向量组的线性相关性.ppt

4.2向量组的线性相关性,上页,下页,铃,结束,返回,补充例题,首页,向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am如果存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关,向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am如果存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关,显然有(1)含零向量的向量组必线性相关(2)一个向量a线性相关a0(3)两个非零向量a1a2线性相关a1ka2(即对应分量成比例),向量组a1a2线性相关的几何意义是这两个向量共线,下页,向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am如果存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关,向量组Aa1a2am(m2)线性相关也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示,这是因为,如果向量组A线性相关则有k1a1k2a2kmam0其中k1k2km不全为0不妨设k10于是a1(1/k1)(k2a2kmam)即a1能由a2am线性表示,下页,向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am如果存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关,向量组Aa1a2am(m2)线性相关也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示,这是因为,如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向量线性表示即有12m1使am1a12a2m1am1于是1a12a2m1am1(1)am0因为12m11不全为0所以向量组A线性相关,下页,向量组的线性相关与线性无关给定向量组Aa1a2am如果存在不全为零的数k1k2km使k1a1k2a2kmam0则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关,定理1向量组a1a2am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a1a2am)的秩小于向量个数m向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m,这是因为向量组Aa1a2am线性相关x1a1x2a2xmam0即Ax0有非零解R(A)m,下页,n维单位坐标向量组构成的矩阵为E(e1e2en)是n阶单位矩阵由|E|10知R(E)n即R(E)等于向量组中向量个数所以此向量组是线性无关的,例1试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性,解,向量组a1a2am线性无关R(a1a2am)m,下页,提示,例2已知a1(111)Ta2(025)Ta3(247)T试讨论向量组a1a2a3及向量组a1a2的线性相关性,对矩阵(a1a2a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵即可同时看出矩阵(a1a2a3)及(a1a2)的秩,解,n维单位坐标向量组e1e2en是线性无关的,对矩阵(a1a2a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵,向量组a1a2am线性无关R(a1a2am)m,下页,可见R(a1a2a3)2R(a1a2)2故向量组a1a2a3线性相关向量组a1a2线性无关,例2已知a1(111)Ta2(025)Ta3(247)T试讨论向量组a1a2a3及向量组a1a2的线性相关性,解,n维单位坐标向量组e1e2en是线性无关的,对矩阵(a1a2a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵,向量组a1a2am线性无关R(a1a2am)m,下页,设有x1x2x3使x1b1x2b2x3b30即x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30因为a1a2a3线性无关故有,例3已知向量组a1a2a3线性无关b1a1a2b2a2a3b3a3a1试证向量组b1b2b3线性无关,证法一,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解x1x2x30所以向量组b1b2b3线性无关,下页,把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,例3已知向量组a1a2a3线性无关b1a1a2b2a2a3b3a3a1试证向量组b1b2b3线性无关,证法二,因为矩阵A的列向量组线性无关所以可推知Kx0又因|K|20知方程Kx0只有零解x0所以矩阵B的列向量组b1b2b3线性无关,记作BAK,设Bx0,以BAK代入得A(Kx)0,下页,例3已知向量组a1a2a3线性无关b1a1a2b2a2a3b3a3a1试证向量组b1b2b3线性无关,证法三,因为A的列向量组线性无关所以R(A)3从而R(B)3因此b1b2b3线性无关,因为|K|20知K可逆,所以R(B)R(A),把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,记作BAK,下页,定理2(1)若向量组Aa1a2am线性相关则向量组Ba1a2amam1也线性相关反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关,这是因为记A(a1a2am)B(a1a2amam1)有R(B)R(A)1若向量组A线性相关则有R(A)m从而R(B)R(A)1m1因此向量组B线性相关,下页,定理2(1)若向量组Aa1a2am线性相关则向量组Ba1a2amam1也线性相关反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关,这个结论可一般地叙述为一个向量组若有线性相关的部分组则该向量组线性相关一个向量组若线性无关则它的任何部分组都线性无关,特别地含零向量的向量组必线性相关,下页,定理2(1)若向量组Aa1a2am线性相关则向量组Ba1a2amam1也线性相关反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关,(2)m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关特别地n1个n维向量一定线性相关,这是因为m个n维向量a1a2am构成矩阵Anm(a1a2am)有R(A)n,若nm则R(A)nm,故m个向量a1a2am线性相关,下页,定理2(1)若向量组Aa1a2am线性相关则向量组Ba1a2amam1也线性相关反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关,(2)m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关特别地n1个n维向量一定线性相关,(3)设向量组Aa1a2am线性无关而向量组Ba1a2amb线性相关则向量b必能由向量组A线性表示且表示式是唯一的,这是因为记A(a1a2am)B(a1a2amb)有,即向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一,有唯一解,(a1a2am)xb,因此方程组,即有R(B)R(A)m,mR(A)R(B)m1,下页,(2)用反证法假设a4能由a1a2a3线性表示而由(1)知a1能由a2a3线性表示,例4设向量组a1a2a3