导数的概念及运算.ppt

导数及其应用,知识体系,1.导数的概念及其几何意义.(1)了解导数的概念和实际背景.(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算.(1)能根据导数的定义，求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的导数.,(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于型如f(ax+b)的导数.掌握常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：3.导数在研究函数中的应用.(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).,(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次).4.生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分基本定理.(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.(2)了解微积分基本定理的含义.,第16讲,导数的概念及运算,1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y=C（C为常数）,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导函数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.,1.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为f(x0)或y|x=x0,即(),D,A.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)B.f(x0)=limf(x0+x)-f(x0)C.f(x0)=D.f(x0)=lim,x0,x0,由导数的定义知D正确.,2.下列求导运算正确的是(),C,A.(xn)=nxnB.()=C.()=D.(sinx+cosx)=cosx+sinx,因为(xn)=nxn-1，所以A不正确.因为()=(x-1)=-x-2=-,所以B不正确.因为(x)=()=,所以C正确.因为(sinx+cosx)=cosx-sinx,所以D不正确.故选C.,3.以初速度v0(v00)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t-gt2,则物体在t0时刻的瞬时速度是.,先求出s,再用定义求当t0时,的极限值.,v0-gt0,s=v0(t0+t)-g(t0+t)2-(v0t0-12gt02)=(v0-gt0)t-g(t)2,所以=v0-gt0-gt,所以t0时，v0-gt0.故物体在时刻t0的瞬时速度为v0-gt0.,瞬时速度即是平均速度在t0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度.,4.函数y=x2+x-1+e2x+lgx+tanx的导函数是y=.,直接运用求导公式和运算法则求即可.,5.曲线y=2x2+1在(0,1)处的切线方程是.,y=1,因为y=4x,所以k=y|x=0=0,所以y-1=0(x-0)=0,所以y=1.,1.平均变化率对于函数y=f(x),P(x0,y0)是函数图象上一点，Q(x1,y1)是图象上另一点，自变量x从x0变化到x1时，相应的函数值则由y0变化到y1,其中叫做自变量x的增量，记为x,y1-y0叫做函数y=f(x)的增量，记为y，即y=,则=叫做函数f(x)从变量x0到x1的平均变化率.,x1-x0,y1-y0=f(x1)-f(x0),2.曲线的切线设函数y=f(x)的图象C上一点P(x0,y0)及邻近一点Q(x0+x,y0+y),过点P、Q作C的割线PQ,那么割线PQ的斜率为,当点Q(x0+x,y0+y)沿着曲线逐渐向点P(x0,y0)接近时，割线PQ将绕着点P逐渐转动，当点Q沿曲线无限地接近点P，即x0时，,如果割线有一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在P点的切线，割线PQ的斜率的极限就是曲线在点P处的切线的斜率，即：切线的斜率k=,切线方程为.,lim,x0,lim,x0,y-y0=k(x-x0),3.瞬时速度物体作直线运动时，设物体的运动方程(位移公式)为：s=s(t).如果物体在时刻t0至t0+t时位移增量s=s(t0+t)-s(t0)，那么，位移增量s与时间增量t的比，就是这段时间内物体的平均速度,即=,当t0时，的极限就是物体时刻t0的瞬时速度，即：lim=.,lim,t0,t0,4.导数的概念一般的，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=lim,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0)或y|x=x0,即f(x0)=.,x0,如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点处都有导数,此时对于每一个x(a,b),都对应着一个确定的导数f(x),从而构成了一个新的函数f(x),称这个函数f(x)为函数y=f(x)在开区间内的导数，简称导数,也记作y,即f(x)=y=lim=.,x0,5.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,即k=,相应地,切线方程为.6.常用函数的导数公式C=0(C为常数);(xn)=(nQ);(sinx)=cosx;(cosx)=;(ex)=ex;(ax)=;(lnx)=;(logax)=.,f(x0),y-f(x0)=f(x0)(x-x0),nxn-1,-sinx,axlna,7.导数的运算法则(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);(2)f(x)g(x)=;(3)f(x)g(x)=(g(x)0).8.复合函数的导数复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积，即：设y=f(u),u=g(x)，则yx=f(u)g(x).,f(x)g(x)+f(x)g(x),题型一导数的概念,例1,已知f(x)在x=a处可导,且f(a)=b,求下列极限：（1）lim；（2）lim.,h0,h0,在导数定义中，增量x的形式多种多样，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式.利用函数f(x)在x=a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式.,（1）lim=lim=lim+lim=lim+lim=f(a)+f(a)=2b.(2)lim=lim=limlimh=f(a)0=0.,h0,h0,h0,h0,h0,h0,h0,h0,h0,只有深刻理解概念的本质,才能灵活应用概念解题.解决这类问题的关键是等价变形,使极限式转化为导数定义的结构形式.,利用定义求下列函数的导数：（1）求函数y=在x=1处的导数；（2）求函数y=x2+ax+b(a、b为常数）的导函数.,根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法.,1,(1)因为y=-1，所以=，所以lim=lim=,所以y|x=1=.(2)因为y=(x+x)2+a(x+x)+b-(x2+ax+b)=2xx+(x)2+ax,=(2x+a)+x，所以lim=lim(2x+a)+x=2x+a,所以y=2x+a.,x0,x0,x0,x0,(1)掌握求导的三个步骤，要注意x是指自变量的改变量，并且x0，y是指函数的改变量，y可以等于0.(2)在用定义求导时，通常对函数的增量y的表达式进行分子（分母）有理化、约分、乘（或除）以某一项，以达到化简的目的，有时也可以通过拆项、添项等方法构造出导数的定义的形式.,2,设将气体以每秒100cm3的速度注入气球，假设气体压力不变，那么当气球半径为10cm时,气球半径增加的速度为(),A,A.cm/sB.cm/sC.cm/sD.cm/s,因为V=r3，两边对时间t求导，V(t)=4r2r(t).而r=10时,V(t)=100,所以r(t)=,故选A.,求下列函数的导数:(1)x(x+1)(x+2);(2)tanx；(3)；(4)y=.,5,要正确掌握求导公式的结构，否则容易造成计算过程过于繁琐；对于与求导公式结构不同的函数式，要进行灵活变形.,题型二导数的运算,例2,(1)因为y=x3+3x2+2x,所以y=3x2+6x+2.(2)(tanx)=()=.(3)因为=+,所以()=()+()=-.(4)设=1-3x，则y=-4，则y=yy=-4-5(-3)=.,5,5,(1)多项式相乘型的函数导数，往往把多项式展开后再利用公式求导.(2)以根式或分式形式出现的函数求导问题，先把函数化成指数的形式，再利用公式求导.(3)比较复杂的函数，往往需要先化简再求导.,(4)求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：适当选定中间变量，正确分解复合关系；分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数.,题型三导数的几何意义,例3,已知曲线y=x3+.（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程;（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程.,(1)因为y=x2,所以在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|x=2=4.所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.,函数y=f(x)在点P（x0,y0)处的导数f(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，导数f(x0)的几何意义就是函数y=f(x)在P(x0,y0)处的切线的斜率,其切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).,(2)设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A(x0,x03+)，则切线的斜率k=y|x=x0=x02.所以切线方程为y-(x03+)=x02(x-x0),即y=x02x-x03+.因为点P（2，4）在切线上，所以4=2x02-x03+,即x03-3x02+4=0，所以x03+x02-4x02+4=0,所以x02(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=-1或x0=2.故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.,求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；而在点P处的切线，必须以点P为切点.,已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式.,因为f(x)与g(x)的图象都过点P(2，0)，所以a=-8,4b+c=0,所以f(x)=2x3-8x.又g(x)=2bx,f(x)=6x2-8,因为f(x)与g(x)在点P处有公共切线，所以g(2)=f(2),即2b2=622-8,得b=4.所以c=-16,所以g(x)=4x2-16.综上可知，f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.,如图，设曲线y=e-x(x0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t).(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值.,(1)因为f(x)=(e-x)=-e-x,所以切线l的斜率为-e-t,故切线l的方程为y-e-t=-e-t(x-t),即e-tx+y-e-t(t+1)=0.(2)令y=0，得x=t+1,又令x=0，得y=e-t(t+1).所以S(t)=(t+1)e-t(t+1)=(t+1)2e-t.从而S(t)=e-t(1-t)(t+1).因为当t(0,1)时，S(t)0，当t(1,+)时，S(t)0，所以S(t)的最大值为S(1)=.,本题主要考查函数、导函数、不等式等基本知识，同时考查分析、推理运用知识解决问题的能力.,1.导数的核心是变化率，在给定的关系式中，会两边同时对某一变量求导，得出相应的变化率.2.导数的运算.1先化简，确定类型，再依次选用求导公式、运算法则进行求导.,2求复合函数的导数，关键是选择好中间变量，如例2中的(4)y=,若令y=,u=v4,v=1-3x，计算就麻烦了.然后逐层求导，每一步对谁求导不能混淆，最后应把中间变量转换成自变量.3要弄清函数的导数与导数值的区别与联系，欲求导数值，先求其导数，再将值x0代入,求出导数值f(x0)，导数是原来函数的导函数,而导数值是导数函数在某一点的函数值,导函数值是常数.,3.切线.1注意是求在点P处的切线，还是求过点P的切线.在点P处的切线以点P为切点，过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点.2斜率k=f(x)不存在时,曲线在该点处并不一定没有切线,要检验直线x=x0是否为该曲线的切线.,3直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线只有一个公共点.4曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线y=0是曲线y=x2在点（0，0）处的切线.,(2008全国卷)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数