初高中衔接教材之因式分解.doc

初高中衔接教材之因式分解因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 1提取公因式法与分组分解法、公式法例1 分解因式： （1）2（yx）2+3（xy）（2）mn（mn）m（nm）2 2十字相乘法例2 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4）3关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解（求根法）若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例3把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）当堂反馈：1填空： （1）（ ）； （2） ； (3 ) 2分解因式：（1）5（xy）3+10（yx）2 （5）8a3b3； （6）x26x8；（7） （8）； 4在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）5分解因式：x2x(a2a)初高中衔接教材之一元二次方程第1课时 根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 因为a0，所以，4a20于是（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x2；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2；（3）当0时，方程没有实数根例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题【当堂反馈】1、方程的根的情况是 。 2、若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 。 3已知，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根？4试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？5.已知a，b，c是ABC的三边长，那么方程cx2(ab)x0的根的情况是 第2课时 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根 ，则有： ； 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么 x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理以两个数x1，x2为根的一元二次方程是：例1 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值例2 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例3 已知两个数的和为4，积为12，求这两个数说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例4 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x10的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则，| x1x2| 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例5 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围【当堂反馈】1.若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则 2.方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 3.以3和1为根的一元二次方程是 4已知方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值【课后作业】1.已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是 2.下列四个说法其中正确说法的序号是 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为03.关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是 4.方程kx24x10的两根之和为2，则k 5.方程2x2x40的两根为，则22 6.关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，则实数m的值为 7.方程2x22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| 8求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数9已知关于x的方程x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围10一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x2311 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根（1）是否存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k2，试求的值初高中衔接教材之二次函数第1课时 二次函数yax2bxc的图像和性质问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y（2）当a0时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y xyOxA图2.2-3xyOxA图2.2-4上述二次函数的性质可以分别通过图223和图224直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例2 把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题例3 已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题【当堂反馈】1.函数y2(x1)22是将函数y2x2向 平移 个单位、再向 平移 个单位得到。 2.二次函数y2x2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m ，n 3.已知二次函数yx2+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点4.函数y3(x2)25的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；当x 时，y随着x的增大而减小5.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象（1）yx22x3； （2）y16 xx26.已知函数yx22x3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x3第2课时 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2) 由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(xx1) (xx2) (a0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题例3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式【当堂反馈】1.函数yx2x1图象与x轴的交点个数是 2.函数y(x1)22的顶点坐标是 3.已知二次函数的图象经过与x轴交于点(1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为ya (a0) 4.二次函数yx2+2x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 5根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点(1，2)，(0，3)，(1，6)； （2）当x3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x轴交于两点(1，0)和(1，0)，并与y轴交于(0，2)初高中衔接教材之一元二次不等式的解法 设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下