（北京专版）2019年中考数学一轮复习 第七章 专题拓展 7.7 新定义问题（试卷部分）课件.ppt

7.7新定义问题,中考数学(北京专用),1.(2018北京,28,7分)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作d(M,N).已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).(1)求d(点O,ABC);(2)记函数y=kx(-1x1,k0)的图象为图形G.若d(G,ABC)=1,直接写出k的取值范围;(3)T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(T,ABC)=1,直接写出t的取值范围.,好题精练,解析(1)如图1,点O到ABC上的点的距离的最小值为2,即d(点O,ABC)=2.图1(2)k的取值范围为-1k1且k0.提示:如图1,y=kx(k0)的图象经过原点,在-1x1范围内,函数图象为线段.当y=kx(-1x1,k0)的图象经过(1,-1)时,k=-1,此时d(G,ABC)=1;当y=kx(-1x1,k0)的图象经过(-1,-1)时,k=1,此时d(G,ABC)=1.,-1k1.k0,-1k1且k0.(3)t的取值范围为t=4或0t4-2或t=4+2.提示:T与ABC的位置关系分三种情况,如图2.T在ABC的左侧时,d(T,ABC)=1,此时t=-4;T在ABC的内部时,d(T,ABC)=1,此时0t4-2;T在ABC的右侧时,d(T,ABC)=1,此时t=4+2.综上所述,t=-4或0t4-2或t=4+2.,图2,解题关键解决本题的关键是要从点到点的距离中发现点到直线的距离和平行线间的距离.,2.(2017北京,29,8分)对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下定义:若在图形M上存在一点Q,使得P,Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.(1)当O的半径为2时,在点P1,P2,P3中,O的关联点是;点P在直线y=-x上,若P为O的关联点,求点P的横坐标的取值范围;(2)C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A,B.若AB上的所有点都是C的关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.,解析(1)P2,P3.设直线y=-x与以原点为圆心,半径为1和3的两个圆的交点从左到右依次为D,E,F,G,过点D作DMx轴于点M,如图1.图1由可求得点D的横坐标为-.同理,可求得点E,F,G的横坐标分别为-,.当点P与原点重合时,对于O上任意一点Q,均有PQ=21,不符合题意;,当点P与原点不重合时,设射线OP与O的交点为Q.(i)当01,此时P不是O的关联点.图2(ii)当1OP3时,如图3.PQ=|OP-OQ|1,此时P是O的关联点.,图3(iii)当OP3时,如图4.,图4,对于O上任意一点Q,总有PQOP-OQ=OP-OQ=PQ1,此时P不是O的关联点.综上所述,当P为O的关联点时,1OP3.点P的横坐标xP的取值范围是-xP-或xP.(2)圆心C的横坐标xC的取值范围是-2xC1-或2xC2.提示:由(1)可知,线段AB上的点均满足:与圆心C的距离大于等于1,且小于等于3.以下为临界情况:如图a,C1EAB,且C1E=1,此时点C1的横坐标为1-;,图a,如图b,C2A=3,此时点C2的横坐标为-2;图b如图c,AC3=1,此时点C3的横坐标为2;,图c,如图d,C4B=3,此时点C4的横坐标为2.图d易知点C在线段C1C2和C3C4上满足题意,圆心C的横坐标xC的取值范围是-2xC1-或2xC2.,3.(2015北京,29,8分)在平面直角坐标系xOy中,C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于C的反称点的定义如下:若在射线CP上存在一点P,满足CP+CP=2r,则称P为点P关于C的反称点.下图为点P及其关于C的反称点P的示意图.特别地,当点P与圆心C重合时,规定CP=0.(1)当O的半径为1时,分别判断点M(2,1),N,T(1,)关于O的反称点是否存在,若存在,求其坐标;点P在直线y=-x+2上,若点P关于O的反称点P存在,且点P不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;(2)C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A,B.若线段AB上存在,点P,使得点P关于C的反称点P在C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.,解析(1)点M关于O的反称点不存在;点N关于O的反称点存在,坐标为;点T关于O的反称点存在,坐标为(0,0).如图1,直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点E(2,0),点F(0,2).设点P的横坐标为x.i)当点P在线段EF上,即0x2时,1OP2.在射线OP上一定存在一点P,使得OP+OP=2.点P关于O的反称点存在.其中点P与点E或点F重合时,OP=2,点P关于O的反称点为O,不符合题意.02时,OP2.对于射线OP上任意一点P,总有OP+OP2.,点P关于O的反称点不存在.综上所述,点P的横坐标x的取值范围是0x2.图1(2)若线段AB上存在点P,使得点P关于C的反称点P在C的内部,则1CP2.依题意可知,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,2),BAO=30.设圆心C的坐标为(x,0).当x6时,过点C作CHAB于点H,如图2.0CHCP2.0CA4.00)和y=x+1(-4a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围;(3)将函数y=x2(-1xm,m0)的图象向下平移m个单位,得到的函数的边界值是t,当m在什么范围时,满足t1?,解析(1)y=(x0)不是有界函数;y=x+1(-4a),y随x的增大而减小,y的最大值是-a+1,y的最小值是-b+1.函数的最大值是2,a=-1.又函数的边界值是2,-b+1-2,b3.-11时,1-m1时,由题意知,边界值tm.,不存在满足t1的m值.综上所述,当0m或m1时,满足t1.,5.(2013北京,25,8分)对于平面直角坐标系xOy中的点P和C,给出如下定义:若C上存在两个点A,B,使得APB=60,则称P为C的关联点.已知点D,E(0,-2),F(2,0).(1)当O的半径为1时,在点D,E,F中,O的关联点是;过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使GFO=30,若直线l上的点P(m,n)是O的关联点,求m的取值范围;(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.,解析(1)D,E.当OP=2时,过点P向O作两条切线PA,PB(A,B为切点),则APB=60.点P为O的关联点.事实上,当0OP2时,点P是O的关联点;当OP2时,点P不是O的关联点.F(2,0),且GFO=30,OGF=60,OF=2,OG=2.如图,以O为圆心,OG为半径作圆,设该圆与l的另一个交点为M.当点P在线段GM上时,OP2,点P是O的关联点;,当点P在线段GM的延长线或反向延长线上时,OP2,点P不是O的关联点.连接OM,可知GOM为等边三角形.过点M作MNx轴于点N,可得MON=30,ON=.0m.(2)设该圆圆心为C.根据可得,若点P是C的关联点,则0PC2r.由题意知,点E,F都是C的关联点,EC2r,FC2r.EC+FC4r.又EC+FCEF(当点C在线段EF上时,等号成立),4rEF.E(0,-2),F(2,0),EF=4.r1.,事实上,当点C是EF的中点时,对所有r1的C,线段EF上的所有点都是C的关联点.综上所述,r1.,6.(2018北京东城一模,28)给出如下定义:对于O的弦MN和O外一点P(M,O,N三点不共线,且P,O在直线MN的异侧),当MPN+MON=180时,称点P是线段MN关于点O的关联点.图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy中,O的半径为1.,(1)如图2,M,N.在A(1,0),B(1,1),C(,0)三点中,是线段MN关于点O的关联点的是;(2)如图3,M(0,1),N,点D是线段MN关于点O的关联点.MDN的大小为;在第一象限内有一点E(m,m),点E是线段MN关于点O的关联点,判断MNE的形状,并直接写出点E的坐标;点F在直线y=-x+2上,当MFNMDN时,求点F的横坐标xF的取值范围.,解析(1)C.(2)60.MNE是等边三角形,点E的坐标为(,1).直线y=-x+2交y轴于点K(0,2),交x轴于点T(2,0).OK=2,OT=2.OKT=60.作OGKT于点G,连接MG,NG.,M(0,1),OM=1,M为OK的中点.又在RtOKG中,KG=OK=1,MKG为等边三角形,MG=MK=OM=1.MGO=MOG=30,OG=.G.MON=120,GON=90.又OG=,ON=1,OGN=30.,MGN=60.G是线段MN关于点O的关联点.由知点E(,1)也是线段MN关于点O的关联点,经验证,点E(,1)在直线y=-x+2上.结合图象可知,当点F在线段GE上时,符合题意.xGxFxE,xF.,7.(2018北京西城一模,28)对于平面内的C和C外一点Q,给出如下定义:若过点Q的直线与C存在公共点,记为点A,B,设k=,则称点A(或点B)是C的“k相关依附点”.特别地,当点A和点B重合时,规定AQ=BQ,k=.已知在平面直角坐标系xOy中,Q(-1,0),C(1,0),C的半径为r.(1)如图,当r=时,若A1(0,1)是C的“k相关依附点”,则k的值为;A2(1+,0)是不是C的“2相关依附点”?答:(选“是”或“否”);(2)若C上存在“k相关依附点”M,当r=1,直线QM与C相切时,求k的值;当k=时,求r的取值范围;(3)若存在r使得直线y=-x+b与C有公共点,且公共点是C的“相关依附点”,直接写出b的取值范围.,解析(1).是.(2)如图1,当r=1时,不妨设直线QM与C相切的切点M在x轴上方(切点M在x轴下方时同理),连接CM,则QMCM.图1Q(-1,0),C(1,0),r=1,CQ=2,CM=1,MQ=.,此时k=.如图2,若直线QM与C不相切,设直线QM与C的另一个交点为N,不妨设点M,N均在x轴上方,且QNQM,点N,M在x轴下方时同理).作CDQM于点D,则MD=ND.图2MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ.CQ=2,k=DQ.当k=时,DQ=.此时CD=1.r1.假设C经过点Q,此时r=2.点Q在C外,r的取值范围是1r2.(3)-1b0时,点B在第二象限.过点B作BEx轴于点E,在RtBEA中,BAE=45,AB=3,BE=AE=.,B.当b0),与x轴分别交于点B(-3,0),C(12,0).若过点F作平行于x轴的直线交该抛物线于点N.(1)点N的横坐标为;(2)已知一直角为点N,M,K的“平横纵直角”,若在线段OC上存在不同的两点M1、M2,使相应的点K1、K2都与点F重合,试求m的取值范围;(3)设抛物线的顶点为点Q,连接BQ与FN交于点H,当45QHN60时,求m的取值范围.,解析(1)9.(2)解法一:MKMN,要使线段OC上存在不同的两点M1、M2,使相应的点K1、K2都与点F重合,也就是使以FN为直径的圆与OC有两个交点.设以FN为直径的圆的半径为r,则r=,|m|0,00,得|m|0,0m1,k与m之间的关系式为k2=m2-1.,15.(2018北京房山一模,28)在平面直角坐标系xOy中,当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时,则称点P为图形W的“梦之点”.(1)已知O的半径为1.在点E(1,1),F,M(-2,-2)中,O的“梦之点”为;若点P位于O内部,且为双曲线y=(k0)的“梦之点”,求k的取值范围;(2)已知点C的坐标为(1,t),C的半径为,若在C上存在“梦之点”P,直接写出t的取值范围;(3)若二次函数y=ax2-ax+1的图象上存在两个“梦之点”A(x1,y1),B(x2,y2),且|x1-x2|=2,求二次函数图象的顶点坐标.,解析(1)F.O的半径为1.O的“梦之点”坐标为和.又双曲线y=(k0)与直线y=x的交点即为双曲线的“梦之点”,将代入双曲线表达式中,得k=xy=,点P位于O内部,0k0)上一点,P是点O,D,E的最优覆盖矩形的外接圆,求出P的半径r的取值范围.,解析(1)35.点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为40,由定义可知,t=-3或6,即点C的坐标为(-3,-2)或(6,-2).设直线AC的表达式为y=kx+b(k0),或或y=5x+13或y=-x+.(2)如图1,当OD所在的直线交双曲线于点E时,易知P的半径最小,此时矩形OFEG是点O,D,E的最优覆盖矩形.,图1点D(1,1),OD所在直线的表达式为y=x,点E的坐标为(2,2),OE=2,P的半径为,如图2,当点E的纵坐标为1时,P的半径最大,由1=,解得x=4,图2连接OE,则OE=,此时P的半径为,当点E的横坐标为1时,过程同上.综上,r.,思路分析理解最优覆盖矩形的含义,同时要通过画图观察如何保证最优.,解题关键解决本题第(2)问的关键是要能够发现最优覆盖矩形.,21.(2017北京西城一模,29)在平面直角坐标系xOy中,若点P和点P1关于y轴对称,点P1和点P2关于直线l对称,则称点P2是点P关于y轴,直线l的二次对称点.(1)如图1,点A(-1,0).若点B是点A关于y轴,直线l1:x=2的二次对称点,则点B的坐标为;点C(-5,0)是点A关于y轴,直线l2:x=a的二次对称点,则a的值为;点D(2,1)是点A关于y轴,直线l3的二次对称点,则直线l3的表达式为;(2)如图2,O的半径为1,若O上存在点M,使得点M是点M关于y轴,直线l4:x=b的二次对称点,且点M在射线y=x(x0)上,b的取值范围是;(3)E(t,0)是x轴上的动点,E的半径为2,若E上存在点N,使得点N是点N关于y轴,直线l5:y=x+1的二次对称点,且点N在y轴上,求t的取值范围.,图1,图2,解析(1)(3,0).-2.y=-x+2.(2)-b1.(3)将点N关于y轴的对称点记为点P,点P和点N关于直线l5:y=x+1对称,直线y=x+1和y轴关于直线l5:y=x+1对称,点P在直线y=x+1上,直线y=-x+1和直线y=x+1关于y轴对称,点N在直线y=-x+1上,符合题意的点N是y=-x+1与E的公共点.(i)当直线y=-x+1与E相离时,则不存在符合题意的点N.,(ii)当直线y=-x+1与E相切时,如图所示.则符合题意的点N是直线y=-x+1与E的切点.记直线y=-x+1与x轴交于点R,易知R(,0).若点E在点R的左侧,则由E1N1=2,可得RE1=4,OE1=4-,t1=-4+.,若点E在点R的右侧,则由E2N2=2,可得RE2=4,OE2=4+,t2=4+.(iii)当直线y=-x+1与E相交时,由(ii)可知,-4+0),如果m=2n,则称双曲线y=(m0)和双曲线y=(n0)为“倍半双曲线”,双曲线y=(m0)是双曲线y=(n0)的“倍双曲线”,双曲线y=(n0)是双曲线y=(m0)的“半双曲线”.(1)双曲线y=的“倍双曲线”是;双曲线y=的“半双曲线”是;(2)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A是双曲线y=在第一象限内任意一点,过点A且与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点B,求AOB的面积;(3)如图2,已知点M是双曲线y=(k0)在第一象限内任意一点,过点M与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点N,过点M与x轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点P,若MNP的面积记为SMNP,且1SMNP2,求k的取值范围.,图1图2,解析(1)双曲线y=的“倍双曲线”是y=;双曲线y=的“半双曲线”是y=.(2)双曲线y=的“半双曲线”是y=,AOC的面积为2,BOC的面积为1,AOB的面积为1.(3)解法一:依题意可知双曲线y=(k0)的“半双曲线”为y=(k0),设点M的横坐标为x(x0),则点M的坐标为,点N的坐标为,CM=,CN=.,MN=-=.同理,PM=.SMNP=MNPM=.1SMNP2,12.4k8.解法二:依题意可知双曲线y=(k0)的“半双曲线”为y=(k0),设点M的横坐标为x(x0),则点M的坐标为,点N的坐标为,易知点N为MC的中点,点P为MD的中点.连接OM.=,PMN=OCM=90,PMNOCM.=.SOCM=k,SMNP=.1SMNP2,12.4k8.,思路分析(1)根据“倍半双曲线”的定义解题.(2)确定反比例函数解析式,根据k的几何意义求解.(3)解法一:表示出相关点的坐标,由三角形面积公式得到SMNP=,列不等式求出k的范围.解法二:根据相似三角形的性质求出SMNP=,再求k的范围.,23.(2016北京西城一模,29)在平面直角坐标系xOy中,对于点P和图形W,如果线段OP与图形W无公共点,则称点P为关于图形W的“阳光点”;如果线段OP与图形W有公共点,则称点P为关于图形W的“阴影点”.(1)如图1,已知点A(1,3),B(1,1),连接AB,图1在P1(1,4),P2(1,2),P3(2,3),P4(2,1)这四个点中,关于线段AB的“阳光点”是;线段A1B1AB,A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”,且当线段A1B1向上或向下平移时,都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”.若A1B1的长为4,且点A1在B1的上方,则点A1的坐标为;,(2)如图2,已知点C(1,),C与y轴相切于点D,若E的半径为,圆心E在直线l:y=-x+4上,且E上的所有点都是关于C的“阴影点”,求点E的横坐标的取值范围;(3)如图3,M的半径为3,点M到原点的距离为5.点N是M上到原点距离最近的点,点Q和T是坐标平面内的两个动点,且M上的所有点都是关于NQT的“阴影点”,直接写出NQT的周长的最小值.,解析(1)P1,P4.(2,6).(2)情况一:如图,当E与y轴相切时,设切点为F,连接EF.E与y轴相切于点F,EFy轴.E的半径为,EF=.,此时点E的横坐标为.情况二:如图,设直线l分别与x轴,y轴交于点G,H,连接CD,CO,过点O作C的另一条切线OI,切点为I,直线OI与直线l交于点J.当E与直线OI相切时,过点E作EKy轴于点K.C与y轴相切于点D,CDy轴.点C的坐标为(1,),tanCOD=.,COD=30.C与OI相切于点I,COI=COD=30.HOJ=COI+COD=60.直线l:y=-x+4分别与x轴,y轴交于点G,H,G(4,0),H(0,4).tanOHG=.OHG=30.OJH=180-HOJ-OHJ=90.HGOJ.E与直线OJ相切,切点为点J.EJ=.在RtOHJ中,HJ=OHcosOHJ=6,HE=HJ-EJ=.KE=HE=.此时点E的横坐标为.可知,点E在直线l上,从情况一中的位置运动到情况二中的位置时,都满足题意,所以点E的横坐标的取值范围是xE.(3).详解:连接OM与M的交点即为点N.作圆M的切线OH、OI,切点为H、I,连接MH、MI,分别作N关于OH、OI的对称点N,N,连接NN,分别交OH、OI于Q、T,连接NQ、NT,此时NQT的周长最小.,由OM=5,MI=MN=3,可得OI=4,ON=2.由OMIONJ,可得NJ=,所以NN=.OMI=KNN,sinKNN=,sinOMI=,=,KN=,NN=,NQT的周长最小值为.,思路分析(1)根据新定义判断.用相似解决.(2)分情况讨论,以临界点为突破口.(3)在(2)的基础上利用对称求最短距离.,解题关键第一要准确理解“阳光点”“阴影点”的概念;第二熟练应用相似的相关知识;第三能根据新定义画出符合题意的图形,并进行计算.,24.(2016北京海淀一模,29)在平面直角坐标系xOy中,C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于C的限距点的定义如下:若P为直线PC与C的一个交点,满足rPP2r,则称P为点P关于C的限距点.下图为点P及其关于C的限距点P的示意图.(1)当O的半径为1时,分别判断点M(3,4),N,T(1,)关于O的限距点是否存在.若存在,求其坐标;点D的坐标为(2,0),DE,DF分别切O于点E,点F,点P在DEF的边上.若点P关于O的限距点P存在,求点P的横坐标的取值范围;(2)保持(1)中D,E,F三点不变,点P在DEF的边上沿EFDE的方向运动,C的圆心C的坐标为(1,0),半径为r.请从下面两个问题中任选一个作答.,解析(1)点M,点T关于O的限距点不存在;点N关于O的限距点存在,坐标为(1,0).点D的坐标为(2,0),O的半径为1,DE,DF分别切O于点E,点F,切点坐标为,.如图所示,不妨设点E的坐标为,点F的坐标为.连接EO,FO,EO,FO的延长线分别交O于点E,F,则E,F.,设点P关于O的限距点的横坐标为x.a.当点P在线段EF(包括端点)上时,直线PO与的交点P满足1PP2,故点P关于O的限距点存在,其横坐标x满足-1x-.b.当点P在线段DE,DF(不包括端点)上时,直线PO与O的交点P满足0PP1或2PP3,故点P关于O的限距点不存在.c.当点P与点D重合时,直线PO与O的交点P(1,0)满足PP=1,故点P关于O的限距点存在,其横坐标x=1.综上所述,点P关于O的限距点的横坐标x的范围为-1x-或x=1.(2)问题1:.问题2:0r.问题1:若点P在圆C的外部,且P的限距点P存在,则rPP2r,2rCP3r.,P随点P的运动所形成的路径长为r,且DEF为等边三角形,P在一边上运动,P随之运动所形成的路径长为r.=r,n=60,当CP=3r时,C到DE的距离为,r,r的最小值为.,问题2:当3r,即r时,P关于C的限距点P不存在.,1.(2018江西,23,12分)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程:求解体验(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1,0),则b=,顶点坐标为,该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是.抽象感悟我们定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a0),以y轴上的点M(0,m)为中心,作该抛物线关于点M对称的抛物线y,则我们又称抛物线y为抛物线y的“衍生抛物线”,点M为“衍生中心”.(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线为y,若这两条抛物线有交点,求m的取值范围.问题解决(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a0).若抛物线y的衍生抛物线为y=bx2-2bx+a2(b0),两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求a,b的值及衍生中心的坐标;若抛物线y关于点(0,k+12)的衍生抛物线为y1,其顶点为A1;关于点(0,k+22)的衍生抛物线为y2,教师专用题组,其顶点为A2;关于点(0,k+n2)的衍生抛物线为yn,其顶点为An;(n为正整数).求AnAn+1的长(用含n的式子表示).(备用图),解析(1)-4;(-2,1);y=(x-2)2+1(或y=x2-4x+5).(2)易知抛物线y=-x2-2x+5的顶点坐标为(-1,6),且点(-1,6)关于点(0,m)的对称点为(1,2m-6),衍生抛物线的解析式为y=(x-1)2+2m-6.由y=-(x+1)2+6,y=(x-1)2+2m-6,y=y,得x2+m-5=0,即x2=5-m.当5-m0,即m5时,方程有解.m的取值范围为m5.(3)抛物线y=ax2+2ax-b的顶点为(-1,-a-b),抛物线y=bx2-2bx+a2的顶点为(1,-b+a2),由两抛物线的交点恰好是它们的顶点,得a2-3a=0,a2+a+4b=0,解得a1=0,b1=0(舍去),a2=3,b2=-3.抛物线y的顶点为(-1,0),抛物线y的顶点为(1,12).两抛物线的衍生中心坐标为(0,6).,y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b,y1=-a(x-1)2+2k+2+a+b,顶点A1为(1,2k+2+a+b),y2=-a(x-1)2+2k+8+a+b,顶点A2为(1,2k+8+a+b),yn=-a(x-1)2+2k+2n2+a+b,顶点An为(1,2k+2n2+a+b),yn+1=-a(x-1)2+2k+2(n+1)2+a+b,顶点An+1为(1,2k+2(n+1)2+a+b),AnAn+1=2k+2(n+1)2+a+b-(2k+2n2+a+b)=2(n+1)2-2n2=4n+2.,思路分析(1)将(-1,0)代入抛物线y=-x2+bx-3求得b值,将抛物线解析式配方得出顶点坐标,先求出顶点坐标关于点(0,1)成中心对称的对应点坐标,再根据开口方向相反求得该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式;(2)首先确定抛物线y=-x2-2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线y,然后联立两个解析式得出x2=5-m,若这两条抛物线有交点,则5-m0,从而得出m的取值范围;(3)先求出抛物线y=ax2+2ax-b(a0)的顶点(-1,-a-b),抛物线y的衍生抛物线y=bx2-2bx+a2(b0)的顶点(1,-b+a2),依据两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,把(-1,-a-b)代入y=bx2-2bx+a2(b0),把(1,-b+a2)代入y=ax2+2ax-b(a0)得出a2+a+4b=0和a2-3a=0,解得a和b值,进而得出衍生中心的坐标;先求出顶点A1,A2的坐标,进一步发现顶点An的坐标,根据顶点横坐标相同这一特点求出AnAn+1的长.,方法指导数形结合思想主要指的是数与形之间的一一对应关系,就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,即抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.,2.(2018重庆,25,10分)对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.(1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是不是99的倍数,请说明理由;(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”,记D(m)=.求满足D(m)是完全平方数的所有m.,解析(1)4158,6237,9900.(2分)任意一个“极数”是99的倍数.理由:设任意一个“极数”n的千位数字为x,百位数字为y(其中1x9,0y9,且x,y为整数),则十位上的数字为9-x,个位上的数字为9-y.则这个数可以表示为n=1000 x+100y+10(9-x)+9-y.化简,得n=990 x+99y+99=99(10 x+y+1).1x9,0y9,且x,y为整数,10 x+y+1为整数.任意一个“极数”都是99的倍数.(4分)(2)由(1)可知,设任意一个“极数”m的千位数字为x,百位数字为y(其中1x9,0y9,且x,y为整数),则“极数”m可表示为m=99(10 x+y+1).D(m)=3(10 x+y+1).(5分)1x9,0y9,1110 x+y+1100.333(10 x+y+1)300.,D(m)为完全平方数且D(m)是3的倍数,D(m)=36或81或144或225.(6分)当D(m)=36时,得10 x+y=11,解得x=1,y=1.此时,m=1188.当D(m)=81时,得10 x+y=26,解得x=2,y=6.此时,m=2673.当D(m)=144时,得10 x+y=47,解得x=4,y=7.此时,m=4752.当D(m)=225时,得10 x+y=74,解得x=7,y=4.此时,m=7425.综上,满足条件的m为1188,2673,4752,7425.(10分),思路分析(1)设“极数”n的千位数字为x,百位数字为y,则极数n=1000 x+100y+10(9-x)+9-y,化简得n=99(10 x+y+1),显然是99的倍数;(2)根据(1)得出的极数m=99(10 x+y+1),进而得出D(m)=3(10 x+y+1),进一步得出D(m)的取值范围,根据完全平方数的定义推出D(m)=36或81或144或225,最后得出极数m的值.,易错警示易忽略x,y的取值范围及所得关系式的自身特征而致错.,3.(2017江西,23,12分)我们定义:如图1,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(04-3,所以34是12的最佳分解,所以F(12)=.(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方,我们称正整数a是完全平方数.求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;(2)如果一个两位正整数t,t=10 x+y(1xy9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”.求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.,解析(1)证明:对任意一个完全平方数m,设m=n2(n为正整数).|n-n|=0,nn是m的最佳分解.对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1.(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t,则t=10y+x.t为“吉祥数”,t-t=(10y+x)-(10 x+y)=9(y-x)=18.y=x+2.1xy9,x,y为自然数,“吉祥数”有:13,24,35,46,57,68,79.易知F(13)=,F(24)=,F(35)=,F(46)=,F(57)=,F(68)=,F(79)=.,所有“吉祥数”中F(t)的最大值是.,5.(2016湖南长沙,25,10分)若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc0)与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物线L的顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系,此时,直线l叫做抛物线L的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.(1)若直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值;(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上,它的“带线”l的解析式为y=2x-4,求此“路线”L的解析式;(3)当常数k满足k2时,求抛物线L:y=ax2+(3k2-2k+1)x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围.,解析(1)由题意知n=1,抛物线为y=x2-2x+1,其顶点为(1,0),将(1,0)代入y=mx+1,得m=-1,m=-1,n=1.(2)由题意设“路线”L的解析式为y=a(x-h)2+b,解得或y=a(x+1)2-6或y=a(x-3)2+2,又“路线”L过点(0,-4),a=2或a=-,y=-x2+4x-4或y=2x2+4x-4.(3)抛物线的顶点坐标为,设“带线”l:y=px+k(p0),则=-p+k,p=,y=x+k,“带线”l交x轴于点,交y轴于点(0,k),k0,3k2-2k+1=3+0,“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形的面积为S=k=,令t=,则t2,S=,=t2-2t+3=(t-1)2+2,当t2时,=3,=2,23,S.,思路点拨若直线与抛物线具有“一带一路”关系,则它们的表达式中的常数项相同,抛物线的顶点坐标满足直线的表达式.,解题关键一是准确理解“一带一路”的含义,二是能熟练使用待定系数法求出解析式.,6.(2015重庆,23,10分)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是:1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是:1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”.再如22,545,3883,345543,都是“和谐数”.(1)请你直接写出3个四位“和谐数”;请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除,并说明理由;(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字为x(1x4,x为自然数),十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.,解析(1)写出3个满足条件的数即可.(千位上的数字与个位上的数字相同,百位上的数字与十位上的数字相同)猜想:任意一个四位“和谐数”能被11整除.设一个四位“和谐数”个位上的数字为a(1a9且a为自然数),十位上的数字为b(0b9且b为自然数),则这个四位“和谐数”可表示为1000a+100b+10b+a.1000a+100b+10b+a=1001a+110b=1191a+1110b=11(91a+10b),1000a+100b+10b+a能被11整除,即任意一个四位“和谐数”能被11整除.(2)这个三位“和谐数”的个位上的数字为x,十位上的数字为y,这个三位“和谐数”可表示为100 x+10y+x.100 x+10y+x=99x+11y+2x-y=11(9x+y)+(2x-y),又这个三位“和谐数”能被11整除,且x,y是自然数,2x-y能被11整除.1x4,0y9,2x-y=0.,y与x的函数关系式为y=2x(1x4且x为自然数).,7.(2015江西南昌,24,12分)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,AF,BE是ABC的中线,AFBE,垂足为P,像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.特例探索(1)如图1,当ABE=45,c=2时,a=,b=;如图2,当ABE=30,c=4时,a=,b=;,归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式;拓展应用(3)如图4,在ABCD中,点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点,BEEG,AD=2,AB=3.求AF的长.图4,解析(1)2;2;2;2.(2)猜想a2,b2,c2三者之间的关系是a2+b2=5c2.证明如下:如图1,连接EF,图1AF,BE是ABC的中线,EF是ABC的中位线.EFAB,且EF=AB=c.=.证法一:设PF=m,PE=n,则AP=2m,PB=2n,在RtAPB中,(2m)2+(2n)2=c2;,在RtAPE中,(2m)2+n2=;在RtBPF中,m2+(2n)2=.由,得m2+n2=.由+,得5(m2+n2)=.a2+b2=5c2.证法二:在RtAPE和RtBPF中,AE2=AP2+EP2,BF2=BP2+FP2,AE2+BF2=AP2+EP2+BP2+FP2=(AP2+BP2)+(EP2+FP2).AE2+BF2=AB2+EF2.+=c2+,即a2+b2=5c2.(3)解法一:设AF,BE交于点P.,如图2,取AB的中点H,连接FH,AC.图2E,G分别是AD,CD的中点,F是BC的中点,EGACFH.又BEEG,FHBE.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC.AE=BF,AEBF,AP=FP.ABF是“中垂三角形”.AB2+AF2=5BF2,即32+AF2=5()2.AF=4.(另:连接EC,DF,交于点H,EDC是“中垂三角形”,解法类似于解法一,如图3)图3解法二:如图4,连接AC,CE,延长CE交BA的延长线于点H.图4在ACD中,E,G分别是AD,CD的中点,EGAC.BEEG,ACBE.又四边形ABCD是平行四边形,AEBC,AD=BC,BC=2AE.HAEHBC.=,HA=AB,HE=EC.BE,CA是HBC的中线.HBC是“中垂三角形”.HB2+HC2=5BC2.AB=3,AE=,HB=6,BC=2.62+HC2=5(2)2,解得HC=8.AF是HBC的中位线,AF=HC=4.,8.(2015浙江宁波,25,12分)如图1,点P为MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果APB绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2,我们就把APB叫做MON的智慧角.(1)如图2,已知MON=90,点P为MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,且APB=135.求证:APB是MON的智慧角.(2)如图1,已知MON=(00)图象上的一个动点,过C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两点,且满足BC=2CA,请求出AOB的智慧角APB的顶点P的坐标.,解析(1)证明:MON=90,P是MON的平分线上一点,AOP=BOP=MON=45.AOP+OAP+APO=180,OAP+APO=135.APB=135,APO+OPB=135,OAP=OPB,AOPPOB,=,OP2=OAOB,APB是MON的智慧角.(2)APB是MON的智慧角,OAOB=OP2,=.P为MON的平分线上一点,MON=,AOP=BOP=.AOPPOB,OAP=OPB,APB=OPB+OPA=OAP+OPA=180-,即APB=180-.过A作AGOB于G,SAOB=OBAG=OBOAsin=OP2sin.,OP=2,SAOB=2sin.(3)设点C(a,b),则ab=3,过点C作CHOA,垂足为点H,i)当点B在y轴的正半轴上时,当点A在x轴的负半轴上时,BC=2CA不可能;当点A在x轴的正半轴上时,BC=2CA,=,CHOB,ACHABO,=,OB=3b,OA=.OAOB=3b=.APB是AOB的智慧角,OP=,AOB=90,OP平分AOB,点P的坐标为.ii)当点B在y轴的负半轴上时,BC=2CA,AB=CA.AOB=AHC=90,又BAO=CAH,ACHABO,OB=CH=b,OA=AH=a,OAOB=ab=.APB是AOB的智慧角,OP=,AOB=90,OP平分AOB,点P的坐标为.综上,点P的坐标为或.,9.(2015湖南郴州,24,10分)阅读下面的材料:如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,(1)若x1f(x2),则称f(x)是减函数.例题:证明函数f(x)=(x0)是减函数.证明:假设x10,x20.f(x1)-f(x2)=-=,x10,x20,x2-x10,x1x20,0,即f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),函数f(x)=(x0)是减函数.,根据以上材料,解答下面的问题:(1)函数f(x)=(x0),f(1)=1,f(2)=.计算:f(3)=,f(4)=,猜想f(x)=(x0)是函数(填“增”或“减”);(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想.,解析(1);减.(2)证明:假设x10,x20.f(x1)-f(x2)=-=,x10,x20,x2+x10,x2-x10,0,0,即f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),函数f(x)=(x0)是减函数.,10.(2014安徽,22,12分)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出