(1-cos40)=.,(2)tan20+4cos70=+4sin20=,=.,方法指导给角求值一般所给出的角都是非特殊角,从表面看难度较大,但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时,要利用观察得到的关系,利用特殊角的三角函数求得结果.,典例4已知,为锐角,sin=,sin=,则+2=.,命题方向三给值求角,解析,为锐角,sin=,sin=,cos=,cos=,sin2=2sincos=,cos2=cos2-sin2=,cos(+2)=-=,又sin=,sin=,0且0,0+2,+2=,故答案为.,方法技巧通过求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:(1)已知正切函数值,则选正切函数;(2)已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数,若角的范围是,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,),则选余弦较好;若角的范围是,则选正弦较好.,2-1=-4.,解析原式=-4.,2-2已知,(0,),且tan=2,cos=-.(1)求cos2的值;(2)求2-的值.,解析(1)因为tan=2,所以=2,即sin=2cos.又sin2+cos2=1,所以sin2=,cos2=.所以cos2=cos2-sin2=-.(2)因为(0,),且tan=2,所以.又cos2=-0,故2,所以sin2=.由cos=-,(0,)得,sin=.,所以sin(2-)=sin2cos-cos2sin=-=-.又2-,所以2-=-.,典例5在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=5,+-=0,则a+c=(B)A.6B.7C.8D.9,三角变换的综合应用,解析由=+,得=+=,即5sinsin=sin.又5sinsin=sin=cos=coscos-sinsin,即coscos=6sinsin.,由b=5及正弦定理得a+c=(sinA+sinC)=2sincos=coscos=,将代入上式得a+c=7sinsin=7,故选B.,方法指导三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.,3-1在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知c=1,C=.(1)若a=,求b的值;(2)求cosAcosB的取值范围.,解析(1)解法一:由c2=a2+b2-2abcosC,得1=3+b2-2b,即b2-3b+2=0,所以b=1或b