周第一次课分块矩阵.ppt

,几何与代数,主讲:王小六,东南大学线性代数课程,第二章矩阵,第三节分块矩阵,回顾,行列式的乘法定理定理2.1假设A,B都是n阶方阵，则|AB|=|A|B|,1.定义2.6:设A为方阵,若存在方阵B,使得,AB=BA=E,则称A可逆(invertible),并称B为A的,逆矩阵(inversematrix).A的逆矩阵记为A1.,2.逆矩阵的唯一性,3.设A是n阶方阵。则(1)A可逆的充分必要条件是|A|0.,(2)当|A|0且n2时,有,可逆矩阵,定义2.7.设A=aijnn为方阵(n2),元素aij的代数余子式为Aij,则称如下矩阵,为方阵A的伴随矩阵.,可逆矩阵的等价定义：假设A是n阶方阵。若存在n阶方阵B,使得AB=E(或者BA=E),则称A是可逆的，B是A的逆矩阵。,回顾结束,第二章矩阵,2.2逆矩阵,二.逆矩阵的运算性质,设A,B为同阶可逆方阵,数k0.则,(1)(A1)1=A；,(2)(AT)1=(A1)T.,(3)(kA)1=k1A1；,(4)AB可逆A和B可逆;当AB可逆时，(AB)1=B1A1.,例.设A与EA都可逆,G=(EA)1E,求证G也可逆,并求G1.,证明:G=(EA)1(EA)1(EA),=(EA)1(E(EA)=(EA)1A,G1=A1(EA)=A1E.,第二章矩阵,2.2逆矩阵,可以表示为Ax=b.,则线性方程组,三.应用,下面讨论A为n阶方阵的情形.,第二章矩阵,2.2逆矩阵,Cramer法则.若系数行列式D=|A|0(等价地,A可逆),则线性方程组Ax=b有唯一的解x=A1b.,比较第一章的结果,思考：更一般地，如果n阶矩阵A是可逆阵，B是nt矩阵，则矩阵方程AX=B有唯一解吗？或者当C是sn矩阵，矩阵方程YA=C有唯一解吗？,X=A1B,Y=CA1,参见教材63页的例2.11.,第二章矩阵,2.3分块矩阵,一.基本概念,2.3分块矩阵,1001201045001763210065400,分块矩阵,二.基本运算,分块加法,第二章矩阵,2.3分块矩阵,2.分块数乘,第二章矩阵,2.3分块矩阵,设矩阵A=,A11A12A1rA21A22A2rAs1As2Asr,3.分块转置,第二章矩阵,2.3分块矩阵,3.分块乘法,设A为ml矩阵,B为ln矩阵,将它们分块如下,其中Ai1,Ai2,Aiq的列数分别与B1j,B2j,Bqj的行数相等.,(i=1,2,p;j=1,2,r.),第二章矩阵,2.3分块矩阵,k1k2kq,k1k2kq,求AB.,解:,于是AB=,第二章矩阵,2.3分块矩阵,第二章矩阵,2.3分块矩阵,二.常用的分块法,1.将给定矩阵分为22的分块矩阵,第二章矩阵,2.3分块矩阵,称为分块对角矩阵(或准对角矩阵),其中A1,A2,As都是方阵.,2.分块对角矩阵,例如,.,若A1,A2,，As都可逆，则A是否可逆？,第二章矩阵,2.3分块矩阵,A=A1,A2,An.,3.,第二章矩阵,2.3分块矩阵,1=a11,a12,a1n,4.,2=a21,a22,a2n,m=am1,am2,amn,第二章矩阵,2.3分块矩阵,例假设A,B分别是sn和nt矩阵。利用下列分法写出乘积AB。(1)将A的每一行视作一块，将B视作一块；(2)将A的每个元素视作一块，将B的每一行视作一块；(3)将A视作一块，将B的每一列视作一块；(4)将A的每一列视作一块，将B的每个元素视作一块；,第二章矩阵,2.3分块矩阵,例假设A是二阶方阵，x是二维非零列向量，若A2x+3Ax=6x,B=(x,Ax),求一矩阵C，使得AB=BC.,第二章矩阵,2.3分块矩阵,例假设A=(aij)45,B=.求一对矩阵C,D,使得B=CAD.,第二章矩阵,2.3分块矩阵,2.4矩阵的秩,一.基本概念,这样的子式共有个.,k阶子式,第二章矩阵,2.4矩阵的秩,例如:A=,2,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.,的1阶子式有34个:,A的2阶子式有36个:,第二章矩阵,2.4矩阵的秩,的3阶子式有14个:,第二章矩阵,2.4矩阵的秩,2.矩阵A的秩(rank),记为r(A)或秩(A),r(A)=r,A中至少有一个r阶子式D不为零,A的所有r+1阶子式都等于零,而3阶子式全为0,因此它的秩为2.,例如,有一个2阶子式,第二章矩阵,2.4矩阵的秩,第二章矩阵,2.4矩阵的秩,(4)r(AT)=r(A).,注:(1)零矩阵的秩规定为0.,第二章矩阵,2.4矩阵的秩,(3)如果矩阵的秩等于它的行数，则称是行满秩的；类似有列满秩的概念.,(5)如果A的每一个k阶子式都等于零，则,(6)如果A的有一个k阶子式不等于零，则,可逆矩阵也称为满秩矩阵或非退化矩阵,r(A)k.,r(A)k.,问题:假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等于零,那么它的4阶子式中会出现非零的吗?,答:绝对不会!因为每个4阶子式都可以按行展开,通过一些3阶子式的组合得到.),第二章矩阵,2.4矩阵的秩,命题2.1r(A)=r当且仅当A中存在非零的r阶子式，但A中所有r+1阶子式（如果存在的话）都等于零.,第二章矩阵,2.4矩阵的秩,第二章矩阵,2.4矩阵的秩,注:对于一个阶数很高且比较复杂的矩阵来说,按照定义去求它的秩是一件很麻烦的事.,第二章矩阵,2.4矩阵的秩,3,注:可以证明命题2.2阶梯形矩阵的秩等于其非零行的数目.而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵.,初等行变换是否改变矩阵的