高等几何讲义 第四章二次曲线的射影理论

第四章二次曲线的射影理论1.配极与二次曲线,1.二阶曲线与二级曲线,给定配极,其中，aijaji，Aij是(aij)中aij的代数余子式其对应的二阶曲线和二级曲线方程为：,1.配极与二次曲线,由于配极有两种类型，故曲线也如此,1.配极与二次曲线,由于配极与曲线的对应，故可将配极的相关概念移植到曲线下面就双曲型配极对应的曲线讨论点、直线与曲线的关系,1.配极与二次曲线,1.配极与二次曲线,2.极点与极线二次曲线配极的极点和极线，称为其对应二阶曲线和二级曲线的极点和极线,1.配极与二次曲线,下述定理表明，二阶曲线与二级曲线就其本质而言是一样的,1.配极与二次曲线,定理3不在二次曲线上的点为二切线点其极线是二切点线，且极线与曲线的两交点与此二切线点所连直线是切线,因上述二相互对偶的定理，二阶曲线与二级曲线统一了起来，将二者统称为二次曲线方程(2)和(2)/分别是二次曲线的点坐标方程和线坐标方程由此可知：二级曲线是配极变换的自共轭直线的集合，它与二阶曲线是对偶的,1.配极与二次曲线,证明：设过二切线点x的两条切线、的切点分别为y、z,从而x的极线与曲线交于y、z两点即是二切点线反之，设点x的极线与曲线交于y、z两点因点x的极线过y、z两点，故y、z的极线、过x这即是说、就是过x的两条切线,因y、z的极线、过x，故x的极线过y、z,1.配极与二次曲线,1.配极与二次曲线,推论不在曲线上的点是无切线点其极线是无切点线例1已知二次曲线:x123x22x322x1x24x1x30和点a(1,0,1)，试判定点a是二次曲线的哪一类点解法1：方程可改写为：,由此可得a关于的极线:x1x2x30，解得x3x1x2，代入方程得,3x122x1x22x220因22432200，故为的无切点线，从而a是的无切线点解法2：由(*)式可得，与a的线坐标方程分别为：:31232223221212134230，a:130，将a的线坐标方程代入的线坐标方程，得7122122220，其判别式22472520,b30，再作坐标变换：yibi1/2xi/(i1,2,3)，则可化为标准形式：y12y22y320称为虚二阶曲线,3.二次曲线的射影分类,情形2：(aij)的秩为2,此时，o/(1)和o/(2)都不在上，而o/(3)是的奇点设经坐标变换(5)，曲线方程为：a/ijx/ix/j0，a/ija/ji(7),因o/(3)是的奇点，故a/13a/23a/330又o/(1)的极线是(1,0,0)而o/(2)的极线是(0,1,0)，故由此可证：a/11，a/220，a/120即(7)式为：a/11x/12a/22x/220再作坐标变换：yi|a/ii|1/2x/i(i1,2)，y3x/3，则方程为以下二标准形式之一：y12y220，(8)y12y220(9)方程(8)表示交于奇点的一对实直线：y1y20；方程(9)表示唯一奇点，或说其表示一对虚直线：y1iy20,3.二次曲线的射影分类,3.二次曲线的射影分类,情形3：(aij)的秩为1,此时，o/(1)不在上，而o/(2)和o/(3)是的奇点设经坐标变换(5)，曲线方程为(7),由此得a/110，a/22a/33a/12a/13a/230意味着方程可写为标准形式：y120表示一对重合直线，即奇点轨迹,因形如(0,x/2,x/3)的点都是奇点，故对x/2,x/3，均有下式成立：,3.二次曲线的射影分类,由上述讨论，可得二阶曲线的射影分类：,一对重合直线：x120,3.二次曲线的射影分类,由对偶原理，可得二级曲线的射影分类：,一对重合实点：120,3.二次曲线的射影分类,例1求坐标变换，将二阶曲线x12x22x322x2x32x1x36x1x20化成标准方程,解法一：按前述求新坐标系的方法求出三点o/1(1,0,0)，o/2(3,1,0)，o/3(1,1,2)作坐标变换：x1x/13x/2x/3，x2x/2x/3，x3x/3，则原方程变为x/128x/228x/320再作坐标变换y1x1/，y281/2x3/，y381/2x2/，则得曲线的标准方程：y12y22y320,解法二：经配方，原方程可改写为(x1x2x3)28x1x20作坐标变换：x/1x1x