概率论与数理统计基本概念

胡姿概率论与数理统计,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B.帕,斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方,法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理,分配赌注问题”(即得分问题).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的数学分支学科.,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,第二次世界大战军事上的需要以及大工业,与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息,论、控制论与数理统计学等学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,和行动提供依据和建议的数学分支学科.,论；使概率论成为数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,统计方法的数学理论要用到很多近代数学,知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数,学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这,样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计,学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列,的数学分支学科，并无从属关系.,目前，概率统计理论进入其他自然科学领,域的趋势还在不断发展.在社会科学领域，特,别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长,等问题，都大量采用概率统计方法.正如法国,数学家拉普拉斯所说:“生活中最重要的问题，,其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”,概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有,科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个,部门中.,第一章随机事件与概率,本章重点介绍了概率论的两个基本概念：随机事件和概率,第一节基本概念一随机现象客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为必然现象：另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现象。,必然现象,实例,“太阳不会从西边升起”,“水从高处流向低处”,“同性电荷必然互斥”,“苹果，不抓住必然往下掉”等.,实例1在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.,随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,实例2下一个交易日观察股市的指数上升情况;,其结果可能为:,任意的实数,结果有可能为:,1,2,3,4,5或6.,实例3抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,.,二随机现象的统计规律性虽然随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。在上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”,这两种可能结果，而股指的升跌幅度大小充其量假定它可能是任意的实数。可见“全部可能的结果的集合是已知的”这个假定是合理的而且它会给我们的学习研究带来许多方便。,有了这样的假定，进一步来明确随机实验的含义，一般地，一个随机试验要具有下列特点：（1）可重复性：试验原则上可在相同条件下重复进行;（2）可观察性：试验结果是可观察的，所有可能的结果是明确的；（3）随机性：每次试验将要出现的结果是不确定的，事先无法准确预知。则称此试验为随机试验.,由于随机现象的结果事先无法预知，初看起来随机现象毫无规律可言。然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律性。这一点被历史上许多人的试验所证明。,表1.1抛掷硬币试验,试验者,抛硬币次数,出现正面次数,出现正面频率,Buffon,DeMorgan,Feller,Pearson,Pearson,Lomanovskii,4040,4092,10000,12000,24000,80640,2048,2048,4979,6019,12012,39699,0.5069,0.5005,0.4979,0.5016,0.5005,0.4923,表1.1列出Buffon等人连续抛掷均匀硬币所得的结果。从表中数据可以看到，当抛掷次数很大时，正面出现的频率非常接近0.5，就是说，出现正面与出现反面的机会差不多各占一半。,上面的试验的结果表明，在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近。称这种性质为频率的稳定性。频率的稳定性的存在，标志着随机现象也有它的数量规律性。概率论就是研究随机现象中数量规律的数学学科。,随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为.所以有,定义：随机试验E的每一个可能的结果,称为一个样本点.常用字母表示,例1抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.,三样本空间,例2观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数。其样本点有可数无穷多个：i次i=0,1,2,样本空间为=0次，1次，2次,例3测量某地的水温，令t=测得的水温为,则=0，100,答案,写出下列随机试验的样本空间.,1.同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.,2.生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.,课堂练习,2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.,例如对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为,若观察出现正面的次数,则样本空间为,说明1.试验不同,对应的样本空间也不同.,所以在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.,四随机事件及其运算,我们时常会关心试验的某一部分可能结果是否出现。随机事件由部分样本点组成的试验结果为随机事件，简称为事件。通常用大写的字母表示。,试验中,骰子“出现1点”,“出现2点”,“出现6点”,“点数不大于4”,“点数,为偶数”等都为随机事件.,实例上述试验中“点数不大于6”就是必然事件.,必然事件随机试验中必然会出现的结果.,不可能事件随机试验中不可能出现的结果.,实例上述试验中“点数大于6”就是不可能事件.,实例“出现1点”,“出现2点”，,“出现6点”.,基本事件由一个样本点组成的单点集.,几点说明,例如上述试验中A=“点数不大于4”,是否发生也就是看试验结果是否为“出现2点”或者“出现4点”或者“出现6点”,（1）随机事件A发生就是属于该集合的某一样本点在试验中出现。,(2)随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,1.事件的包含,若事件A出现,必然导致B出现,则称事件B包含事件A,记作,实例“长度不合格”必然导致“产品不合格”,所以“产品不合格”,包含“长度不合格”.,图示B包含A.,B,事件之间的关系和运算,2.事件相等若事件A包含事件B，而且事件B包含事件A，则称事件A与事件B相等，记作A=B.,3.事件A与B的并(和事件),实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.,图示事件A与B的并.,A,“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的并，记作,图示事件A与B的并.,4.事件A与B的交(积事件),“事件A与B同时发生”这一事件称作事件A与B的交,图示事件A与B的积事件.,S,A,B,AB,实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.,和事件与积事件的运算性质,5.事件A与B互不相容(互斥),实例抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.,事件A与B不能同时发生，也就是说AB是不可能事件,即，则称A与B是互不相容事件,“骰子出现1点”“骰子出现2点”,图示A与B互斥.,实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,6.事件A与B的差,由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作A-B.,图示A与B的差.,A,B,实例“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.,设A表示“事件A出现”,则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.记作,实例“骰子出现1点”“骰子不出现1点”,图示A与B的对立.,B,若A与B互逆,则有,7.事件A的对立事件,对立事件与互斥事件的区别,B,A、B对立,A、B互斥,互斥,对立,8.完备事件组,则称是一个完备事件组。显然，A与构成一个完备事件组。,为了帮组大家理解上述概念，现把集合论的有关结论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：,表1.2,符号,集合论,概率论,全集,样本空间：必然事件,空集,不可能