分段函数可导性的判别方法.pdf

2 0 0 8 年第4 期 ( 总第1lO 期) 牡丹江教育学院学报 J O U R N A LO FM U D A N J l A N GC o L L E G E0 FE D U C A T l 0 N N o 4 。2 0 0 8 S e r i a lN o 1 1 0 分段函数可导性的判别方法 周秀君周天刚 ( 广东纺织职业技术学院，广东佛山5 2 8 0 4 1 ) 摘要 提出了分段函数在分段点可导的简便判别方法 关键词 分段函数l 连续I 导数 中图分类号 0 1 7 4 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 9 2 3 2 3 ( 2 0 0 8 ) 0 4 一0 1 1 1 一o l 在高等数学中如果函数y ；，( z ) 在点勘处可导。则 它在点勘处一定连续 反之，不一定成立我们常常需要 判断函数在点知处是否可导如果函数y = ，( z ) 是初等 函数，要判断函数在点面处是否可导比较容易；如果函数 y = ，( z ) 是分段函数勘是它的分段点要判断函数在点 勘处是否可导一般用导数的定义来判断，这种方法不仅繁 琐效率底而且给初学者造成一定的困难下面笔者提出 一个判断这类问题的一个简便方法 r ，l ( z ) z 锄 数八z ) 满足z ( 1 ) 在点知处连续( 2 ) 在点知的某个去心 邻域内可导l ( 3 ) l i m 1 ( z ) = l i m 。( z ) = B 则函数 一一i ，( z ) 在点面处可导且。( 面) = B 证明在点氙的某个去心邻域内当z 蕊时，函数 ，( z ) 在区间 工，知 上满足拉格朗日中值定理，则存在一点 e ( z ，劫) ，使得 厂( p = 鱼掣即厂- ( p = 掣 当p 面时，有p 面 因此( 面) ：l i m 鱼立二鱼生：l i m 厶玉生| 二尘； 一 z 一翻 一而 z 一知 l i m I ( e ) = B 毛 同理。厂+ ( 面) = l i m 丛兰掣= B 因此函数 司 ” ，( 工) 在点知处可导且( 勘) = B 注意：如果函数八z ) 满足条件( 1 ) 、( 2 ) 但l i m l ( z ) 一 l i 珥：( z ) ，此时( 勘) ( 面) ，因此可以断定函数 一i 在点勘处不可导 例l 判断函数化) = 2 篇二三舅在点动= o 处是否可导，并求其导函数。 解：显然此函数在点勘= 0 连续，在点勘= 0 的一个去 心邻域内可导，l ( z ) = 2 、厂2 ( z ) = 2 一s f 砣z ，I i m ，7 1 ( z ) = l i 啦2 ( z ) = 2 ，由定理知函数，( z ) 在点函= o 处可 导，且( o ) = 2 。所以此导函数为 几，= h 急，套： 例2 判断函数弛) - 参“蓦在点面= 1 处是 否可导，并求其导函数 解：显然此函数在点知= 1 处连续，在点勘= 1 的一个 去心邻域内可导，而l ( 工) = 2 z + l 、：( z ) = 6 ，由于 l i m ，l ( 工) l i m 2 ( 工) ，所以此函数在点劫= 1 处不可 t l - r 1 卞 导其导函数为几) = 2 1 譬： 例3 设函数，( 曲= ；! ；：要；在点硒= 2 可导，r J o 户Z 求口、6 的值 解：因为此函数在点铂= 2 可导，所以它在点知= 2 处 连续，于是2 口+ 6 = 3( 1 ) 又因为函数在点翻= 2 可导所以 l i m ，7 l ( z ) = “m l ( z ) 即口= 4( 2 ) 联立( 1 ) 、( 2 ) 解得 ：2 4 。 其导函数为 厂( z ) 笔，善；I 厶Z Z ，7 二 例4 判断函数，( z ) ： s h 专工 o 在点知：o 处 【工s i n2 Z o 是否可导 显然此函数满足定理的条件( 1 ) 和( 2 ) ，而厂l ( z ) = 2 z s i n 一c o s 由于极限I i m ，l ( z ) 不存在，所以不能 用定理来判断此函数在点面= 0 处是否可导。事实上不难 用导数定义求得厂( o ) = o 此例说明定理只是函数y = ， ( z ) 在点硒处可导的一个充分条件 责任编辑：丛爱玲 收稿日期 2 0 0 8 一o l 一0 2 作者简介 用秀君( 1 9 7 0 一) ，女，辽宁锦州人。广东纺织技术学院讲师；用天刖( 1 9 6 3 一) ，男，四川仅陇人广东纺织技 术学院划教授 分段函数可导性的判别方法分段函数可导性的判别方法 作者：周秀君， 周天刚 作者单位：广东纺织职业技术学院,广东,佛山,528041 刊名： 牡丹江教育学院学报 英文刊名：JOURNAL OF MUDANJIANG COLLEGE OF EDUCATION 年，卷(期)：2008，(4) 被引用次数：0次 相似文献(10条)相似文献(10条) 1.期刊论文 曾艳妮 分段函数在连续的分界点处可导性的另一种判定 -湖北大学成人教育学院学报2005,23(5) 通常我们讨论分段函数在分界点处的可导性是通过定义(即函数在某点的左、右导数存在且相等则函数在该点可导)来讨论,本文则用分段求导的方法 讨论分段函数在连续的分界点处的可导性,并且用拉格朗日中值定理证明了这种方法的正确性.事实证明用此方法比用定义法将更简单. 2.期刊论文 赵邦杰.郭瑞海 对分段函数在分段点的极限、连续、可导性的研究 -西南民族大学学报(自然科学版) 2003,29(4) 通过对分段函数在分段点性态的讨论,指出了分段函数在帮助学生理解高等数学一些基本慨念的作用.给出了在一定条件下,用导函数在该点的极限判 定该点导数是否存在的方法. 3.期刊论文 焦爱军 分段函数求导方法刍议 -中国科技纵横2010,(8) 分段函数的求导方法是高等数学中的一个重点和难点,通过分类讨论,以及从用定义求解和不用定义求解两个方面,得出相对简便的分段函数求导方法 . 4.期刊论文 喻德生.余英姿 关于连续分段函数不定积分的求法 -高等数学研究2008,11(6) 对连续分段函数的不定积分进行比较深入的研究,通过构造例子,阐述连续分段函数不定积分的四种求法,即狭义上限函数法、广义上限函数法、方程 (组)法和差分方程法. 5.期刊论文 陈美珍.CHEN Mei-zhen 分段函数在高等数学中的应用 -咸宁学院学报2006,26(3) 介绍了分段函数的定义,并通过具体的实例讨论了分段函数在极限与连续、可导性与连续性、不定积分、定积分等方面的应用.强调分段函数在高等 数学学习中的重要性. 6.期刊论文 李长江.LI Chang jiang 一类变系数线性微分方程初值问题的连续解 -科技通报2010,26(2) 在应用数学、力学及物理学中极为重要的一阶、二阶变系数线性微分方程只有在特殊情况下才能够求出用初等函数表示的解,本文探讨这类方程当自 由项为分段函数时求满足初始条件连续解的方法,并得出用分段函数表示的连续解公式. 7.期刊论文 张云涛 关于分段函数的教学探讨 -科技信息2009,(34) 分段函数是函数问题中的难点,本文就分段函数在分界点的极限、连续、导数的运算问题探讨,尤其对求分段函数在分段点处的求导,分情况进行了讨 论.直接利用导数定义或求导公式、求导法则以及导数极限定理等,将问题转化,进而得到求解该问题的多种方法. 8.期刊论文 李天胜 分段函数的连续可导性 -高等数学研究2006,9(5) 讨论了分段函数的连续可导性,得到了一个分段函数具有任意阶导数的充分条件,并介绍了一个求分段函数在其分段点处n阶导数的公式 9.期刊论文 范丽红.FAN Li-hong 基于Sendograph度量的连续逼近 -模糊系统与数学2010,24(2) 证明En中的模糊数关于Sendograph度量可以用具有连续截集函数的模糊数任意逼近,并给出连续映射下由扩张原理导出的函数关于Sendograph度量也 是连续的.特别地,具有连续的截集函数的模糊数在严格单调的连续函数之下的象也具有连续的截集函数. 10.期刊论文 刘荣英.LIU Rong-ying 浅议分段函数的教学研究 -郧阳师范高等专科学校学报2005,25(3) 分