高等数学上教学陶金瑞第四章不定积分

在线教务辅导网：,教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网,QQ:349134187或者直接输入下面地址：,第四章不定积分,学习目标：1、理解原函数与不定积分的概念；2、掌握计算不定积分的几种主要方法。,高等数学,内容提要：,第一节不定积分的概念直接积分法,重点：（1）原函数与不定积分的概念（2）基本积分公式（3）不定积分的性质（4）直接积分法难点：（1）原函数与不定积分的理解（2）不定积分的几何意义（3）直接积分的变形技巧,一、原函数的概念,1、定义,解：,因为曲线上任一点（,x,，,y,）处的切线斜率为,，,所以有,我们知道,（,C,为常数）,所以,由于曲线经过点（,1,，,2,），所以,，,由此，得曲线方程为,定义,1,设函数,与,在某个区间,I,上有定义，对于,任意的,，都有：,或,则称,为,在区间,I,上的一个,原函数。,2.,原函数的性质定理,定理,1,（原函数存在定理）如果函数,在某区间上有,原函数,，则在该区间上它就有无穷多个原函数，并且,任一个原函数都可以表示为,（,C,为任意常数）,的形式。,称为,的,原函数族,）,（,证明：,由于,于是,（,C,为任意常数）,所以无穷多个函数,构成的函数族都是,的原函数。,设,是,的某个原函数，,即,，,则,所以,为常数函数,即,所以,（1）,（2）,二,、,不定积分,定义,2,如果,是,的一个原函数，则称,的全体,原函数,（,C,为任意常数）为,的,不定积分,记为,即,其中“,”称为,积分号,，,称为,被积函数,，,称为,被积表达式,，,x,称为,积分变量,，任意常数,C,称为,积分常数,。,由定义可知，求已知函数,的不定积分，只需求出,的一个原函数,，然后再加上任意常数,C,即可。,例,1,求下列不定积分：,（,1,）,（,2,）,解：,因为,，,是,的一个原函数，,所以,（2）,因为,，,是,的一个原函数，,所以,（1）,注：,不定积分结果中任意常数,C,的作用是把一个原函数转化成了,原函数族，因此切记不能丢掉。,例,2,验证,是否正确。,解：,因为,所以,是正确的。,四,、,不定积分的几何意义,由于,的不定积分,是一个函数族，因此它们的,图象就是一个曲线族。每一条就称为,的一条积分曲线。它,们在横坐标相同的点,处的切线斜率都是,，即它们在该,处对应的点处的切线都平行。这就是不定积分的几何意义。,证明：,因为,即,是,的原函数，并且其中含有任意常数,C,，,所以,性质,4,：,六,、,直接积分法,解：,(,1,),(,2,),(,3,),(,4,),解：,(1),(2),（,3,）,+,（,4,）,=,3,例,6,：求下列不定积分：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,解：,（,4,）,例,7,一个物体做直线运动，其速度,（,），,当,时，,物体所经过的路程,，求物体的运动,方程。,解：,代入上式得：,因此所求的运动方程为,第二节换元积分法,重点：（1）第一换元积分法（2）第二换元积分法难点：（1）凑微分技巧（2）第二换元积分法的变量代换,我们尝试用用下面的方法：,解：,解：,解：,解：,解：,解：,所以,解：,解一：,代入原式得：,解：,代入原式得：,解：,代入原式得,将它们代入上述的积分结果中得：,则,代入原