高等数学§34函数的单调性与凹凸性判别_第1页
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1,函数单调性的判别法,单调区间求法,小结思考题作业,3.4函数的单调性与曲线的凹凸性,曲线凹凸性的判别法,曲线的拐点及其求法,第三章微分中值定理与导数的应用,2,f(x)0,f(x)0则f(x)在ab上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)0则f(x)在ab上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)0所以f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)0即f(x1)0,所以函数在(0上单调减少,因为x0时y0则f(x)在ab上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)0则f(x)在ab上的图形是凹的若在(ab)内f(x)0则f(x)在ab上的图形是凸的,19,例,解,凸,变,凹,的分界点.,20,1.定义,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的,拐点.,四、曲线的拐点及其求法,(inflectionpoint),拐点,21,拐点的第一充分条件,2.拐点的求法,拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.,拐点的必要条件,具有二阶导数,则点,(1),(2),是拐点的必要条件为,(或x0为二阶导数不存在的点),22,例,解,拐点,拐点,不存在,定义域为,(1),(2),(3),列表,23,例,解,拐点的第二充分条件,24,例,解,25,例求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间解(1)函数y3x44x31的定义域为(),(4)列表判断,在区间(0和2/3)上曲线是凹的;在区间02/3上曲线是凸的点(01)和(2/311/27)是曲线的拐点,0,0,1,11/27,只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.,26,五、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,单调性的应用:,改变弯曲方向的点:,凹凸性;,拐点;,利用函数的单调性可以确定某些方程实根,的个数和证明不等式.,研究曲线的弯曲方向:,凹凸性的应用:,利用凹凸性证明不等式.,27,证,只要证,令,则,所以,即,有,得,思考题,28,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,1.设在,29,.,2.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,30,有位于一直线的三
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