高等数学题库上

高等数学题库（1） 函数一、 填空题：1 函数 y=arcsin 定义域是:2.设y=(x)的定义域是0，1，则复合函数(sinx)的定义域是:. 3函数的值域是 0y + . 4函数的反函数是:. 5函数在区间 内是单调增加的.在区间内是单调减少. 6设，（xo）,则=. 7设,则=, = x . 8函数的反函数y= .二选择题：1 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D）(A) 关于y轴对称; (B) 关于x轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x对称. 2.下列几对函数中，与相同的是（C）. （A）与 （B）与 （C）与 （D）与 3已知的定义域为则的定义域是（C） （A）-a,3a (B) a,3a (C) a (D) -a 4如果，那么的表达式是（B）(A) x-1 (B)1-x (C) (D) 都不是三设函数是线性函数，已知求此函数. 解：设f(x)=ax+b, 则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四证明函数在它的整个定义域内是有界. 证明：f(x)的定义域为R. 因为 所以： 函数在它的整个定义域内是有界五试讨论函数的奇偶性. 解： 所以 偶函数.高等数学题库（2） 数列的极限一判断题：1如果数列以A为极限，那么在数列增加或去掉有限项之后，说形成的新数 列仍以阿A为极限 ( T )2如果，则有或 ( F )3如果，且存在自然数N，当nN时恒有，则必有aX 时，有成立. 故 三求时的左右极限，并说明它们在x0时的极限是否 存在？ 解：=1，所以. 所以 ， 显然，故不存在.四根据定义证明：当x0时，函数是无穷大，问x应满足什么条件，能使 出？ 证明：设M是任意给定的正数. 要使 M, 只要M+2 () 或 M-2 () 即：0M+2 或 2-M 0 所以，取，则对于适合的一切x, 就有 M, 所以有：. 取M=,由上知x在下列条件下： 0 x 或 x 0）成立. 所以当x时，这函数不是无穷大高等数学题库（4） 极限的求法一 判断题： 下列运算是否正确： (F) (F) （F）二计算下列极限：解：=解：=2 解：设，则 因为=0， 所以 即：解：=解：因为 所以arctgx为有界函数. 而 =0， 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知. =0解：=解： = = =三已知 解：=0，=3+a,存在，即：=所以. .高等数学题库（5） 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较一、 判断题：1 因为时，tgxx,sinxx,所以 （F）2 (T)3 (F)二、计算下列极限1.解：=2.解：=13.解：=24.解：=1.5.解：=6.解：=.二、 证明：当x0时，下列各对无穷小量是等价的1.证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当时，. =12.1-cosx 证明：=1.四、证明：用两边夹法则：（解法一） 设F(n)= 0 则 设g(n)=0, h(n)= , 则g(n)=0 F(n) 0 因为 （n为自然数）， 所以有F(n) = 设g(n)=0, h(n)= , 则g(n)=0 F(n) h(n). 显然，； 由极限存在准则I知：.证毕. 另解： 设F(n)= ( 0F(n)1 )， 则F(n+1)= ，有F(n+1)0 即： 所以为单调有界数列，由极限存在准则II知有极限. ， 则有 ， A=2A-，解得：A=1 或A=0（舍去，因为为递增数列且.） 所以 高等数学题库（6） 函数的连续性一 判断题1 （ T ）2.设在点连续，则 （ T ）3如果函数在上有定义，在上连续，且0，则在内 至少存在一点，使得= 0 （ T ）4若 连续，则必连续. （ T ）5若函数在上连续且恒为正，则在上必连续. （ T ）6若,且，则在的某一邻域内恒有. （ F ）7是函数的振荡间断点.（ F ）二 填空题：1()2. ( 0 )3. ( )4. 是的第（二）类间断点.三 求 解：=四 求函数在内的间断点，并判断其类型. 解：在内的间断点有：， 因为 不存在， 所以，是的第一类（可去）间断点; ，是的第二类间断点. 五 设，（1）求；（2）当连续时，求的值. 解：(1) (2) 连续 .高等数学题库（7） 连续函数的性质一计算下列极限： 1 解：原式= = 2 解：原式= 3 解：原式= 4 解：原式= 5 解：原式= 6 解：令，得，当 原式=二证明方程至少有一个不超过的正根（其中）. 证明：设，则在上连续. 又，. 若，则结论成立. 若，则由零点定理.三设在上连续，且，证明：至少存在一点，使得 . 证明：设，则在上连续. 又, 若，则结论成立. 若，则由零点定理.四设在上连续，且，又存在使 .证明在上有最大值. 证明：取 , 当时, . 即 当时，. , 当时, . 即 当时，. 若,为最大值. 若,在上连续,必有最大值. , . 在上取得最大值. 高等数学题库（8） 导数的概念一 选择题：1 设f (x)存在，a为常数，则等于（C）. (A) f (x) ; (B) 0 ; (C) ; (D) .2. 在抛物线上，与抛物线上横坐标和的两点连线平行的切线方程 是（B）. (A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t秒后，物体上升的高度为，则物体 在3秒时的瞬时速度为（B）. (A) ; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) .4. 若函数在x=0处 (B). (A) 连续且可导； （B）连续，不可导； （C）不连续； （D）都不是.二设函数在处x=1可导，求a和b.解：在x=1处可导在x=1处连续，可得 即 (1) 又在x=1处可导, 可得 即 (2) 由(1),(2)得 , .三设，求.解: , 由幂函数的导数公式可得 .四已知，求.（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令, ; .所以 五设f(x)在上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于 则有 依题意 令有 ; ; 为偶函数高等数学题库（9） 求导法与复合函数求导一 填空题：1 曲线与x轴交点的切线方程是.2 曲线在横坐标x=0点处的切线方程是,法线方程是.3 设，则.4 设，则.5 设，则.二 求下列函数的导数.1. .解: .2. .解: .3. .解: .4. .解: .5. .解: .三.求导数:1. ,求.解: .2. ,求.解: .3. ,求.解: .四.已知,求. 解: 令 ,则 .高等数学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数:1. .解：. 2.解： .3.解： .4.解： .5.解： .二. 求下列函数的二阶导数:1. .解： , .2. .解： , .3. .解： , .三. 求函数的n阶导数.解： ， 一般地，可得 .四. 设,其中在点a的邻域内连续,求.解： . 在点a的邻域内连续 . .高等数学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y的导数.1. .解： , 即 其中y是由方程所确定的隐函数.2. .解： , 即 . 其中y是由方程所确定的隐函数.3. .解： , 即 . 其中y是由方程所确定的隐函数.二. 用对数函数求导法求下列函数的导数:1. .解： 先两边取对数(假定 . ) 得 . 则 . . 当时,用同样的方法可得与上面相同的结果.2. . 解： 先两边取对数(假定) 得 . 对上式两边对求导，得 . 即 . 当时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 三. 求下列函数的二阶导数.1. .解： , .2. 已知 这里存在且不为零.解： 存在且不为零 , .四. 设,证明y=y(x)在t=0时存在,并求其值.证明： 原方程可化为 . 当时, 高等数学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知,则dy等于(C).(A) 2tgxdx ; (B) ; (C) ; (D) .2 一元函数连续是可导的（A）；一元函数可导是可微的（C）.（A）必要条件； （B）充分条件；（C）充要条件； （D）既非充分条件又非必要条件.2. 函数不可微点的个数是（B）.（A） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0.二填空题：1 已知函数在点x处的自变量的增量，对应的函数增量的线性主部是，那末自变量的始值为.2 ，则.3. ; ; ; .三 利用微分求近似值：.解： . 这里较小应用(p150)(2)式,得 .四 已知测量球的直径D时有1%的相对误差，问用公式计算球的体积时，相对误差有多少？解： 我们把测量D时所产生的误差当作自变量D的增量，那么，利用公式来计算V时所产生的误差就是函数V的对应增量.当很小时，可以利用微分近似地代替增量，即 . 其相对误差 .五 求由方程所确定的隐函数s在t=0处的微分.解： 对方程两边关于t求导，得 . 当 t=0时, 得 . 又对原方程, 当 t=0时, 得 即 s=1. 高等数学题库（13）中值定理一选择题： 1下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B）.(A)(B)(C)(D) 2.对于函数，在区间上满足拉格朗日中值定理的点是(A).(A); (B); (C); (D)1.二. 应用导数证明恒等式：.（注意：对 处的讨论）证：令当时，（C为常数）.特别地，取,则求得当时，当时，当时，三. 设，证明：.证：设，在上利用拉格朗日中值定理，有：.四. 证明：不论b取何值，方程在区间上至多有一个实根.证：反证法.设，且在区间上有两个以上实根，其中两个分别记为，不妨设，则，由罗尔定理，在内至少有一点，使.而在内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式.证：设，则在区间上，根据拉格朗日中值定理，在内至少存在一点使即又即六. 设函数和在上存在二阶导数，且，证明（1） 在(a,b)内；（2） 在(a,b)内至少存在一点，使.证：（1）反证法.设（a,b）内存在一点使，则在上有g(a)=g(x1)=0,由罗尔定理知在(a,x1)内至少存在一点1使(1)=0.同理在(x1,b)内也至少存在一点2使(2)=0.(1)=(2)=0由罗尔定理，在(1,2)内至少存在一点使,这与矛盾，故在内.（3） 令由题设条件可知，F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在使得即由于，故.高等数学题库（14）罗必塔法则 泰勒公式一. 求下列极限： 1. 解：原式= 2. 解：原式= = 3 解：原式=1 4 解：令，则 y=e0=15 解：原式=二 求函数f(x)=xex的n阶麦克劳林公式.解：f(0)=0,f(x)=(x+1)ex,f(x)=(x+2)ex,f(n)(x)=(x+n)ex. 三利用泰勒公式求极限并指出下列做法的错误之处. 解：当时，利用等价无穷小代换有： 原式=. 更正：上述解法的错误在于：分母为三阶无穷小量，而分子只保留了一阶无穷小量. sinx、tgx分别在x0=0处的三阶泰勒公式为： 四应用三阶泰勒公式求的近似值. 解：在处的三阶泰勒公式为： 五证明：当时，. 证：将tgx在x0=0处展开三阶泰勒公式，得：而命题得证.六设在上二次可微，且对任意，有又=.证 明：. 证：对分别将在处展开一阶泰勒公式： 两式相减得： =当时，当时，因此，.高等数学题库（15）函数的单调性一 填空题：1函数y=(x-1)(x+1)3在区间内单调减少，在区间内单调增加.2函数 （a0）在区间内单调增加，在区间内单 调减少.3函数在区间内单调增加，在区间（-1， 3）内单调减少.4. 函数在区间（0.5，1）内单调增加，在区间内单调减少.二. 证明下列不等式：1. 当时，. 证：令，则. ， ，显然，当时， 在区间内单调增加. 又 在区间内恒大于零. 又 在区间内大于零. 即当时，即.2. 当时，.证：令 显然，当时， 在内单调增加.又=0 在内大于零. 在内单调增加.而=0 在内恒大于零. 即当时， 即3. 当时，证：令，则.令，则.在此区间内单调减少.在此区间内也单调减少.而在内小于0.在内单调减少.在区间的两端取得极大极小值.即三. 证明方程sinx=x只有一个根.证：令，则. 在内单调减少. f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 有且只有一个根. 即方程sinx=x只有一个根.高等数学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数在处取得极小值.2. 已知函数当-1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=为极大值.3已知在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2； 极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. 解： 令得三驻点：. 当时，当时，. 处为非极值点. 当时，取得极大值，其值为0. 当时，取得极小值，其值为-13.5.2. 解：，令，得驻点（k为整数）. 当时，x在该处取得极大值，其值为 当时，x在该处取得极小值，其值为三. 试问a为何值时，函数在处取得极值？它是极 大值还是极小值？并求出此极值. 解：，令，则 即 时取得极值. 在处取得极大值，其值为.四. 设，为实数，且(1) 求函数的极值.(2) 求方程有三个实根的条件.解：(1) ，令得，而 处取得极小值，其值为 处取得极大值，其值为 (2)由上述的讨论我们可以看出，仅有 三个单调区间，由介值定理及区间 单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各 有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大 于或等于0（等于0时含重根）.即 即当时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆 柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h，则 , 则 六. 设在上二阶可微，且.证明存在 ，使得. 证：将在x取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时） ， ， ，两式相加得： 令，则 高等数学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1. 函数在所给区间内可导，因此可令 解得 而 所以函数在区间上的最大值、最小值分别为104和-5.2. 函数在所给区间内可导，因此可令 解得 而 所以函数在区间上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长 方形才能使这间小屋的面积最大？ 解： 设宽为米，则长为米，因此，面积为 显然，当时，面积取最大值50.三、求数项 中的最大项. 解： 令 则 解得唯一驻点， ，并且在区间上单调递增，在区间上单 调递减，而 所以数项 中的最大项为.四、求下列函数的凹凸区间与拐点：1. 解： 函数在定义域内阶导数存在，并且 因此，当时，曲线为凸的，当时，曲 线为凹的，点是曲线的拐点.2. 解： 函数在定义域内阶导数存在，并且 因此，当时，曲线为凸的，当时，曲线 为凹的，当时，曲线为凸的，点是曲线的拐点.五、证明有三个拐点位于同一直线上. 证明：用Mathematic画图（命令为） 函数在定义域内二阶导数存在，并且 令，解得， 因此，当时，曲线为凸的，当时， 曲线为凹的，当时，曲线为凸的，当 时，曲线为凹的，所以曲线有三个拐点 . 并且 所以三个拐点在同一条直线上.高等数学题库 (18) 函数图形的描绘 曲率一、作下列函数的图形（要求列表之后再画图）： 1. 解：函数在定义域内二阶导数存在，并且 令，解得，01-0+0-0+0-0+图形拐点极大拐点极小拐点 2. 解：函数在定义域内二阶导数存在，并且 令，解得，1-0+0+0-0+图形极小拐点拐点，不是极值点 二、求抛物线在顶点处的曲率和曲率半径. 解： 顶点处,所以 三、求一条抛物线使之与曲线在处相切，且在切点处有相同的曲率和凹向. 解：设抛物线的方程为，则 函数和在处有相同的函数值、一阶和二阶导数，因此 ， ， 即抛物线的方程为四、求曲线的一条切线，使该曲线与切线及直线所围成的平面图 形的面积最小. 解： 设切点的坐标为，则切线的斜率为，所以切线方程为 当时， 当时， 所以，三角形的面积为 令 解得 即当时，三角形的面积最小，从而该曲线与切线及直线所围成的 平面图形的面积最小，此时切线方程为： 高等数学题库（19）不定积分 一.是非题： 1 ( F ) 2. ( F ) 3. 已知则 ( F ) 4. 是同一个函数的原函数 ( T ). 二.填空： 1. . 2. . 3. . 4. 5. .6. 设，则. 7. 已知曲线通过点(e,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，则曲线方程为. 三.求下列不定积分 1. 解: 2. . 解：. 3. . 解： 4. 解： 5 解：四已知且f(0)=0求f(x).解： 又由于在x=0可导,则f(x)在x=0连续， 所以f(-0)=f(+0)=f(0)=0得： 高等数学题库（20）换元积分 一.填空: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.二.计算不定积分:1. . 解：.2. 解： 6 解：.7. 解:8. 解:.高等数学题库（21） 分部积分法 一.填空题： 1设则 . 2 . 3若的原函数为，则 .二求下列不定积分： 1 解： = = .所以， 原式= . 2.解：=. 3. 解：= = = . 4 . 解：= = = = 5 . 解：= = = . 6 . 解：= = =.高等数学题库(22) 几种特殊类型函数的积分 一 求下列有理函数的不定积分： 1 . 解：= = . 2 . 解： , 比较系数得： = = = = .二.求下列三角有理式的不定积分： 1 . 解：令 则 = = . 2 . 解：= = . 3 . 解：= = = 所以，2= 即：=三.求下列无理函数的不定积分： 1 . 解：= 令 ， 则；. 于是 = 故= = = . 2 . 解：令 则： = =四.计算积分 . 解法一：= = = = = . 解法二：= = = = = 注：解法二中积分亦可用万能代换法（令：求取.五计算积分 . 解： =+ = = = = 或：= = 所以：= 高等数学题库（23）定积分一 判断题：1 若在上可积，则在上必连续. （F）2 若在连续，则必定存在. （F）3 若包含于，则必有 （F）二填空：（用号或号） 1. . 2 . 3 . 4 .三估计下列定积分的值： 1 解： . 2 解：设 显然在 单调减， 因此.四利用定积分的几何意义及其性质，求定积分的值（要说明理由）. 解：上述定积分表示曲线，两直线，与轴所围曲边梯形的面 积,而曲边梯形的以原点为圆心，半径为2 的圆在第一象限的部分，其面积 故定积分的值等于五已知求. 解： 由于 同理 六已知在上连续，且.求 解：设 由条件知 存在 所以 原式高等数学题库（24）广义积分一 填空题：1 0 2 3 4已知，则 5 6 7 二 计算题：1 求解：原式2 设 求 解：三 求 解：时0， 0 由于 故 注：利用介值定理或定积分中值定理也可求得结果.四 设在上连续，且单调增加，证明 证：令 由于单调增，当 0， 在单调增，故 即 高等数学题库（25）定积分的换元法一下列定积分所使用的变量代换是否正确？1 （no）2 （no）3 （yes）二下列等式是否正确？1 （yes）2 （yes）3 （yes）三计算下列定积分：1.解：原式= ()令2.解：令 则 且 当 时 当 时于是3.4解：设 且当