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第二章联立线性方程组,在本章中，我们将介绍联立线性方程组，介绍其定义并且详细介绍其求解方法，分齐次和非齐次两种情形加以介绍，而在最后介绍方程个数和求解变量个数相同时的特殊情形。,第一节定义,定义元（）线性方程是其中和是常数（给定实数）。例注意：（i）在线性方程中所有的变量都是一次的。（ii）我们会关注个这样的元线性方程。其中,将此系统写作：其中所有和都是常数而为变量。在矩阵标记方法里，记为：例,有注意：下面的运算不会影响解：（i）方程之间两两交换。交换两行的初等行变换。,（ii）在一个方程两边同时乘上一个非零系数将中一行乘上一个非零系数的初等行变换。（iii）将一个方程的倍数加到另一个方程上将中一行的倍数加到另一行的初等行变换。注意的梯阵式中每步下方都为零。如果为的梯阵式，那么：就很容易求解了，如果解存在的话，就跟具有相同的解。在下面就利用这一性质求线性方程组的解。,第二节齐次情形,齐次情形的两个性质：（i）总是存在平凡解，令，则。（ii）如果存在一个非平凡解，则存在无穷多个非平凡解，如果是解，那么也是解。非平凡解是否存在取决于。前面说过，因此同时矩阵梯阵式中非零行向量的个数。情形1：此时，具有个非零向量，意味着个元方程而。可以将个变量设置为任意值，具有无穷多个解。,例解此时，在矩阵标记法中，有对施行初等行变换将其简化至其梯阵式。,有和上述方程和原方程具有相同的解。有令，为任意实数。那么,为方程组的解，其代表了无穷多的解。情形2：此时，有个非零行向量。只有平凡解的存在。例解,令因此，并且其解和原方程一样，明显,小结令为矩阵。如果，其中为变量的个数，那么线性方程组具有非平凡解。在这种情况下存在无穷多个解。注意如果，方程的个数小于变量的个数；则，总是存在无穷多个解。,第三节非齐次情形,定义如果解不存在，我们称该方程组不相容。相容性检验定理如果，方程组不相容。方程组相容的情形定理假设有一个特解，而具有一个通解。那么的所有解都可以写作：,小结（i）如果，方程组不相容，无解。（ii）如果，只有一个解。（iii）如果，存在无穷多个解。例方程组在此方程组中，而且,因此，从而该方程组是相容的，另和原方程具有相同的解，对此齐次方程组的一个特解是而的通解由如下方程组给出：,其通解为，为任意实数从而该非齐次方程组的通解为,第四节特殊情形,考虑的情形，此时从而有也就是说，为该方程组的唯一解注意由于，该唯一解可以写作：例求解,在此而，故存在，有唯一解：则该唯一解为：,表示符号令=的第行=的第列这样就可以将该唯一解的第个元素写作克拉默法则解的第个元素可写作（2.1）,在（2.1）
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