2019届高考数学二轮复习专题一三角函数及解三角形1.1.2三角恒等变换与解三角形课件文.ppt

第二讲三角恒等变换与解三角形,热点题型1三角恒等变换与求值【感悟经典】【典例】1.已知sin+cos=,则sin2=()A.B.C.D.,2.(2017北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin=,则cos(-)=_.,3.(2018浙江高考)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.(1)求sin(+)的值.(2)若角满足sin(+)=,求cos的值.,【联想解题】1.看到sin2,想到降幂公式.2.(1)因为角与角的终边关于y轴对称,所以+=+2k,kZ,那么sin=sin,cos=-cos.(2)代入余弦差角公式求解即可.,3.(1)看到角的终边过点P,想到三角函数的定义,看到求sin(+),想到诱导公式(2)看到求cos,想到=(+)-,再利用差的余弦公式求解.,【规范解答】1.选B.由sin+cos=两边平方得1+sin2=,解得sin2=-,所以sin2=,2.因为角与角的终边关于y轴对称,所以+=+2k,kZ,那么sin=sin,cos=-cos,所以cos(-)=coscos+sinsin=-cos2+sin2=2sin2-1=-.答案:-,3.(1)由角的终边过点P,得sin=-,所以sin(+)=-sin=.,(2)由角的终边过点P,得cos=-,由sin(+)=,得cos(+)=.由=(+)-,得cos=cos(+)cos+sin(+)sin,所以cos=-或cos=.,【规律方法】三角恒等变换的基本思路(1)“异化同”“切化弦”“1的代换”是三角恒等变换的常用技巧.“异化同”是指“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”.,(2)角的变换是三角变换的核心,如=(+)-,2=(+)+(-)等.(3)常用的两角间的关系:若+=,可看作“互余”.若+=,可看作“互补”.,从对称角度:若与的终边关于y轴对称,则+=+2k,kZ;若与的终边关于x轴对称,则+=0+2k,kZ;若与的终边关于原点对称,则-=+2k,kZ.,【对点训练】1.若sin(-)=-cos2,则sin2的值可以为()A.-或1B.C.D.-,【解析】选A.方法一:由已知得(sin-cos)=sin2-cos2,所以sin+cos=或sin-cos=0,解得sin2=-或1.,方法二:由已知得sin(-)=sin(2-)=2sin(-)cos(-),所以cos(-)=或sin(-)=0,则sin2=cos2(-)=2cos2(-)-1=2-1=-或sin2=1.,2.(2018江苏高考)已知,为锐角,tan=,cos(+)=-.(1)求cos2的值.(2)求tan(-)的值.,【解析】(1)因为tan=,tan=,所以sin=cos.因为sin2+cos2=1,所以cos2=,因此,cos2=2cos2-1=-.,(2)因为,为锐角,所以a+(0,).又因为cos(+)=-,所以sin(+)=,因此tan(+)=-2.因为tan=,所以tan2=,因此,tan(-)=tan2-(+)=-.,【提分备选】1.(2018株洲二模)若(,),则3cos2=sin(-),则sin2的值为()A.B.-C.D.-,【解析】选D.由3cos2=sin(-),可得3cos2=(cos-sin),3(cos2-sin2)=(cos-sin),因为(,),所以sin-cos0,上式化为:sin+cos=,两边平方可得1+sin2=.所以sin2=-.,2.(2018石家庄二模)设,0,且满足sincos-cossin=1,则sin(2-)+sin(-2)的取值范围为()A.-,1B.-1,C.-1,1D.1,【解析】选C.因为sincos-sincos=sin(-)=1,0,所以-=,可得:=+0,所以+0,所以+-,又因为+,所以+,所以cos(+)-,所以sin(2-)+sin(-2)=sin(+)+sin(-)=cos-sin=cos(+)-1,1.,热点题型2解三角形【感悟经典】【典例】1.(2018江苏高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为_.,2.(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c.(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.,【联想解题】1.看到角平分线,想到面积法解题.2.(1)由题意首先求得A=,然后利用余弦定理列方程,边长取方程的正实数根可得c=4.(2)利用题意首先求得ACD的面积,然后结合ABC的面积可求得ABD的面积为.,【规范解答】1.由面积得:acsin120=asin60+csin60,化简得a+c=acc=(a1),4a+c=4a+=4a+1=4(a-1)+52+5=9,当且仅当4(a-1)=,即a=,c=3时取等号.答案:9,2.(1)因为sinA+cosA=0,所以sinA=-cosA,所以tanA=-.因为A(0,),所以A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,代入a=2,b=2得c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,所以c=4.,(2)由(1)知c=4.因为c2=a2+b2-2abcosC,所以16=28+4-222cosC,所以cosC=,所以sinC=,所以tanC=.,在RtCAD中,tanC=,所以=,即AD=.则SADC=2=,由(1)知SABC=bcsinA=24=2,所以SABD=SABC-SADC=2-=.,【规律方法】正、余弦定理的应用思路(1)如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理.(2)如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理.,(3)以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到.另外,解题中一定要注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.,【对点训练】1.(2018北京高考)若ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=_;的取值范围是_.,【解析】由余弦定理,a2+c2-b2=2accosB,ABC的面积S=(a2+c2-b2)=2accosB,又S=acsinB,所以cosB=sinB,因为角C为钝角,所以cosB0,所以tanB=,又0B,所以B=.由正弦定理,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=sinA+cosA,所以,因为B=,A+B+C=,所以A+C=,A=-C,又02,即的取值范围是(2,+).答案:(2,+),2.(2018天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos.(1)求角B的大小.(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.,【解析】(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos,得asinB=acos,即sinB=cos,所以sinB=cosB+sinB,可得tanB=.又因为B(0,),可得B=.,(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=.由bsinA=acos,可得sinA=.因为a0,所以cosB=,即B=.,(2)因为,所以,即b2=6,根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得6=a2+c2-ac,有基本不等式可知6=a2+c2-ac2ac-ac=(2-)ac,即ac3(2+),故ABC的面积S=acsinB=ac,即当a=c=时,ABC的面积的最大值为.,命题角度2:解三角形的实际应用【典例3】如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上,此时到达C处.,(1)求渔船甲的速度.(2)求sin的值.,【解析】(1)依题意知,BAC=120,AB=12海里,AC=102=20(海里),BCA=,在ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=122+202-21220cos120=784.,解得BC=28(海里).所以渔船甲的速度为=14(海里/时).(2)由(1)知BC=28海里,在ABC中,BCA=,由正弦定理得.即sin=.,【规律方法】1.解三角形的一般思路(1)根据正、余弦定理把边的关系都转化为角的关系,通过三角恒等变换解决问题.(2)根据正、余弦定理把角的关系转化为边的关系,通过代数变换解决问题.,2.解三角形的实际应用问题的求解关键关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,然后利用正、余弦定理求解.,【通关题组】1.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1,则ABC的面积为()A.B.C.D.,【解析】选C.因为在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,所以ab=2,又2cos(A+B)=1,所以A+B=60,C=120,所以ABC的面积为:absinC=.,2.已知ABC中,AB=AC=3,cosABC=,若圆O的圆心在边BC上,且与AB和AC所在的直线都相切,则圆O的半径为()A.B.C.D.,【解析】选B.如图,易得BC=4,由于ABC为等腰三角形,故O应为BC中点,本题即求BC中点O到AB距离.,因为cosABC=,所以sinABO=,BO=ABcosABO=2.由SABO=ABBOsinABO=ABr,可得32=3r,解得r=.,3.(2018浙江高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60,则sinB=_,c=_.,【解析】由正弦定理得,得sinB=,由余弦定理得cosA=,解得c=3.答案:3,【提分备选】(2018北京高考)在ABC中,a=7,b=8,cosB=-.(1)求A.(2)求AC边上的高.,【解析】方法一:(1)由余弦定理,cosB=-,解得