立体几何中的探索性问题.doc

立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究这类试题的一般设问方式是“是否存在?存在给出证明，不存在说明理由”解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设 8如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动 (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由 (2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF (3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45。? 拓展提升 (1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型一般来说，这种题型依据题目特点，充分利用条件不难求解 (2)对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在 9如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点 (1)求证：ACSD (2)若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC?若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由如图 所示，在正方体ABCDAlBlC1Dl中，M,N分别是AB，BC中点 (1)求证：平面B1MN平面BB1D1D； (2)在棱DD1上是否存在点P，使BD1平面PMN，若有，确定点P的位置；若没有，说明理由如图 所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，0为AD中点(1)求证：PO平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的大小：(3)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为?若存在，求出AQ：DQ的值；若不存在，请说明理由立体几何中探索性问题的向量解法高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势. 本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。一、存在判断型1、已知空间三点A（-2，0，2），B（-2，1，2），C（-3，0，3）.设a=，b=，是否存在存在实数k，使向量ka+b与ka-2b互相垂直，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。解ka+b=k（0，1，0）+（-1，0，1）（-1，k，1），ka-2b=（2，k，-2），且(ka+b)（ka-2b），（-1，k，1）（2，k，-2）=k2 -4=0.则k=-2或k=2.点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做.(ka+b)(ka-2b)=k2a2-kab-2b2= k2 -4=0，解得k=-2或k=2.2、 如图，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PDA为，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线?若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由.解：以点A为原点建立空间直角坐标系Axyz.设|AD|=2a，|AB|=2b，PDA=.则A(0，0，0)、B(0，2b，0)、C(2a，2b，0)、D(2a，0，0)、P(0，0，2atan)、M(0，b，0)、N(a，b，atan).=(0，2b，0)，=(2a，2b，-2atan)，=(a，0，atan).=(0，2b，0)(a，0，atan)=0，.即ABMN.若MNPC，则=(a，0，atan)(2a，2b，-2atan)=2a2-2a2tan2=0.tan2=1，而是锐角.tan=1，45.即当=45时，直线MN是直线AB与PC的公垂线.【方法归纳】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法.二、位置探究型PDABCE3如图所示。PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，与夹角的余弦值为。（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标。（2）在平面PAD内是否存在一点F，使EF平面PCB？解析：以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设P（0,0,2m）.则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(1,1,m)，从而=(-1,1,m),=(0,0,2m).PDACEB=，得m=1.所以E点的坐标为（1,1,1）.（2）由于点F在平面PAD内，故可设F()，由平面PCB得：且，B即。所以点F的坐标为（1,0,0）,即点F是DA的中点时，可使EF平面PCB.【方法归纳】点F在平面PAD上一般可设、计算出后，D点是已知的，即可求出F点。4、在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BECF（1）当E、F在何位置时，B1FD1E；（2）是否存在点E、F，使A1C面C1EF？（3）当E、F在何位置时三棱锥C1CEF的体积取得最大值，并求此时二面角C1EFC的大小解：（1）以A为原点，以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BE=x，则有因此，无论E、F在何位置均有（2）若A1C面C1EF，则得矛盾，故不存在点E、F，使A1C面C1EF（3）当时，三棱锥C1CEF的体积最大，这时，E、F分别为BC、CD的中点。连接AC交EF于G，则ACEF，由三垂线定理知：C1GEF，【方法归纳】 立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.三、巩固提高5、 在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱的长度都是2，M是BC边的中点，问：在侧棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45？解：以A点为原点，建立如图9-6-5所示的空间右手直角坐标系Axyz.因为所有棱长都等于2，所以A（0，0，0），C（0，2，0），B（，1，0），B1(，1，2)，M(，0).点N在侧棱CC1上，可设N（0，2，m）（0m2），则=(，1，2)，=(，m)，于是|=2，|=，=2m-1.如果异面直线AB1和MN所成的角等于45，那么向量和的夹角是45或135，而cos=，所以=.解得m=-，这与0m2矛盾.即在侧棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45.6、(湖南高考理）如图，在底面是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（）在棱PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论.（）证明 因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD.（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作GHAC于H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而 （）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以 设点F是棱PC上的点，则 令 得解得 即 时，亦即，F是PC的中点时，、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC.解法二 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC，证明如下，证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM/CE. 由 知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.所以 BM/OE. 由、知，平面BFM/平面AEC.又 BF平面BFM，所以BF/平面AEC.证法二因为 所以 、共面.又 BF平面ABC，从而BF/平面AEC.【方法归纳】点F是线PC上的点，一般可设，求出值，P点是已知的，即可求出F点高考复习课：立体几何中探索性问题的向量解法本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。一、存在判断型1已知空间三点A（-2，0，2），B（-2，1，2），C（-3，0，3）.设a=，b=，是否存在存在实数k，使向量ka+b与ka-2b互相垂直，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。2如图，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PDA为，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线?若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由.【方法归纳】：二、位置探究型PDABCE3如图所示。PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，与夹角的余弦值为。（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标。（2）在平面PAD内是否存在一点F，使EF平面PCB？.4在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BECF（1）当E、F在何位置时，B1FD1E；（2）是否存在点E、F，使A1C面C1EF？（3）当E、F在何位置时三棱锥C1CEF的体积取得最大值，并求此时二面角C1EFC的大小2、如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动 (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由 (2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF (3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45。?【方法归纳】 三、巩固