动态最优化第2讲基础知识简介.pdf

动态最优化方法 第2讲 基础知识简介 第二讲 基础知识微分方程简介 （一）具有常系数和常数项的一阶微分方程 （1）一般形式 一阶线性微分方程形式： u和w为常数时一阶微分方程的形式： twytu dt dy wuy dt dy 第二讲 基础知识微分方程简介 （一）具有常系数和常数项的一阶微分方程 （2）齐次方程情况（常数项为0） 变换得： 两边积分得通解： 把初始条件：代入通解，得定解： 0ay dt dy adtdy y 1 at Cety 0 0yy at eyty 0 第二讲 基础知识微分方程简介 （一）具有常系数和常数项的一阶微分方程 （3）非齐次方程情况 解由两部分构成： 通解： 把初始条件：代入通解，得定解： bay dt dy pc yyty a b Cety at a b yCey p at c ; 0 0yy ）（，0 0 a a b e a b yty at 第二讲 基础知识微分方程简介 （二）可变系数和可变项的一阶微分方程 （1）一般形式 （2）齐次方程情况 变换得： 左边积分，得： 右边积分： twytu dt dy 0ytu dt dy Aydy y ln 1 dttudy y 1 dttudttu 第二讲 基础知识微分方程简介 （二）可变系数和可变项的一阶微分方程 （2）齐次方程情况 两边相等，有： 通解（余函数）： （3）非齐次方程情况： 通解： dttuAyln dttudttuA c Ceeey twytu dt dy dtetwCety dttudttu 第二讲 基础知识微分方程简介 （三）具有常系数和常数项的二阶线性微分方程 一种简单形式 解由两部分构成： 1）特别积分的求解 若 若 若 btyatyaty 21 pc yyty 2 2 0 a b ya p ，则 t a b yaa p 1 12 00，则， 2 12 2 00t b yaa p ，则， p y 第二讲 基础知识微分方程简介 （三）具有常系数和常数项的二阶线性微分方程 2）余函数的求解 若 若 若 c y 2 4 ,: 4 2 2 11 2121 2 2 1 21 aaa rreCeCy aa trtr c ，其中则 ，（不同的实根） 2 4 1 2 2 1 a rCey aa rt c ，其中：则 ，（重实根） 2 12121 2 2 1 4 2 1 , 2 1 ,sincos 4 aavahvtCvtCey aa ht c 其中：则 ，（复根） 第二讲 基础知识微分方程简介 （四）算例 （1）求定解： （2）求通解： 20,120,102 yytytyty tty dt dy 2 第二讲 基础知识差分方程简介 （一）一阶差分方程 一般形式： 解由两部分构成： 1）特别积分的求解 若 若 ttttt tt yyybyay bayy 1 1 ,1其中： pc yyty p y a b ya p 1 1，则 btya p ，则1 第二讲 基础知识差分方程简介 （一）一阶差分方程 2）余函数的求解 3）通解 4）代入初始条件，得定解 c y t c aCy 时）（ 时）（ 1, 1, 1 abtCbtaCy a a b aCy t t t t 0 y 时）（ 时）（ 1, 1, 11 0 0 abtyy a a b a a b yy t t t 第二讲 基础知识差分方程简介 （二）具有常系数和常数项的二阶线性差分方程 一般形式： 解由两部分构成： 1）特别积分的求解 若 若 若 ttttttttt ttt ttt yyyyyyyyy byaayay byayay 121 2 1 211 2 2112 2, 12 其中： p y 21 21 1 1 aa b yaa p ，则 t a b yaaa p 2 21 1 121 ，则且 2 21 2 12t b yaa p ，则且 第二讲 基础知识差分方程简介 （二）具有常系数和常数项的二阶线性差分方程 2）余函数的求解 若 若 若 c y 2 4 ,: 4 2 2 11 212211 2 2 1 aaa rrrCrCy aa tt c ，其中则 ，（不同的实根） 2 4 1 2 2 1 a rCry aa t c ，其中：则 ，（重实根） 2 1 221 2 2 1 2 cos,sincos 4 a a aRtCtCRy aa t c 其中：则 ，（复根） 第二讲 基础知识差分方程简介 （三）算例 （1）求定解 5, 4,122 1012 yyyyy ttt 第二讲 基础知识数学规划简介 （一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法 1. 具有等式约束的最优化问题： n个变量，m个等式约束条件 2.构造拉格朗日函数： mixhTS ExxfMin i n , 2 , 1, 0. , m i ii xhxfxL 1 , 为拉格朗日乘子 T m , 21 为自变量向量 T n xxxx, 21 第二讲 基础知识数学规划简介 （一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法 3.最优解满足拉格朗日条件： mixh xL nj x xh x xf x xL L i i m i j i i jj , 1, 0 , , 1, 0 , 1 第二讲 基础知识数学规划简介 （一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法 例子： 拉格朗日函数： 6. 21 21 xxTS xxyMin 2121 6xxxxL 第二讲 基础知识数学规划简介 （一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法 最优解满足拉格朗日条件： 解得： 代入目标函数得最优值： 06 0 0 21 1 2 2 1 xx L x x L x x L 3, 3, 3 * 2 * 1 xx 9 * 2 * 1 * xxz 第二讲 基础知识数学规划简介 （二）不等式约束最优化问题与库恩-塔克条件 1. 具有不等式约束的最优化问题： n个变量，m个不等式约束条件 2.构造拉格朗日函数： mixgTS ExxfMin i n , 2 , 1, 0. , m i ii xguxfux 1 , T n uuuu, 21 第二讲 基础知识数学规划简介 （二）不等式约束最优化问题与库恩-塔克条件 3. 库恩-塔克定理： 在满足一些条件情况下（略）， 最优解满足以下的库恩-塔克条件： mixguuxg u ux nj x xg u x xf x ux KT iiii i m i j i i jj , 1, 0, 0, 0 , , 1, 0 , 1 第二讲 基础知识数学规划简介 （二）不等式约束最优化问题与库恩-塔克条件 例子 拉格朗日函数： 2 21 21 .xxTS xxyMin 2 2121 xxuxx 第二讲 基础知识数学规划简介 （二）不等式约束最优化问题与库恩-塔克条件 最优解满足库恩-塔克条件： 解得： 最优解： 0, 0, 0 021 01 2 21 2 21 2 2 1 uxxuxx u ux x u x 1, 2 1 , 4 1 * 2 * 1 uxx 4 1 * 2 * 1 * xxy 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （1）无约束最优化问题的包络定理 1. 无约束最优化问题（两个变量x和y，一个参数） 2. 一阶条件是： 两个等式隐含着： , yxfUMax 0,yxfyxf yx * ,yyxx 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （1）无约束最优化问题的包络定理 3. 把最优解代入目标函数，得到最优值函数： 4. 包络定理： 因为： 从而有： （在最优点，只有外生参数的直接效应是相关的） , * yxfV f y f x f d dV yx * 0, 0 yx ff f d dV 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （1）无约束最优化问题的包络定理 例子：工资变化和商品价格变化对最大化利润的影响 假设生产函数只有一种生产要素投入： 假设利润函数： （变量为劳动要入投入L，外生参数为价格P和工资w） 最大化利润，最优要素投入满足一阶条件： wLLPfL wPLLw dL df P dL d ,0 * Lf 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （1）无约束最优化问题的包络定理 例子： 利润最大化的利润函数为： 工资变化对最大化利润的的影响： 由一阶条件知： 所以有： * ,wLLPfwP * * * * * * * L w L w dL df P w L wL w L dL df P w 0 * w dL df P w wLLPf L w * * 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （1）无约束最优化问题的包络定理 例子： 价格变化对最大化利润的影响： 一阶条件： 所以： P L w dL df PLf P L w P L dL df PLf P * * * * * * 0 * w dL df P P wLLPf Lf P * * 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （2）约束最优化的包络定理 1. 约束最优化问题（两个变量x和y，一个参数） 2. 拉格朗日函数： 0,. , yxgTS yxfUMax ,0,yxgyxfL 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （2）约束最优化的包络定理 3. 最优化一阶条件是： 接上述方程得到： 代入目标函数，得到最优值函数： 0 0 0 gL gfL gfL yyy xxx * ,yyxx , * yxfV 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （2）约束最优化的包络定理 4. 包络定理： 对最优值函数求外生参数的导数，得： 把x和y的最优解代入约束条件，得到： 上式对外生参数求导得： f y f x f d dV yx * 0, * yxg 0 * g y g x g yx 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （2）约束最优化的包络定理 4. 包络定理： 把 上式乘上，得： 与合并，得： 因为一阶条件： 从而有： （拉格朗日函数代替了目标函数） 0 * g y g x g yx f y f x f d dV yx * gf y gf x gf d dV yyxx * 0, 0 yyxx gfgf Lgf d dV 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （2）约束最优化的包络定理 例子：罗伊恒等式 消费者的基本问题： 在预算约束下，实现商品消费的效用最大化 拉格朗日函数： ByPxPTS yxUUMax yx . , yPxPByxUL yx , 第二讲 基础知识数学规划简介 （2）约束最优化的包络定理 例子：罗伊恒等式 最优值为：，代入拉格朗日函数得： 对外生参数求导，运用包络定理，得： 两个偏导相除，得罗伊恒等式： * ,yx *, ,yPxPByxUBPPV yxyx * B V x P V x * / / x BV PV x 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （3）拉格朗日乘数的经济含义 1. 考虑下边最优化问题： 2. 拉格朗日函数： cyxgTS yxfUMax ,. , ,yxgcyxfL 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （3）拉格朗日乘数的经济含义 3. 最优化的一阶条件： 由前两个等式得： 一阶条件隐含： 0, 0, 0, yxgcL yxgyxfL yxgyxfL yyy xxx y y x x g f g f ccyycxx * , 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （3）拉格朗日乘数的经济含义 4. 把最优解代入得最优值函数： 对c求导，得： cycxgcccycxfcLcV * , * * * * * * * * * * * * * * * , , c yxgc c y gf c x gf dc dc c c y gc c x gc c cycxgc c y f c x f dc cdL dc cdV yyxx yx yx 第二讲 基础知识数学规划简介 （三）包络定理 （3）拉格朗日乘数的经济含义 5. 包络定理： 由一阶条件： 从而有： 拉格朗日乘子的经济学含义： 表示：当c发生变化时，目标函数极大值的变化。 所以拉格朗日乘子称为c的“影子价格” 0, 0, 0 * yxgcgfgf yyxx * * dc cdL dc cdV 第二讲 基础知识数学规划